2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2025年度 第1回入試（問題冊子①） 算数
小問集合、整数を2と3の組で表す問題、3人の速さ、階段状の経路、水に入れた円柱を扱います。第3問は添付の訂正票にあるグラフと『BさんがAさんを追い抜いた後』の条件を使います。
第1問｜計算・場合分け・流水算・図形
この大問で学ぶこと
小問ごとに、数える対象を明確にする
演算記号やコインの条件、割引率、図形の対応は、数字だけでは区別できません。何を別のものとして数えるか、どの値段を基準にするかを先に決め、元の条件へ戻して答えを確かめます。
解くときの着眼点：割合の基準と、数える対象を決めてから式にします。
(1)
答え：157
- 12.56＝3.14×4、6.28＝3.14×2なので、3.14を共通にしてまとめます。
- 3.14×(16×4－25×2＋36)＝3.14×50＝157です。
間違えやすい点：かけ算を全部展開する前に、共通する3.14を探します。
(2)
答え：20
- 21から引いた量は21－6＝15なので、5×(□－8)÷4＝15です。
- □－8＝15×4÷5＝12、□＝20です。
間違えやすい点：かっこの外側から順に逆算します。
(3)
答え：ア＝−、イ＝÷、ウ＝＋、エ＝×
- 最後に135を掛けると考えると、その前の値は2025÷135＝15です。
- (15－5)÷2＋10＝5＋10＝15となり、4つの記号を1回ずつ使えます。全体は15×135＝2025です。
間違えやすい点：中かっこの中でも、割り算を足し算より先に計算します。
(4)
答え：13通り
- 積Aの値とコインの面の組を数える解答例の扱いで整理します。表では4で割り切れる積Aが必要で、候補は4・8・12・16・20・24・36の7種類です。
- 裏では6で割り切れる積Aが必要で、6・12・18・24・30・36の6種類です。表と裏を区別して7＋6＝13通りです。
間違えやすい点：ここで数えるのは積Aとコイン面の組です。大・小のさいころの出方をすべて区別する数え方とは異なります。
(5)
答え：分速125m
- 上りと下りの合計48分、差16分より、上り32分、下り16分です。
- 速さは上り8000÷32＝250m/分、下り8000÷16＝500m/分。流れの速さは差の半分で(500－250)÷2＝125m/分です。
間違えやすい点：8kmを8000mへ直します。流れの速さは上り下りの差そのものではありません。
(6)
答え：シャープペンシル650円、消しゴム70円
- 弟の買い物を3倍すると、定価のシャープペンシル3本と消しゴム3個で2160円。兄の2割引き2本は定価1.6本分なので、差910円は定価1.4本分です。
- シャープペンシルは910÷1.4＝650円、消しゴムは720－650＝70円です。
間違えやすい点：割引きはシャープペンシルだけに適用します。
(7)
答え：BP：PQ：QF＝2：1：1
- BE＝EC、AEとCFが平行なので、三角形BEPとBCFの相似からBP：BF＝1：2です。
- 次に三角形BCDへ、辺の分け方を逆比の重さとして置く『てんびん法』を使います。BE＝ECよりBとCに同じ重さ1、DF：FC＝1：2よりDに2を置けます。Fの重さはDとCの合計3なのでBQ：QF＝3：1です。
- BFを4とするとBP＝2、BQ＝3、QF＝1。したがってBP：PQ：QF＝2：1：1です。
間違えやすい点：BPとBQを同じBF全体でそろえてから、PQを差で求めます。
(8)
答え：100cm²
- 正十二角形と正方形の中心をOとします。BH＝20cmは直径に当たり、半径は10cmです。正十二角形をOから12個の三角形に分けると、中心角は30度です。
- 各三角形は底辺を半径10cmとしたとき高さが半径の半分5cmなので、面積は25cm²。十二角形全体は300cm²です。
- 正方形は対角線が20cmなので面積20×20÷2＝200cm²。色の部分は300－200＝100cm²です。
間違えやすい点：正方形の対角線を、そのまま1辺に使わないようにします。
第2問｜整数を2と3の組で表す
この大問で学ぶこと
大きな整数も、偶奇で候補を減らせる
同じ整数でも、2の分と3の分への分け方は複数あります。3の分を決めると残りが2で割れる必要があり、偶奇を使うと候補を1つおきに数えられます。解答例に合わせ、ここでは0以上の整数の組を扱います。負の整数まで認めると組数は有限になりません。
解くときの着眼点：片方の個数を決め、残りの偶奇から候補を絞ります。
(1)
答え：18
- 〈3,4〉は2×3＋3×4を表します。
- 6＋12＝18です。
間違えやすい点：〈3,4〉を2けたの34として読まないようにします。
(2)
答え：〈5,0〉、〈2,2〉
- 2a＋3b＝10でa・bを0以上の整数とすると、bは偶数で、0または2です。
- b＝0ならa＝5、b＝2ならa＝2なので、2種類です。
間違えやすい点：0個の場合も含めます。
(3)
答え：338通り
- 2a＋3b＝2025では右辺が奇数なので、bは奇数です。0以上の条件からbは1～675です。
- 1・3・5・…・675の個数は(675－1)÷2＋1＝338個。bを決めればaは1つに決まります。
間違えやすい点：bの候補数とaの候補数を掛けません。両者は式で結ばれています。
第3問｜3人の速さと休憩のグラフ
この大問で学ぶこと
折れ点を、加減速と休憩へ戻す
Aは周回ごとに速さが変わり、Bは同じ速さで途中に休み、Cは一定の速さで走ります。グラフの線の傾きだけでなく、止まる時間と周回の終了時刻を整理すると、追い抜きと距離差を正しく比較できます。
解くときの着眼点：同じ1周の時間を逆比で求め、休憩の区間を分けます。
(1)
答え：分速300m
- 同じ1周1200mを走るAの速さは5：4：2なので、時間の比は4：5：10です。合計19分より、1周目は4分です。
- 速さは1200÷4＝分速300m。2周目240m/分、3周目120m/分です。
間違えやすい点：速さの比をそのまま時間の比に使わないようにします。
(2)
答え：15分後
- Bは途中2回、合計2分休むので走行時間は17－2＝15分、分速3600÷15＝240mです。3周目は12分後に始まります。
- Aは9分後に2400mへ達し、以後は分速120m。12分後には2760mなので、Bとの差は360mです。
- 速さの差は120m/分で、360÷120＝3分後に追いつきます。出発から15分後です。
間違えやすい点：最後に走り終えた後の休憩は、完走時間へ含めません。
(3)
答え：15分36秒後
- 訂正票に従い、BがAを追い抜いた後のB－AとA－Cを比べます。Cは分速3600÷18＝200mです。
- 15分後の距離はBとAが3120m、Cが3000m。B－Aは0m、A－Cは120mです。
- その後B－Aは毎分240－120＝120m増え、A－Cは毎分200－120＝80m減ります。120÷(120＋80)＝0.6分で等しくなります。
- 0.6分＝36秒なので15分36秒後です。
間違えやすい点：元の図でなく訂正後のグラフを使い、追い抜き前の解を混ぜないようにします。
第4問｜北・南・東へ進む経路と末尾の0
この大問で学ぶこと
経路を、東へ渡る高さの選択に変える
西へ戻れず、通った道も戻れないため、1本の縦線で上下を往復することはできません。東へ進むときの高さを選べば、その間の経路は決まります。階段が増えると選択肢の積になり、末尾の0は積の中の2と5から調べられます。
解くときの着眼点：各縦線で動く向きは、入る高さと出る高さで決まります。
(1)
答え：16通り
- 図1の2本の横方向の移動では、東へ渡る高さをそれぞれ4通りから選べます。
- 選んだ高さへ同じ縦線上を逆戻りせず進む経路は1つなので、4×4＝16通りです。
間違えやすい点：北・南へ進めても、一度通った道を引き返すことはできません。
(2)
答え：5040通り
- 階段状の道では、東へ渡る高さの選択肢が左から2通り、3通り、…と増えます。
- 6列では2×3×4×5×6×7＝5040通りです。
間違えやすい点：最初の列は1通りでなく2通りです。
(3)
答え：29列
- n列の経路数は2×3×…×(n＋1)＝(n＋1)!です。末尾に0を7個作るには、2と5の組が7組必要です。2の方が多いので5を数えます。
- 29!まででは5の倍数5個と25の追加1個で6個。30!では5の倍数6個と25の追加1個で7個になります。
- n＋1＝30なので、初めて条件を満たすのは29列です。
間違えやすい点：30!に対応するのは道が30列ではなく29列です。
第5問｜円柱の向きと押しのける水量
この大問で学ぶこと
傾いた形も、沈んだ体積から考える
物体を水へ入れたとき、水面の上昇は沈んだ部分の体積に対応します。横向きでは全部が沈むか、縦向きでは上端が水面より上かを確認します。斜めの円柱では、両側の沈んだ長さの平均から体積を表せます。
解くときの着眼点：水位の上昇分から、沈んだ部分の体積を逆算します。
(1)
答え：27cm
- 横向きのQの高さは直径20cm。水面が27cmなら全体が水中に入ります。Qの体積は10×10×π×28＝2800πcm³です。
- Pの底面積400πで割ると水位は7cm上がり、20＋7＝27cm。Q全体が沈むという条件にも合います。
間違えやすい点：横向きのQの高さは28cmでなく20cmです。
(2)
答え：80/3cm（26と2/3cm）
- 縦向きではQが占める底面積100πを除き、水の入る断面は300πcm²です。水量は初めの400π×20＝8000πcm³です。
- 高さは8000π÷300π＝80/3cm。28cmより低いので、Qの上面は水から出ており、この計算が成り立ちます。
間違えやすい点：Q全体の体積を加える方法では、水中に入っていない部分まで足してしまいます。
(3)
答え：26cm
- 水面が24cmになったので、沈んだQの体積は400π×(24－20)＝1600πcm³です。底面積100πで割ると、軸方向に測った沈む長さの平均は16cmです。
- 45度に傾けた円柱では、原図の断面で両側の沈む長さの差は直径20cmに等しくなります。平均16cm、差20cmなので、長い側は16＋10＝26cmです。
- 短い側は6cm、長い側も28cm未満なので、水面は上下の底面にかからず、この平均で体積を求める条件を満たします。
間違えやすい点：ウは原図で指定された斜めの長さです。鉛直の水面高さ24cmとは別です。
解き直しの進め方
第1問は割合の基準と数える対象を確認します。第2問は0以上の組を偶奇で絞る考え方、第3問は訂正票に従った周回・休憩の時刻、第4問は東へ渡る高さ、第5問は水中にある部分の体積を、解説なしで説明できるかを確かめましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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