中学受験算数 比・面積比｜底辺比・高さの比・相似を使い分ける

面積比を使う前に、2つの三角形の関係を決める

面積比の問題で「辺の比を2乗する」と覚えていても、いつ使うかが曖昧だと式が変わってしまいます。最初に確かめたいのは、高さが同じなのか、相似なのか、それ以外なのかです。

これは別々の暗記項目というより、三角形の面積「底辺×高さ÷2」からつながる関係です。どの長さが変わり、どの長さが共通かを図で確かめます。

練習図・数値は進塾の自作例題です。入試原図の再現ではありません。学校別の実例は、それぞれの原問題の図と年度別解説を合わせて読んでください。

「そのままの比」と「2乗する比」を比べる

最後の行は、対応する底辺と高さの比がそれぞれ確認できた場合です。図の中で見つけた2本の辺の比を、理由なく掛けてよいわけではありません。

自作例題①：同じ直線上の底辺なら、高さをそろえて見られる

三角形PADとPDBは、どちらもPから直線ABまでの距離が高さです。高さと「÷2」が共通なので、面積比は底辺AD：DBと同じ2：3になります。

三角形PABの面積が40cm²なら、PADは40×2÷5＝16cm²、PDBは40×3÷5＝24cm²です。2：3の「3」は全体ではありません。全体は2＋3＝5と確かめます。

自作例題②：相似なら、底辺も高さも同じ倍率

辺の比は4：6＝2：3。底辺も高さも2：3なので、面積比は2×2：3×3＝4：9です。実際に面積を計算しても、4×4÷2＝8、6×6÷2＝18で、8：18＝4：9になります。

逆に、相似な図形の面積比が9：16なら、対応する辺の比は3：4です。ただし「面積比が9：16」とだけ分かっていても、相似と確認できなければ辺の比を3：4と決めることはできません。

相似を使うときは、「どの頂点が対応するか」も書く

平行線で等しくなる角、対頂角などから、2組の角が等しいことを確かめます。三角形の見た目の大小だけでは決めません。対応する頂点を同じ順序で書くと、底辺の比と別の辺の比を取り違えにくくなります。

比を引き算する場合には、全体をそろえる作業も必要です。例えば同じAC上でAH：HC＝1：2、AG：GC＝3：2なら、ACを15と置いてAH＝5、AG＝9、GC＝6。HGは9−5＝4です。「1」と「3」をそのまま引かず、同じACを基準にします。

3校の実例で、比の使い分けを練習する

いずれも、「相似の比を見つけたら終わり」ではありません。今求めた比が、辺の比なのか、部分同士の比なのか、全体に対する割合なのかを確認して次の式へ進みます。

3問で、判断の違いを確かめる

以下はすべて自作の確認問題です。答えの横に「高さ共通」「相似」など、使った条件も書きましょう。

補助線を引く前に、共通するものを探す

1. 比べる2つの図形を囲む：どの面積とどの面積の比かを確定します。
2. 共通条件を書く：同じ頂点、同一直線上の底辺、共通の底辺、平行線を探します。
3. 必要な比を一つ求める：底辺比か高さの比か、対応する辺の比かを決めます。
4. 途中の図形をはさむ：直接比べられないときは、一方と高さ・底辺が共通する三角形へ移ります。
5. 全体をそろえる：長さを引くとき、同じ全体を基準とした数値へ置き直します。

解き直しでは、答えだけでなく「この2つの高さが等しいから」「ここが平行なので相似だから」と、式の理由を一文で書きます。自分で理由を再現できるかが、次の問題へ使えるかを確かめる目安になります。

比と図形の学習でよくある質問