2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2024年度 第1回 算数
全5大問・20解説項目を扱います。仕切りと段差のある水そう、立方体の辺の数え上げ、3個ずつの規則、正方形と対角線の回転を条件から丁寧に解きます。
第1問｜計算・平均・やり取り・平面図形
この大問で学ぶこと
数字を追う前に、変わらない関係をつかむ
通過算は電車の長さが共通、平均は合計点と人数の対応が基本です。図形は半径や二等辺三角形に注目します。公式を次々に当てはめるのではなく、何が等しく何を比較するかを先に整理しましょう。
解くときの着眼点：同じ速さ、同じ辺、人数の違いなど、条件ごとに使う関係を選びます。
(1)
答え：43/9（4と7/9）
- 乗除を左から計算します。4÷2＝2、1と1/3÷18×1/2÷1/6＝4/3×1/18×1/2×6＝2/9です。
- 7－2－2/9＝43/9です。
間違えやすい点：かけ算を割り算より先に計算しません。
(2)
答え：11
- 27から24になるため、引く数63÷(54－□×3)は3です。
- かっこの中は63÷3＝21。□×3＝54－21＝33より、□＝11です。
間違えやすい点：外側から逆算し、最後に元の式へ戻して確かめます。
(3)
答え：180m
- トンネルと鉄橋の長さの差240mに対し、時間の差は39－27＝12秒。電車の速さは240÷12＝20m/秒です。
- 鉄橋を渡る全距離は20×27＝540m。電車の長さは540－360＝180mです。
間違えやすい点：渡り始めから渡り終わりまでは、鉄橋の長さに電車の長さを足します。
(4)
答え：女子の方が2点高い
- Aの女子は50－5＝45点、Bの女子は10－4＝6点です。
- 男子は4人ずつなので平均(50×4＋10×4)÷8＝30点。女子は人数が違い、(45×4＋6×2)÷6＝32点です。
- 32－30＝2点で、女子の方が高くなります。
間違えやすい点：女子の平均を(45＋6)÷2としないようにします。
(5)
答え：1050枚
- 花子さんの枚数を③とすると、渡す枚数は①、渡した後の太郎君と次郎君はそれぞれ⑥です。
- 次郎君は初め⑤なので、花子さんとの差②が300枚。①は150枚です。
- 太郎君の初めの枚数は⑥＋①＝⑦なので150×7＝1050枚です。
間違えやすい点：花子さんのメダルが移ったのではなく、その1/3に当たる枚数を太郎君から渡します。
(6)
答え：18.42cm²
- 円の中心をO、斜線と半円の交点をP、直径の右端をRとします。OP＝ORより、三角形OPRのPとRの角は15度です。
- ∠PORは150度なので、左端とOPで作る扇形の中心角は30度。面積は6×6×3.14×30/360＝9.42cm²です。
- Pから直径へ下ろした高さは、半径6cmの30度の直角三角形より3cm。三角形OPRは6×3÷2＝9cm²。合計18.42cm²です。
間違えやすい点：色部分を扇形だけとせず、三角形の9cm²も加えます。
(7)
答え：116度
- ∠BACをx度、∠CADをy度とするとx＋y＝128度です。
- AB＝ACより∠BCA＝(180－x)÷2、AC＝ADより∠ACD＝(180－y)÷2です。
- 求める∠BCDは2つの和なので180－128÷2＝116度です。
間違えやすい点：128度は∠BAD全体で、∠CADだけの角ではありません。
(8)
答え：60cm
- 横向きの辺を図の上側の境界に沿って足すと4＋2＋3＋2＋1＋2＋4＝18cm。底の10cmを加え28cmです。
- 縦向きの辺は左端9cm、上側の折れ線で下へ2・4・3・7cm、上へ2・4・1cm。合計32cmです。
- 28＋32＝60cmです。
間違えやすい点：へこみのある辺を外側の長方形へ単純に移すと、折り返しの長さを落とします。
第2問｜段差と仕切りのある水そう
この大問で学ぶこと
水位の折れ点を、水が移る場所へ対応させる
水そう全体を初めから1つの直方体として扱うと、段差と仕切りの役割を見失います。まず水が広がる場所を分け、同じ流量で同じ傾きなら断面積も等しい、と読みます。
解くときの着眼点：グラフの平行な2区間から、同じ底面積を見つけます。
(1)
答え：6
- 84～120秒は幅4cm・奥行18cmの右側だけに水が広がります。36秒で36×36＝1296cm³入るので、この区間の上昇は1296÷(4×18)＝18cmです。
- 30～84秒のBも18cm上昇し、所要時間は54秒です。底面積は36×54÷18＝108cm²。奥行18cmなので、幅ア＝108÷18＝6cmです。
間違えやすい点：仕切りを越えた瞬間の次の区間は、別の空の部分を満たす時間です。
(2)
答え：10cm
- AとBは平行なので水位の上がる速さが同じです。Bは54秒で18cm上がるため、1秒に1/3cmです。
- Aの30秒での上昇は10cm。段差の高さ15cmから25cmへ上がるので、仕切り(あ)自体の高さは25－15＝10cmです。
間違えやすい点：底からの水面の高さ25cmと、段の上の仕切りの高さ10cmを区別します。
(3)
答え：195秒後
- 120秒後、中央と右側の水位が18cmでそろいます。幅は6＋4＝10cm。25cmまでの7cmには18×10×7÷36＝35秒かかり、155秒後です。
- 25cmから上は左側も加わり、全幅6＋6＋4＝16cm。満水の30cmまでには18×16×5÷36＝40秒です。
- 155＋40＝195秒後。全容量でも18×(6×15＋10×30)÷36＝195秒と確かめられます。
間違えやすい点：最終区間では、深い部分だけでなく左側の浅い部分にも水が広がります。
第3問｜立方体の辺を通る閉じた道順
この大問で学ぶこと
向きの違いを消して、道の形を数える
各頂点に集まる辺は3本です。一度通った頂点を途中で再び通り抜けるには4本必要なので、この条件では単純な輪の形だけを調べれば足ります。最初と最後の辺を固定してから、対称性を使って全体へ広げます。
解くときの着眼点：辺を重複させず、同じ辺の組を1通りとして数えます。
(1)①
答え：2通り
- A→B、最後にD→Aと固定し、8本の辺を通るので、残る7頂点を全て通る道を調べます。
- A→B→C→G→F→E→H→D→Aと、A→B→F→E→H→G→C→D→Aの2通りです。
間違えやすい点：同じ辺を逆向きに通っただけのものを別に数えません。
(1)②
答え：4通り
- 6本の輪になる道をBの次がCの場合とFの場合に分けます。
- A→B→C→G→H→D→A、A→B→F→E→H→D→A、A→B→F→G→C→D→A、A→B→F→G→H→D→Aの4通りです。
間違えやすい点：通る辺の本数が6本であることと、途中でAへ戻らないことを確認します。
(2)
答え：21通り
- Aで使う2本の辺の組は、ABとAD・ABとAE・ADとAEの3組で、立方体の対称性により各組の数は同じです。
- ABとADを使う輪は、4本なら上面の1通り、6本なら4通り、8本なら2通り。計7通りです。
- よって7×3＝21通り。4本の輪3通り、6本12通り、8本6通りという分類にもなります。
間違えやすい点：各頂点は3本の辺しかないので、途中の頂点を2度通り抜ける輪は作れません。
第4問｜3個ずつ並ぶ整数の規則
この大問で学ぶこと
何番目と何組目を、別の数として扱う
見かけは増減を繰り返しますが、3個ずつ区切れば各組は1ずつ大きくなります。位置を割り算で組と組内の順番へ変え、和は組ごとの合計をまとめます。
解くときの着眼点：1・2・3、2・3・4…の3個を1組として見ます。
(1)
答え：24番目
- n組目はn・n＋1・n＋2です。10が最も早く出るのは8・9・10の組の3個目です。
- 8組×3個＝24番目です。
間違えやすい点：10から始まる10組目まで待つ必要はありません。
(2)
答え：34
- 100＝3×33＋1なので、33組が終わった次の34組目の最初です。
- 34組目は34・35・36なので、100番目は34です。
間違えやすい点：100÷3の余り1は、次の組の1個目を表します。
(3)
答え：1816
- 1～33組の各組の和は3n＋3です。その合計は3×(1＋…＋33)＋3×33＝3×561＋99＝1782です。
- 100番目の34を足して1782＋34＝1816です。
間違えやすい点：34組目を丸ごと足すと、101・102番目まで含めてしまいます。
第5問｜正方形と対角線の回転移動
この大問で学ぶこと
回転半径の最大と最小で、通過領域を描く
最も遠い頂点の軌跡だけを見ても、領域全体は決まりません。正方形の内部も動く場合と対角線だけが動く場合では、回転中心に近い部分が通るかどうかが違います。外側の扇形と内側の空白を整理しましょう。
解くときの着眼点：正方形全体と、線分だけが通る領域を区別します。
(1)
答え：200cm²
- 正方形の面積は対角線×対角線÷2で求められます。
- 20×20÷2＝200cm²です。
間違えやすい点：対角線20cmを1辺の長さとして使いません。
(2)
答え：514cm²
- Cから最も遠いAまでの距離は20cm。Aが90度動く外側の扇形の面積は20×20×3.14÷4＝314cm²です。
- この扇形の両側に、元の正方形と回転後の正方形の半分に当たる直角三角形が1つずつ付きます。各面積は200÷2＝100cm²です。
- 314＋100＋100＝514cm²です。
間違えやすい点：扇形だけでは、回転の始めと終わりの角の部分が含まれません。
(3)
答え：135.5cm²
- 正方形の1辺の長さの2乗は面積と同じ200です。外側は半径CB、中心角180度の半円なので、面積は200×3.14÷2＝314cm²です。
- CからBDへ下ろした垂線は、対角線の中点で交わるため10cmです。回転で残る内側の空白は、半径10cm・中心角90度の扇形と、その両側の直角三角形2つに分かれます。
- 内側の扇形は10×10×3.14÷4＝78.5cm²、三角形2つの面積の合計は10×10＝100cm²。314－78.5－100＝135.5cm²です。
間違えやすい点：線分BDだけの移動では、回転中心Cの近くを通らないため、内側の空白を引きます。
解き直しの進め方
水そうは水が広がる底面積を時間帯ごとに記入します。道順は逆向きをまとめ、組を固定して列挙しましょう。回転移動では外側の軌跡だけでなく、通らない内側の領域まで確認します。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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