2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2021年度 第1回 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。計算・記号の定義・面積の差、素数と同じ余り、映画館の空席の規則、電灯と2本の柱の影、9つの三角形の3色分けを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜計算・記号の定義・面積の差
この大問で学ぶこと
共通の積と、重なる面積を整理する
記号の順番を交換すると変わるのは最後に足す数です。図形の差は共通部分を消し、扇形と三角形の差へ直すと計算できます。
解くときの着眼点：新しい記号は、指定された順序で計算します。
(1)
答え：2021/3（673と2/3）
- 3×12÷1/10＝360、20×10＝200、5÷1/4÷3/13＝260/3です。
- 27＋360＋200＋260/3＝2021/3です。
間違えやすい点：割り算は左から順に行います。
(2)
答え：3/20
- 0.25－□＝1.28÷8/5×0.125＝0.1です。
- □＝0.25－0.1＝0.15＝3/20です。
間違えやすい点：小数ではなく分数で答える指定です。
(3)
答え：30分後
- 1分の周回数の差は1/10－1/15＝1/30です。
- 1周差をつけるには30分かかります。
間違えやすい点：最初に2人が同時に出発した瞬間は含めません。
(4)①
答え：35
- 定義より5×6＋5＝35です。
間違えやすい点：最後に足すのは最初の数です。
(4)②
答え：40
- 内側は2×3＋2＝8です。
- 次に〈8,4〉＝8×4＋8＝40です。
間違えやすい点：内側の結果8を次の演算の最初の数にします。
(4)③
答え：16、27
- 順番を逆にすると積は同じで、最後の加数だけが変わります。正しい最初の数は、後の数より7大きい数です。
- 1～9では(8,1)か(9,2)なので、正答は8×1＋8＝16、9×2＋9＝27です。
間違えやすい点：入れ替えても積が同じことを使います。
(5)
答え：0.285cm²
- アは半径2cm・45度の扇形から面積1cm²の直角三角形を引いたπ/2－1cm²です。
- イは半径1cm・90度の扇形から面積0.5cm²の直角三角形を引いたπ/4－0.5cm²です。
- 差はπ/4－0.5＝3.14÷4－0.5＝0.285cm²です。
間違えやすい点：アとイの扇形は半径が異なります。
(6)
答え：8倍
- 正方形の1辺を1とします。外側は元の正方形と、周囲の直角三角形4個へ分けられます。
- 4個の面積はAF×AE÷2＝2、BF×BG÷2＝3×0.5÷2＝0.75、CG×CH÷2＝1.5×3÷2＝2.25、DH×DE÷2＝4×1÷2＝2です。
- 合計1＋2＋0.75＋2.25＋2＝8倍です。
間違えやすい点：延ばした分だけでなく、元の辺を含むBF・CG・DHを使います。
第2問｜素数と同じ余り
この大問で学ぶこと
素因数と共通の余りを結びつける
同じ数で割った余りが同じなら、2数の差はその数で割り切れます。まず差の公約数を求め、その候補で元の数の余りを確認します。
解くときの着眼点：割り切れる差を作ります。
(1)
答え：1より大きく、正の約数が1と自分自身だけの整数
- 例えば2・3・5・7は素数です。1は約数が1個だけなので素数ではありません。
間違えやすい点：「1と自分自身」だけでは1も含むように読めるため、1より大きい条件を添えます。
(2)①
答え：ア43、イ47
- 2021＝43×47です。43も47も、2・3・5で割り切れず、平方根以下の素数で割れないので素数です。
間違えやすい点：積が2021になるだけでなく、両方が素数か確認します。
(2)②
答え：ウ3
- 1507－1178＝329＝47×7、3528－1178＝2350＝47×50です。
- 差の最大公約数は47。47で割ると1178＝47×25＋3で、他の2数も余り3です。
間違えやすい点：差の約数1では余り0となるだけで、ここで求める共通の余り3とは区別します。
第3問｜映画館の空席の規則
この大問で学ぶこと
座席数の余りと、入場人数をつなぐ
1席おきでは座席数は偶数、2席おきで最後に座るなら3で割って1余ります。各列で座れる人数を求め、20列の配分へ使います。
解くときの着眼点：1列の最後の席が空くかを式にします。
(1)
答え：4、10、16、22席
- 偶数で、3で割ると1余る数を小さい順に探します。
- 6で割ると4余るので、4・10・16・22席です。
間違えやすい点：2席おきで最後に座る場合、席数は3の倍数ではありません。
(2)
答え：144人
- 1列の席数をsとすると、1席おきはs/2人、2席おきは(s＋2)/3人です。
- 18列で座れる待客数は9s人。20列の2席おきでは20(s＋2)/3人で、24人が座れません。
- 9s－20(s＋2)/3＝24よりs＝16、待客9×16＝144人です。
間違えやすい点：24人を引く向きを逆にしないようにします。
(3)
答え：12列
- 16席なら1席おきで8人、2席おきで6人です。
- 全20列を6人ずつなら120人で、144人との差24人を、1列につき2人多く座らせます。
- 24÷2＝12列です。
間違えやすい点：1席おきの列を先頭から12列作ります。
第4問｜電灯と2本の柱の影
この大問で学ぶこと
直角三角形の相似から、影と壁の高さを求める
Aの影で投影の倍率を決め、影の先端どうしと直角条件から別の柱の位置を求めます。壁の影は光の直線が壁へ届く高さを相似で求めます。
解くときの着眼点：平面図と、縦の断面を分けます。
(1)
答え：7m
- Aの影をxとすると、電灯とAの柱の相似より6：3.5＝(5＋x)：xです。
- 6x＝17.5＋3.5xよりx＝7mです。
間違えやすい点：Oから影の先端までは12mです。
(2)
答え：4.4m
- 平面の三角形OBAはAB＝3m、OA＝5mの直角三角形なのでOB＝4mです。
- Aの影の先端はOから12m、2つの影の先端は9m離れ、直角なのでBの影の先端までの距離は15mです。
- Bの影は15－4＝11m。柱の高さは6×11/15＝4.4mです。
間違えやすい点：ABはOAではなくOBに垂直です。
(3)
答え：2.16m
- 壁はAの影の先端を通りOBに垂直です。Oから壁までのOB方向の距離は12×OB/OA＝12×4/5＝9.6mです。
- 光はO上の高さ6mから、Bの影の先端の地面まで15mで下がります。
- 壁の高さは6×(15－9.6)/15＝2.16mです。
間違えやすい点：地面の影11mから単に9.6mを引いた値が高さではありません。
第5問｜9つの三角形の3色分け
この大問で学ぶこと
中央の6個の輪と、角の3個へ分ける
中央の6個は輪状につながり、3隅の三角形はそれぞれ1個だけに隣接します。アとイは輪の向かい側で、間に2個ずつある2本の経路を別々に数えます。
解くときの着眼点：辺を共有する部分だけを隣接と考えます。
(1)
答え：3通り
- アとイは辺を共有しないため、アが赤でもイは赤・青・黄のどれでも選べます。
間違えやすい点：頂点だけで接していても同じ色にできます。
(2)
答え：96通り
- アとイの共通色は3通りです。その間の片側の2個は、共通色以外の2色を並べる2通りです。
- 反対側も2通り、3隅は各2通りなので、3×2×2×2³＝96通りです。
間違えやすい点：輪の左右で選ぶ2個ずつを独立に数えます。
(3)
答え：432通り
- アとイの異なる色の組は3×2＝6通りです。両端を赤・青とすると、その間の2個の色は(青,赤)、(青,黄)、(黄,赤)の3通りです。
- 輪の反対側も3通り、3隅は各2通りです。
- 6×3×3×2³＝432通りです。
| 間の1個目 | 間の2個目 |
|---|---|
| 青 | 赤 |
| 青 | 黄 |
| 黄 | 赤 |
間違えやすい点：手元の解答資料には426通りとありますが、原問題の隣接関係で全3⁹配置を列挙した結果と、上の分岐計算は432通りで一致します。
解き直しの進め方
映画館は席数の余り、影は平面と縦断面、色分けは辺を共有する関係だけを書き出して復習しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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