2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2019 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2019年度 第1回 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。逆算・塗り分け・平均・角と整数、3cm×5cmのタイルで正方形、固定した紙を折った頂点の移動範囲、穴のある図形の回転体、1より少し大きい数の累乗を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜逆算・塗り分け・平均・角と整数
この大問で学ぶこと
回転による同一視と整数の条件を整理する
正四面体は同じ色の面数で分類できます。値段の問題は1の位の条件で107円の個数を先に決めます。
解くときの着眼点：差と偶奇を先に使います。
(1)
答え：1と3/7
- 2と2/3－1.25＝17/12。1と3/4で割ると17/21です。
- 2－17/21＝25/21、6/5倍して10/7＝1と3/7です。
間違えやすい点：かっこ内の値を順に確定します。
(2)
答え：68
- 48÷6＝8、27－8＝19です。
- □－11＝19×3＝57なので□＝68です。
間違えやすい点：最後に11を足します。
(3)
答え：5通り
- 赤の面数を0・1・2・3・4枚に分けます。
- 正四面体ではどの2面も隣り合うので、同じ赤の面数なら回転で重なります。
- したがって5通りです。
間違えやすい点：面を固定した2⁴通りではありません。
(4)
答え：92点
- 5回で必要な合計は72×5＝360点。
- 初めの4回は67×4＝268点なので360－268＝92点です。
間違えやすい点：平均点の差5点だけを足すのではありません。
(5)
答え：ア75度、イ45度
- DC＝DEなので三角形DCEは二等辺。∠CDE＝90－60＝30度から∠DCE＝75度です。
- ∠BCF＝90－75＝15度なのでア＝90－15＝75度です。
- ∠FAE＝30度、∠AFE＝105度よりイ＝45度です。
間違えやすい点：FはCEの延長とABの交点です。
(6)
答え：16日間
- Aは9日間で全体の9/12＝3/4を終えます。
- Bは6～9日目の4日間で残り1/4を進めるので、1日1/16です。
- Bだけなら16日間です。
間違えやすい点：初めの5日間はAだけです。
(7)
答え：7個
- 50円と80円は10の倍数なので、合計の1の位2から107円の個数は6個です。
- 残る10個の代金は1352－642＝710円。全て50円なら500円で、差210円です。
- 80円は(710－500)÷30＝7個です。
間違えやすい点：107円16個以下で、個数の1の位は6しかありません。
第2問｜3cm×5cmのタイルで正方形
この大問で学ぶこと
最小公倍数で1辺を決める
縦も横も15cmの倍数になる必要があります。1辺15k cmのときタイルは15k²枚です。
解くときの着眼点：同じ向きという条件を守ります。
(1)
答え：15枚
- 正方形の1辺は3と5の最小公倍数15cmです。
- 15÷3＝5段、15÷5＝3列で15枚です。
間違えやすい点：面積だけが平方数でも条件は足りません。
(2)
答え：204枚
- 15×11²＝1815枚、15×12²＝2160枚なので最大は1815枚です。
- 2019－1815＝204枚余ります。
間違えやすい点：k＝12は用意した枚数を超えます。
第3問｜固定した紙を折った頂点の移動範囲
この大問で学ぶこと
四分円の和と重なりを使う
CはBから30cm以内、DはAから30cm以内へ移せます。2つの範囲の重なりと、どちらにも含まれない部分は、全体との面積差で比較できます。
解くときの着眼点：固定点からの距離は増えません。
(1)
答え：706.5cm²
- Cの移動先は長方形内でBを中心とする半径30cmの四分円です。
- 30²×3.14÷4＝706.5cm²です。
間違えやすい点：元のCも円弧上として含みます。
(2)
答え：ア：2つの四分円の共通部分、イ：両方の四分円の外側
- B中心・半径30cmの四分円と、A中心・半径30cmの四分円を長方形の内側へ描きます。
- 両方に入る中央の重なる部分へア、どちらにも入らない右側中央寄りの部分へイを記入します。
間違えやすい点：片方だけに入る部分には記号を付けません。
(3)
答え：213cm²
- CとDの範囲の合計は706.5×2＝1413cm²、長方形は30×40＝1200cm²です。
- 範囲を足すとアは2回、イは0回数えます。全体からの差はア－イです。
- 1413－1200＝213cm²です。
間違えやすい点：重なりを個別に計算しなくても差が求まります。
第4問｜穴のある図形の回転体
この大問で学ぶこと
重なる回転部分を1回だけ数える
各段にある横の区間を回すと円盤または輪になります。左右の区間が同じ半径を通る場合は合計せず重ねます。
解くときの着眼点：高さ1cmの円柱・輪へ分けます。
(1)
答え：40.82cm³
- 下から各1cmの段の断面積は、4π・4π・π・4πcm²です。
- 2段目の内側と外側の回転がつながり、半径2cmの円盤になります。
- 合計13π＝40.82cm³です。
間違えやすい点：上から3段目の平面の穴は、反対側の回転で埋まります。
(2)
答え：122.46cm³
- B軸からの距離で区間を測ると、下から断面積は16π・6π・8π・9πcm²です。
- 2段目は半径0～1と2～3の輪、3段目は半径1～3の輪です。
- 合計39π＝122.46cm³です。
間違えやすい点：回転しても残る穴を引きます。
第5問｜1より少し大きい数の累乗
この大問で学ぶこと
小数点と増加量を追う
1.1倍は元の数の1割を加える操作です。1.01倍ではその時点の数の1％が増えます。
解くときの着眼点：前の積に1.1を掛け続けます。
(1)
答え：1.4641
- 1.1³＝1.331に1.1を掛けます。
- 1.331＋0.1331＝1.4641です。
間違えやすい点：4回掛けた数です。
(2)
答え：1.61051
- 1.4641＋0.14641＝1.61051です。
間違えやすい点：5回掛けた数です。
(3)
答え：8
- 1.1⁶＝1.771561、7回で1.9487171、8回で2.14358881です。
- 7回までは2以下、8回で初めて2より大きくなります。
間違えやすい点：1より大きいので以降は増加します。
(4)
答え：10
- 1.01倍するごとに増加は0.01より大きくなります。
- 10回掛けると増加は0.1より大きく、全体は1.1より大きくなります。
間違えやすい点：10回という数を文章の増加量から導きます。
解き直しの進め方
同じ向きのタイル、頂点の到達範囲、回転後の断面をそれぞれ整理しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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