2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2022年度 第1回 算数
全5大問を解説します。独自記号と会話の集計、訂正票を反映した流水算、立方体を増やす操作、さいころの積、半円と正方形の相似を整理します。
第1問｜計算・井戸・一の位・集計・角度・余り
この大問で学ぶこと
必要な情報を選び、必ず成り立つ理由を説明する
井戸は湧き水、一の位は周期、会話は2×2の表、余りは5分類へ整理します。全ての候補に共通する事柄と、ある候補だけの事柄を分けることも大切です。
解くときの着眼点：独自記号と、会話の条件を式へ直します。
(1)
答え：1
- 1と4/7×1と1/6－4/21＝11/7×7/6－4/21＝23/14。これを1/3で割ると69/14です。
- 右辺の2÷1.4＝10/7を引くと、□×7/2＝49/14＝7/2なので、□＝1です。
間違えやすい点：帯分数と小数を分数にそろえます。
(2)
答え：42分
- ポンプ1台が1分でくむ量を1とします。5台で252分は1260、10台で72分は720くみ出します。差540は180分余計に湧いた水なので、湧く量は毎分3です。
- 初めの水は(5－3)×252＝504。15台では毎分15－3＝12ずつ減るので、504÷12＝42分です。
間違えやすい点：くみ出す間にも水は湧き続けます。
(3)①
答え：4
- 2の累乗の一の位は2・4・8・6の4周期です。10を4で割ると2余るので、2番目の4です。
間違えやすい点：10回掛けた数そのものを計算する必要はありません。
(3)②
答え：12個
- 指数2021から2022へ増やしても一の位が同じになるのは、元の一の位が0・1・5・6の場合です。他の一の位は2周期または4周期で変わり、今回は一致しません。
- 1〜30では各一の位が3個ずつあるため、4×3＝12個です。
間違えやすい点：元の数そのものではなく、一の位別に調べます。
(4)
答え：2教科とも80点以上69人、国語80点以上113人
- 算数80点以上で国語79点以下は150×0.1－3＝12人です。両方80点以上をx人とすると、算数80点以上はx＋12人、79点以下は150－(x＋12)人です。
- 会話より算数79点以下の人数もx人なので、x＝138－x、x＝69です。算数80点以上は81人です。
- 国語80点以上は81×4/3＋5＝113人です。表へ入れると両方79点以下は25人となり、全150人に一致します。
| 国語＼算数 | 80点以上 | 79点以下 | 合計 |
|---|---|---|---|
| 80点以上 | 69 | 44 | 113 |
| 79点以下 | 12 | 25 | 37 |
| 合計 | 81 | 69 | 150 |
間違えやすい点：会話にある国語100点の情報は、今回の人数決定には使いません。
(5)
答え：ア＝45度、イ＝84度
- AD＝DEで∠ADE＝108度なので、二等辺三角形ADEの底角は各36度です。CD＝DEでもあり、∠CDE＝162度なので、∠DEC＝9度。ア＝36＋9＝45度です。
- 2つの円弧はそれぞれB・Cを中心とし、交点をKとするとBC＝BK＝CKなのでBKCは正三角形です。AB＝BKより∠BAK＝75度、∠DAI＝15度です。
- ∠EAI＝36＋15＝51度。三角形AEIからイ＝180－51－45＝84度です。
間違えやすい点：同じ半径の円弧と正方形の辺の等しさを、先に確認します。
(6)
答え：③
- 整数を5で割った余りは0〜4の5種類です。異なる整数を6個選べば、少なくとも2個は同じ余りになります。
- 同じ余りの2整数の差は5の倍数なので、15組の差の中に必ず5の倍数が1つ以上あります。したがって正しいのは③です。
間違えやすい点：ある選び方の例だけでは、どの選び方でも成り立つ証明にはなりません。
第2問｜川を往復する船と自転車
この大問で学ぶこと
到着時刻からさかのぼり、速さと位置をつなぐ
訂正票に従い、2回目のすれ違い位置は「Bから15/8km」、自転車のB到着は「午前11時17分30秒」とします。船の停止27分を除いた上下の時間比と、自転車の残り時間を組み合わせます。
解くときの着眼点：問題冊子の訂正条件を先に反映します。
(1)
答え：午前10時40分
- 船は9時10分から12時1分まで171分かかり、Bで27分停止するので、動く時間は144分です。
- 上り：下りの速さ3：5より、所要時間は5：3。上りは144×5/8＝90分なので、最初のB到着は10時40分です。
間違えやすい点：船がBへ着いた時刻と、27分後に出る時刻を区別します。
(2)
答え：毎時15km
- 船はBを10時40分＋27分＝11時7分に出ます。自転車は2回目のすれ違い後、残り15/8kmを時速25kmで走るため、Bまで(15/8)÷25＝3/40時間＝4分30秒です。
- 自転車のB到着11時17分30秒から逆算し、すれ違いは11時13分。船はB出発から6分で15/8km下るので、下りは時速(15/8)÷(1/10)＝75/4kmです。
- 上りはその3/5で45/4km。静水時の速さは上下の平均で、(75/4＋45/4)÷2＝15km/時です。
間違えやすい点：11時17分30秒は2回目のすれ違い時刻ではなく、自転車がBへ着く時刻です。
(3)
答え：45/4（11と1/4）km
- ABは上り45/4km/時で90分かかるため、45/4×3/2＝135/8kmです。CのAからの距離をxkmとします。
- 船が最初にCへ着くまで4x/45時間。その後、自転車はC→A→Bと進むので、(x＋135/8)÷25時間かかります。
- 9時10分から自転車B到着まで17/8時間なので、4x/45＋(x＋135/8)/25＝17/8です。
- 整理すると29x/225＝29/20、x＝45/4kmです。最初のすれ違いは10時10分となり、その後の全時刻にも一致します。
間違えやすい点：自転車がCからAへ戻る距離xも、所要時間へ含めます。
第3問｜立方体を外側へ増やす操作
この大問で学ぶこと
段ごとの個数と、外に見える面を分ける
操作後の立方体の中心は、縦横高さの移動回数の合計が操作回数以下の位置へ並びます。表面積は方向別の列、体積は高さ別の層で数えると、重複を避けられます。
解くときの着眼点：同じ位置へ付く立方体は、1個として数えます。
(1)
答え：30cm²
- 1回後は中央1個と6方向の1個ずつ、計7個です。外側の6個は中央と1面ずつ接し、残り各5面が外に出ます。
- 6×5＝30面で、各1cm²なので30cm²です。
間違えやすい点：中央の立方体の6面は全て内部に隠れています。
(2)
答え：78cm²
- 一方向から見ると、2回後の立方体の並びは、列ごとの個数1・3・5・3・1のひし形に投影されます。合計13本の列があります。
- 各列の一番手前だけがその方向の外面となるので、一方向13面です。前後左右上下の6方向で13×6＝78cm²です。
間違えやすい点：同じ方向の1列に何個あっても、見える端の面は1枚です。
(3)
答え：231cm³
- 5回後は中央の高さの層が1＋2×5×6＝61個です。1段上下は半径4のひし形で41個、その先は25・13・5・1個と減ります。
- 中央の61個と上下の対称な層を合わせ、61＋2×(41＋25＋13＋5＋1)＝231個です。
- 各立方体は1cm³なので231cm³です。
間違えやすい点：表面にある立方体だけでなく、内部の立方体も体積へ含めます。
第4問｜4個のさいころの積
この大問で学ぶこと
同じ目の重複を除いて、異なるさいころへ割り当てる
素因数5が必要な積は出目5を含みます。順序を無視した出目の組を先に決め、その後で同じ目を入れ替えた重複を除くと、積が範囲に入る場合も漏れなく整理できます。
解くときの着眼点：まず出目を小さい順にそろえ、並べ方を数えます。
(1)
答え：12通り
- 540＝2²×3³×5なので出目5が必要で、残る3個の積は108です。1〜6では3・6・6の組だけです。
- 5を置くさいころは4択、3を置く残りは3択。6同士の交換は同じなので4×3＝12通りです。
間違えやすい点：4個は大きさが違うので区別しますが、同じ6同士の交換は増やしません。
(2)
答え：36通り
- 360は5を1個含み、残りの積は72です。組は2・6・6と3・4・6の2種類です。
- 2・5・6・6は同じ6があるので12通り、3・4・5・6は全て違うので4×3×2×1＝24通り。合計36通りです。
間違えやすい点：積360になる組を1種類だけで終わらせません。
(3)
答え：58通り
- 出目を小さい順に並べて調べると、360より大きく540より小さい積は375・384・400・432・450・480・500です。
- 各積の出目と並べ方は下表のとおりです。432には2種類の組があります。
- 4＋4＋6＋16＋12＋12＋4＝58通りです。
| 積 | 小さい順の出目 | 並べ方 |
|---|---|---|
| 375 | 3・5・5・5 | 4 |
| 384 | 4・4・4・6 | 4 |
| 400 | 4・4・5・5 | 6 |
| 432 | 2・6・6・6、3・4・6・6 | 4＋12＝16 |
| 450 | 3・5・5・6 | 12 |
| 480 | 4・4・5・6 | 12 |
| 500 | 4・5・5・5 | 4 |
間違えやすい点：端の360と540は「より大きい・より小さい」範囲へ含めません。
第5問｜半円・正方形と45度の直線
この大問で学ぶこと
直角と相似から、長さを比のまま求める
Oは正方形の底辺BCの中点です。AO＝OI＝OJを使うと、45度の条件からOJがAIへ垂直と分かります。高さの比を使ってPの位置を求め、最後はDHを底辺とした面積へ進みます。
解くときの着眼点：半径が等しい二等辺三角形を見つけます。
(1)
答え：AH：HI＝1：4
- AB＝AD、OB＝BC/2なので、AIを延ばしてDCと交わるIは、Oを中心にAと反対の位置にあります。IC＝AB、DI＝2ADです。
- 直角三角形ADIの斜辺AIへDから下ろした垂線がDHです。三角形ADHとDIHは相似で、斜辺AD：DI＝1：2です。
- 対応からAH：DH＝DH：HI＝1：2。したがってAH：HI＝1：4です。
間違えやすい点：IはCより下へ、正方形の一辺分だけ離れた位置です。
(2)
答え：20cm²
- 三角形ABOは直角で、AB＝2OBです。AO＝5cmより、AO²＝AB²＋OB²＝5OB²なのでOB²＝5です。
- 正方形の一辺BC＝2OBなので面積は(2OB)²＝4×5＝20cm²です。
間違えやすい点：辺の長さを小数へ直す必要はありません。長さの2乗のまま求めます。
(3)
答え：OC：CP＝3：2
- OI＝OA＝OJ＝5cm、∠OIJ＝45度なので、二等辺三角形OIJは直角二等辺三角形でOJはAIに垂直です。
- Jから直径へ垂線を下ろし足をKとします。OJはOAを90度回した半径なので、JK＝OC、CK＝OCです。一方IC＝2OCです。
- 三角形ICPとJKPは相似で、CP：PK＝IC：JK＝2：1。CK＝CP＋PK＝OCより、CP＝2OC/3です。よってOC：CP＝3：2です。
間違えやすい点：同じ円周上にあるのはAとJで、IもOAを反対へ延ばした半径5cmの位置にあります。
(4)
答え：28/3（9と1/3）cm²
- AI＝AO＋OI＝10cm。AH：HI＝1：4よりAH＝2、HI＝8cmです。(1)の比からDH＝4cmです。
- PからAIへ下ろした垂線の足をMとします。(3)でIC：JK＝2：1なので、IP：PJ＝2：1、IP：IJ＝2：3です。
- 三角形IPMとIJOは相似で、IM：IO＝2：3。IM＝10/3cm、HM＝HI－IM＝8－10/3＝14/3cmです。
- DHを底辺としたときの高さはHMなので、面積は4×14/3÷2＝28/3cm²です。
間違えやすい点：PからDHまでの距離はPMではありません。DHに垂直な方向の長さHMを使います。
解き直しの進め方
流水算は訂正後の条件で時刻表を作り、グループの集計は表へ戻して合計を確認します。図形の垂線は何を底辺とした高さかを明記し、さいころは同じ目の重複を除いて数えましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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