2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
城北埼玉中学校・2023年度 第1回 算数
全4大問を解説します。小問集合の数え上げと図形、途中で休む3人の移動、垂直線と相似、立方体が段状に増える規則を整理します。
第1問｜計算・割合・場合の数・図形
この大問で学ぶこと
短い小問でも、数える対象と基準を明確にする
じゃんけんはあいこになる組を場合分けし、容器代や配り方は変化した分から1つ分を求めます。図形では重なる部分を消すと、必要な全体の面積が比較できます。
解くときの着眼点：一定の差・合計量・等積を使い、複数条件を整理します。
(1)①
答え：31.4
- 6.28×8＝1.57×32なので、1.57×(32－12)＝1.57×20＝31.4です。
間違えやすい点：共通する1.57へそろえると筆算を減らせます。
(1)②
答え：3と3/5
- 2と4/5÷3と1/2－1/2＝4/5－1/2＝3/10です。
- 4と1/2÷3/8＝12なので、12×3/10＝18/5＝3と3/5です。
間違えやすい点：内側のかっこと、外側の割り算を別々に整理します。
(2)
答え：9
- 72÷(15－□÷3)＝6なので、かっこ内は72÷6＝12です。
- □÷3＝15－12＝3より、□＝9です。
間違えやすい点：最後の8倍を先に元へ戻します。
(3)
答え：300g
- 11％食塩水をx gとすると、食塩は12＋0.11x g。全体は100＋x＋50＝150＋x gです。
- 12＋0.11x＝0.1(150＋x)より、0.01x＝3、x＝300gです。
間違えやすい点：加えた水50gには食塩は含まれません。
(4)
答え：39通り
- 4人のあいこは、全員同じ手の3通りか、3種類の手が全て出る場合です。
- 3種類が出るときは人数の内訳が2人・1人・1人。2人が出す手3通り、その2人の選び方6通り、残る手の割り当て2通りで36通りです。
- 3＋36＝39通りです。
間違えやすい点：2種類だけの手では勝敗が決まるので、あいこに含めません。
(5)
答え：220円
- りんご8個の差で4120－2560＝1560円増えるので、1個195円です。
- 箱代は2560－195×12＝220円です。
間違えやすい点：箱代は個数に応じて変わらないため、差を取ると消えます。
(6)
答え：55個
- 8個ずつなら1個不足、6個ずつなら13個余るので、2個ずつの差が14個に当たります。
- 人数は14÷2＝7人。あめは6×7＋13＝55個です。
間違えやすい点：不足1個と余り13個は、差を比べるときに足します。
(7)
答え：107度
- 重なってできる五角形に注目します。正六角形の頂点2つは各120度、正三角形の頂点は60度です。
- 残る角は133度と同じ対頂角、およびアと同じ対頂角です。五角形の内角和540度より、ア＝540－120－120－60－133＝107度です。
間違えやすい点：133度の隣の角を使うのでなく、重なりの五角形に対応する角を確かめます。
(8)
答え：9.42cm
- 三角形と半円から共通部分を除いたア・イが等しいので、三角形全体と半円全体の面積も等しくなります。
- 半円は6×6×3.14÷2＝56.52cm²。三角形の面積12×AB÷2が等しいため、AB＝56.52÷6＝9.42cmです。
間違えやすい点：重なりの交点の位置を求める必要はありません。
(9)
答え：15.28cm
- 半径3cmと弦ABの長さ3cmより、中心とA・Bを結ぶ三角形は正三角形です。小弧ABは中心角60度です。
- 色部分の境界は直径PQの6cm、弦ABの3cm、残る中心角180－60＝120度の弧です。
- 周長は6＋3＋3×2×3.14×120/360＝15.28cmです。
間違えやすい点：小弧ABを境界に加えるのでなく、直線の弦ABを加えます。
(10)
答え：ア＝3、イ＝14
- 日をd、月をmとすると、最後の数は(50d＋5)×2＋m＝100d＋10＋mです。
- 1413－10＝1403＝100×14＋3なので、14日・3月です。
間違えやすい点：100倍されたのは日で、月と日の順番が逆に入っています。
第2問｜出会って休み、向きを変える3人
この大問で学ぶこと
移動と休止を同じ時間軸へそろえる
AがCに出会ったときのBとの差を求めると、出会いの時刻とPQ間の距離が決まります。休んでいる時間はBだけが差を縮め、最後はPへの到着時刻を比較します。
解くときの着眼点：出会い後2分間で、BとCが縮める距離を考えます。
(1)
答え：280m
- AとCが出会った後、Cは2分でBと出会います。BとCは向かい合うため、2分間で縮める距離は(80＋60)×2＝280mです。
- これはAとCの出会いの瞬間のA・Bの距離でもあります。
間違えやすい点：Cだけの2分間の移動距離120mを答えにしません。
(2)
答え：3分30秒
- Aはその位置で休み、Bが分速80mで280mを縮めます。
- 休止は280÷80＝3.5分＝3分30秒です。
間違えやすい点：休止中にAは動かないので、A・Bの速さの差20m/分を使いません。
(3)
答え：5分50秒後
- 最初の出会いまで、AとBの差は毎分20mずつ広がるので、280÷20＝14分です。Aの位置は1400m、Cは840m進んでいるためPQ＝2240mです。
- Aは休止後17.5分の時点でPへ引き返し、1400÷100＝14分で戻るので31.5分後にPへ着きます。
- Cは2240÷60＝112/3分後。差は112/3－63/2＝35/6分＝5分50秒です。
間違えやすい点：AがCを追い越す時刻を求めなくても、それぞれのP到着時刻から差を出せます。
第3問｜正方形と垂直な補助線
この大問で学ぶこと
直交する線から、対応する辺の比を見つける
BEとBC、ABとAFは正方形の辺の方向です。CEとBFが垂直なため、2つの直角三角形の鋭角が対応します。交点Gの比は、CEを上辺まで延ばして平行線の相似へ移します。
解くときの着眼点：直角三角形の相似と、延長線の交点を使います。
(1)
答え：2cm
- 三角形ABFとBCEは相似です。AB：AF＝BC：BE＝6：4なので、AF＝4cmです。
- AD＝6cmよりFD＝6－4＝2cmです。
間違えやすい点：BFとCEの直交から、対応する鋭角を確かめます。
(2)
答え：204/13（15と9/13）cm²
- CEを延ばしてADの延長との交点をXとします。AE＝2cm、BE＝4cmより、三角形AEXとBECの相似からAX＝3cmです。
- XF＝3＋4＝7cmで、XFとBCが平行なので三角形XFGとCBGは相似。BG：GF＝6：7です。GのBCからの高さは6×6/13＝36/13cmです。
- 四角形FGCDは正方形からABFとBCGを引き、36－6×4÷2－6×(36/13)÷2＝204/13cm²です。
間違えやすい点：Gの高さはBF全体の6/13であり、正方形の高さ6cmにも同じ比を使えます。
(3)
答え：6：7
- (2)で延長したXを使います。XF＝7cm、BC＝6cm、XFとBCは平行です。
- 三角形XFGとCBGが相似なので、BG：GF＝BC：XF＝6：7です。
間違えやすい点：相似の対応をGF：BGと逆に答えないようにします。
第4問｜段々に増える立方体
この大問で学ぶこと
立体の見た目を、段ごとの個数へ分解する
1秒ごとに高さが1段増え、各段は三角形状に並びます。段の個数は1＋2＋…の和で求め、全体はそれぞれの段を足して数えましょう。
解くときの着眼点：各段の個数が1・3・6・10…になることを確認します。
(1)
答え：20cm³
- 3秒後は4段で、上から1個、3個、6個、10個です。
- 合計1＋3＋6＋10＝20個。1個1cm³なので20cm³です。
間違えやすい点：3秒後は最初の1段から3回増えて4段になります。
(2)
答え：15個
- 4秒後には5番目の段が加わり、その個数は1＋2＋3＋4＋5＝15個です。
- 3秒後との差を聞いているので、答えは15個です。
間違えやすい点：4秒後全体の35個を答える問題ではありません。
(3)
答え：56cm³
- 5秒後は6段で、各段の個数は1・3・6・10・15・21個です。
- 合計は56個なので体積56cm³です。
| 経過 | 段数 | 全体の個数 |
|---|---|---|
| 0秒 | 1段 | 1個 |
| 1秒 | 2段 | 4個 |
| 2秒 | 3段 | 10個 |
| 3秒 | 4段 | 20個 |
| 4秒 | 5段 | 35個 |
| 5秒 | 6段 | 56個 |
間違えやすい点：最下段21個だけでなく、それより上の全ての段も加えます。
解き直しの進め方
場合の数は条件ごとの内訳、移動は同じ時間軸、図形は延長線による相似、立体は各段の個数を確認しましょう。求めるのが全体か差かも最後に戻して確かめます。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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