2025年3月19日
SUSUMU JUKU / EXAM SOLUTIONS
答えだけで終わらせず、
次に使える考え方まで。
2025年度 開成中学校／2月1日入試／算数・60分
全4大問・12解説項目を照合｜解説更新：2026年10月26日
2025年度の4大問を解説します。区切り方や作図には複数の正解があるため、具体例と確認方法を示します。第2問の46点は条件に合う高得点の例で、ここでは最大値の証明までは主張しません。
大問1｜単位の換算と残金の逆算
面積の単位aと、買い物のたびに変わる残金の基準を確かめます。
大問1 (1)
答え：0.815a
- 最初の長さは20＋13－0.4＝32.6m。次の長さは2.3＋0.32－0.12＝2.5mです。
- 積は32.6×2.5＝81.5m²。1a＝100m²なので0.815aです。
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長さをmへそろえ、最後に面積をaへ直します。
大問1 (2)
答え：205円
- 初めの所持金をx円とします。Aの後は8x/9＋20、Bの後は（8x/9＋20）×6/7＋40です。Cの後はその4/5に10円を足します。
- 整理した残金は64x/105＋390/7。これが2x/5＋480に等しいので、22x/105＝2970/7、x＝2025円です。
- 商品Aは2025÷9－20＝205円です。
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求めるのは初めの所持金ではなく、商品Aの値段です。
大問2｜4行9列の区切りとポイント
各行を通る長方形の種類数を数え、行番号を掛けて合計します。表の同じ数字の連続部分が1つの長方形です。
大問2 (1) 図2・図3
答え：図2：23点、図3：35点
- 図2の各行の種類数は上から3、3、2、2です。1×3＋2×3＋3×2＋4×2＝23点です。
- 図3は2、3、5、3種類なので、1×2＋2×3＋3×5＋4×3＝35点です。
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図3の2の長方形は3・4行目にあり、2行目には入りません。
大問2 (2)
答え：20点と30点の区切り方の一例（下表）
- 20点は各行を2つに分け、上から幅1と8、2と7、3と6、4と5の長方形を置けば作れます。1～8マスの長方形が1つずつでき、ポイントは（1＋2＋3＋4）×2＝20です。
- 30点の例は下表です。8マスは4行×2列、6マスは3行×2列、4マスは2行×2列、2マスは1行×2列にし、残りへ1・3・5・7マスを置きます。
- 各行の種類数は5、4、3、2。ポイントは5＋8＋9＋8＝30です。表の同じ数字の境界を消して、異なる数字の境界を太線にします。
| 行＼列 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 2 | 2 | 2 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 行＼列 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 8 | 8 | 6 | 6 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 8 | 8 | 6 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 4 | 8 | 8 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
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1～8は面積の表示です。数字を1個ずつ置くだけでなく、その面積分のマスを長方形で囲みます。
大問2 (3)
答え：46点の一例（下表）
- 下表の区切りでは各長方形の面積が1～8マスに1つずつ対応します。4マスは左端の縦4マス、3マスはその隣の縦3マス、7マスは上段右の横7マスです。
- 各行の種類数は3、4、5、5なので、ポイントは1×3＋2×4＋3×5＋4×5＝46です。
- 高い点を目指すには、複数行へまたがる長方形を使い、特に行番号の大きい下の行に多くの種類を通します。ただし、形は長方形、面積1～8は各1個という制約を同時に守ります。
| 行＼列 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 3 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 2 | 4 | 3 | 6 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 3 | 4 | 3 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 2 |
| 4 | 4 | 1 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 2 |
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46点を最大値と断定する解説ではありません。設問はなるべく大きい例を求めています。
大問3｜3本の道と出会いの周期
道の順序はア→イ→ウの繰り返しです。往復の向きが変わるため、Bへ到着する道はア・ウ・イの順になります。
大問3 (1) (a)・(b)・(c)
答え：⊗は最初の斜線の中点、⊠は3本目の斜線の中点。ひかりの線は下記の位置。
- のぞみが3回目にAへ着くまでの横幅を1、高さを1とします。Bへの2回目の到着は最初の斜線の中央（横1/2、高さ1/2）です。8回目は3本目の斜線の中央（横5/2、高さ1/2）です。
- ひかりの線は、出発点（0,0）から上端の（5/3,1）へ直線を引き、その時刻で下端へ戻して、（5/3,0）から（3,4/5）へ同じ傾きの直線を引きます。
- 傾きはのぞみの3/5です。⊗ではひかりが前の1本目の道でBへ着き、⊠では両者が同じ道ウでBへ着くことを確認します。
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縦軸は通常のAからの距離ではなく、ア・イ・ウをつないだ道を進んだ位置です。原問題の折り返しの表示に合わせて描きます。
大問3 (2)
答え：ひかりの1回目・3回目・5回目
- のぞみより遅いひかりが、最初の条件でBへ着くのは1回目です。のぞみの2回目は道ウ、ひかりの1回目は道アで到着するので、異なる道の条件にも合います。
- 次の同時到着ではひかりは3回目、最後の同時到着では同じ道ウを使う5回目です。道と時刻の組を表にすると、のぞみのB到着2・5・8回目に対応します。
| のぞみ | 直前の道 | ひかり | 直前の道 |
|---|---|---|---|
| 2回目 | ウ | 1回目 | ア |
| 5回目 | ウ | 3回目 | イ |
| 8回目 | ウ | 5回目 | ウ |
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ひかりの到着回数を、のぞみの回数と同じにしないようにします。
大問3 (3)
答え：道ア：道イ：道ウ＝3：1：1
- 道の長さをa、b、c、合計をSとします。最初の同時到着から、S÷のぞみの速さ＝a÷ひかりの速さです。次の同時到着はその3倍の時刻なので、ひかりの進んだ長さも3aです。
- ひかりの3回目のB到着までの長さは2a＋2b＋c。よって3a＝2a＋2b＋cからa＝2b＋cです。
- 最後の同時到着は最初の5倍の時刻で、ひかりの5回目のB到着まで3S進むので5a＝3S。したがって2a＝3b＋3cです。
- 2式からb＝c、a＝3b。比は3：1：1です。
ここを確認
出会いの回数を決める際は、ひかりが遅いことと到着直前の道が異なる・同じの条件を合わせます。
大問3 (4)
答え：のぞみ：ひかり：こだま＝5：3：2
- 道をア3、イ1、ウ1の長さと置きます。最初の同時到着で、のぞみは合計5、ひかりはア3進むので速さの比は5：3です。
- こだまの線を出発点から引き、初めてAへ戻るところが3回目の出会いになるようにします。その帰着は、のぞみの3回目のA到着に重なります。こだまの距離はア＋イ＝4、のぞみは2周分10なので、速さの比は10：4＝5：2です。
- 速さを5・3・2としたとき、こだまと のぞみの出会いは時刻8/7、12/7、2で、前の2回は道の途中、3回目はこだまの最初のA帰着です。初めてAへ戻る先の候補を順に調べ、3回目という条件を確かめます。
ここを確認
出発時は出会いの回数に数えません。
大問3 (5)
答え：道アの地点Aから4/15の地点
- 道の長さを3・1・1、ひかりの速さを3、こだまを2とします。出発後の各区間を追うと、最初に同じ道で向かい合うのは道アです。
- このときひかりは時刻10/3にAを出てBへ、こだまは時刻5/2にBを出てAへ進んでいます。Aからの位置はそれぞれ3t－10、8－2tです。
- 等しくして5t＝18、t＝18/5。位置は3×18/5－10＝4/5。道アの全長3に対して（4/5）÷3＝4/15です。
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1周の合計5に対する割合ではなく、道アの長さ3に対する割合です。
大問4｜投影図から本当の切断面を作図
真上から見るとつぶれて見える高さを戻し、足Hの位置と実際の高さAHを求めます。
大問4 (1) ア～キ
答え：ア90、イ60、ウ30、エ1/2、オ「正」、カ3、キ1/2
- AとKは真上から重なるため、三角形KBCの角は見えている三角形と同じ90度・60度・30度です。直角三角形KHCでは30度の向かいの辺HKが斜辺CKの半分です。
- MはBCの中点です。真上の三角形ABMは正三角形なので、実際の三角形KBMも正三角形です。よってHはBMの中点になり、BH＝BC/4、HC＝3BC/4です。
- したがってHC＝3HB。HKは、辺BCの正三角形の高さQRの半分になるのでHK＝QR/2です。
ここを確認
真上からの長さがそのまま実際の長さになるのは、元の底面上にある辺BCなどです。
大問4 (2)
答え：三角形AHKと実際の三角形ABCの描き方
- QRの長さをsとします。三角形AHKでは、指定点Kの左へs/2の位置にHを取り、Kから垂直上へ正三角形PQRの高さと同じ長さだけ取ってAを置きます。H・A・Kを結びます。
- AKは正三角形の高さなので、HKと合わせて三平方の関係を使うとAH²＝（s/2）²＋（√3s/2）²＝s²。つまりAH＝sです。平方根を計算せず、30度・60度の直角三角形の辺の比からもAH＝sと分かります。
- 実際の三角形ABCでは、与えられたBC上にBH：HC＝1：3となる点Hを取ります。HからBCへ垂直に、QRと同じ長さsだけ上へ伸ばした点をAとし、AとB・Cを結びます。
- 図の目盛りから測った近似値でなく、QRと正三角形の高さを定規で移し、BCを4等分してHを取ると、指定された形を正確に描けます。
ここを確認
真上から見えるAを、そのまま切断面の実際のAとして写さないようにします。
解き直しで確かめる3つのこと
- 解説を閉じ、最初に使う条件や式を自分で書けるか。
- 途中で求めた量が、問題のどの長さ・時間・個数を表すか説明できるか。
- 最後に単位・範囲・条件へ戻り、答えを検算できるか。
誤った問題をすべて最初からやり直す前に、止まった一手を特定します。翌日以降にその問題を解説なしで再現し、同じ単元の別問題でも考え方を使えるか確認してください。
原問題・解答との照合
対象：2025年度・2月1日入試・算数。全4大問・12解説項目。2025年度の問題原本と四谷大塚作成の参照解答を照合。本文は進塾独自の説明で、区切り方は独立に探索・検算した別解も含みます。
確認日：2026年10月26日。現在の募集要項と過年度の問題は区別してください。本文の時間配分・復習手順は進塾の提案で、学校の採点基準ではありません。
解説を読んでも止まるところを、一緒に整理する
問題と途中式を含む答案をお持ちください。答えを直すだけでなく、条件整理・立式・計算のどこで困っているかを確認し、次の演習につなげます。
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