高輪中学校2025年度 A 算数全問解説｜行列・面積比・三段階切断

(1) 入れ子のかっこ

答え：57

1. 206−9×(13＋8)＝17。85−476÷17＝57。

(2) 分数計算

答え：19/21

1. 1/6×2と4/7＝3/7、2/9÷(4/5−1/3)＝10/21。
2. 3/7＋10/21＝19/21。

(3) 共通因数2.14

答え：856

1. 2.14×(497−358＋261)＝2.14×400＝856。

(4) 逆算

答え：17/18

1. 0.125＝1/8なので、かっこの中は8/3。
2. (□−1/9)÷5＝8/3−5/2＝1/6。□＝5/6＋1/9＝17/18。

(1) 二つの余りと近い整数

答え：2055

1. 求める数に2を足すと11と17の公倍数、つまり187の倍数です。
2. 187×10−2＝1868、187×11−2＝2055を比べると、2025に近いのは2055。

(2) 数列の151番目

答え：3

1. 第16群までの個数は16×17÷2＝136。151番目は第17群の15番目です。
2. 17から一つずつ減るので17−14＝3。

(3) 100円のお菓子の個数

答え：28個

1. 30円2個＋70円1個の組は3個130円。全部100円なら10000円で、1組置き換えると170円安くなります。
2. (10000−5920)÷170＝24組。100円は100−24×3＝28個。

(4) 入り口3か所の行列

答え：7分10秒

1. 28分40秒＝1720秒。この間172人増えるので、一つの入り口から入ったのは344＋172＝516人。毎秒0.3人です。
2. 3か所では毎秒0.9人入り、0.1人増えるので、行列は毎秒0.8人ずつ減ります。344÷0.8＝430秒＝7分10秒。

(1) 白金君との最初のすれ違い

答え：45分後

1. 高輪＋白金は205m/分、高輪＋品川は180m/分。1周するまでの時間の比は180：205＝36：41。
2. 差5が6分15秒＝25/4分に当たるので、白金との時刻は(25/4)÷5×36＝45分。

(2) 湖1周の長さ

答え：9225m

1. 205×45＝9225m。

(3) 品川君とすれ違った回数

答え：7回

1. 白金君が品川君に追いつくのは9225÷(80−55)＝369分後。
2. 高輪と品川のすれ違いの間隔は9225÷180＝51.25分。369÷51.25＝7.2なので、それまでに7回すれ違います。

間違えやすい点：出発時の同じ位置は「すれ違った回数」に数えません。

(1) EH：HI：ID

答え：11：4：18

1. 三角形AHDとFHEは相似で、HD：HE＝AD：EF＝6：3＝2：1。したがってEH/ED＝1/3です。
2. 三角形ADIとCEIも相似で、DI：IE＝AD：EC＝6：5。したがってEI/ED＝5/11です。
3. ED全体を33とすればEH＝11、EI＝15。HI＝4、ID＝18なので11：4：18。

間違えやすい点：HとIの位置を、それぞれ同じED全体に対する割合へ直してから引きます。

(2) AHIとACDの面積比

答え：4：33

1. EH：HD＝1：2から三角形AHDは三角形AEDの2/3。AEDとACDは同じ面積なので、AHDはACDの2/3です。
2. 相似からAI：IC＝AD：EC＝6：5、したがってAIDはACDの6/11。差を取るとAHIは2/3−6/11＝4/33。

(3) HIJと長方形の面積比

答え：1：77

1. BCを1と置きます。Hの高さは全体の1/3で、AF上にあることから、Hの真下の点はBから4/9。GはAから2/5なので、GKを延長したKはBから4/9＋(4/9−2/5)/2＝7/15です。
2. AG：CK＝2/5：8/15＝3：4より、AJ：JC＝3：4。AI/AC＝6/11、AJ/AC＝3/7なのでIJ/AI＝1−(3/7)/(6/11)＝3/14。
3. 三角形HIJはAHIの3/14、AHIは長方形の2/33。掛けて1/77です。

間違えやすい点：線分の比を引くときは、同じAC全体に対する割合へそろえます。

(1) 三角すいX

答え：4cm³

1. Aを含む立体は三角すいE−ABD。上面の半分を底面とし、高さは一辺です。
2. 立方体の体積の1/2×1/3＝1/6なので、24÷6＝4cm³。

(2) P・Q・Rで切ったY

答え：8cm³

1. PとRを結ぶ線分は立方体の中心を通ります。この平面で元の立方体を二つに分けると体積は12cm³ずつ。
2. PQはDBに、PRはDEに平行なので、PQRの平面とDBEの平面は平行です。XはBを含む側と同じ側にあり、すでに取り除かれています。したがってY＝12−4＝8cm³。

(3) 水平に切ったZ

答え：3.5cm³

1. 残るG側の立体をSの高さで切ると、上面の三角形CPQと、Sを通る水平面の三角形を底面にした三角すい台になります。下の三角形の辺は上の2倍です。
2. CGをCの上へ一辺の半分だけ延長した点を頂点にすると、大きい三角すいは立方体の1/6で4cm³。上からはみ出す小さい三角すいは相似比1/2、体積比1/8で0.5cm³。
3. 差は4−0.5＝3.5cm³。

間違えやすい点：前の段階で除いたX・Yを、もう一度足し戻さないようにします。