2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
大宮開成中学校・2025年度 第1回入試 算数
全7大問を、条件の整理から答えの確認まで解説します。座席の優先順位、停車を含む時刻表、正方形と線分の回転では、場合分けや境界の捉え方を丁寧に確認します。
第1問｜整数・分数の計算
この大問で学ぶこと
計算の順序を、まとまりで捉える
整数の式は共通する数を探し、分数の式は帯分数と小数を分数へそろえます。途中のまとまりが簡単になることを見つけると、計算量と転記ミスを減らせます。
解くときの着眼点：整数は共通因数でまとめ、分数はかっこの内側から整理します。
(1)
答え：2025
- 3×108＋9×39＝3×(108＋117)＝675です。
- 73×25－95×5＝25×(73－19)＝1350。675＋1350＝2025です。
間違えやすい点：足し引きの符号を保ったまま共通因数でまとめます。
(2)
答え：9/10
- 帯分数と小数を直すと、かっこの中は10/3－17/6×1/4＝21/8です。
- 21/8÷21/4＝1/2。したがって7/5－1/2＝9/10です。
間違えやすい点：かっこの中でも、引き算より掛け算を先にします。
第2問｜貯金・比・仕事算・ニュートン算
この大問で学ぶこと
変わる量と、変わらない量を分ける
貯金では日数、お金の受け渡しではBの所持金、仕事では総量が変わりません。草刈りは作業中にも草が増えます。式にする前に、不変の量と増減の仕組みを押さえます。
解くときの着眼点：受け渡しで変わらない所持金や、同じ仕事全体を基準にします。
(1)
答え：5000円
- 1日20円多く貯めると不足が800円減るので、日数は800÷20＝40日です。
- 目標額は100×40＋1000＝5000円です。
間違えやすい点：不足額の差から日数を求めます。
(2)
答え：6300円
- お金が変わらないBをそろえると、最初の比9：6：5は63：42：35、移動後24：21：25は48：42：50です。
- Aが減った15に当たる1500円より比の1は100円。最初のAは63×100＝6300円です。
間違えやすい点：全員の合計でそろえてもよいですが、変わらないBを使うと整数比になります。
(3)
答え：35分
- 仕事全体は40人×30分＝1200人分・分です。最初の30分で30×30＝900を終えます。
- 残り300を60人で行うので5分。合計35分です。
間違えやすい点：途中で増員した後の人数を60人として使います。
(4)
答え：3日
- 20人で8日なら160人日、25人で6日なら150人日。2日長い分だけ草が10人日増えるので、1日の増加は5人日です。
- 最初の草は160－5×8＝120人日。45人では毎日45－5＝40人日ずつ減るので、120÷40＝3日です。
間違えやすい点：草の増加は作業人数によらず毎日一定です。
第3問｜角の二等分・回転体の体積
この大問で学ぶこと
見えない量を、差と断面から求める
角度は内角と外角の関係を式にし、二等分された角の差を求めます。回転体は色のついた部分だけを高さごとに取り出し、円柱と穴のある円柱へ分けると整理できます。
解くときの着眼点：二等分された角の差と、高さごとの輪の面積に注目します。
(1)
答え：35度
- Bの二等分された角をx度、Cの外角の半分をy度とします。外角の性質から2y＝70＋2x、つまりy－x＝35です。
- 三角形BCDのBはx度、Cは180－y度なので、Dはy－x＝35度です。
間違えやすい点：Cで使う角は三角形ABCの内角の半分ではありません。
(2)
答え：753.6cm³
- 1ますの辺は2cmです。上から順に、色の部分の回転でできる体積をπの倍数で整理します。
- 各段は8π、24π、48π、80π、48π、24π、8πcm³です。例えば中央は半径2～4cmと6～8cmの輪なので、{(4²－2²)＋(8²－6²)}×2π＝80πです。
- 合計240π＝240×3.14＝753.6cm³です。
間違えやすい点：白いますまで一緒に回して体積に含めないようにします。
第4問｜食塩水の混合と入れ替え
この大問で学ぶこと
食塩の量と、残る割合を使い分ける
異なる濃さを混ぜる問題は食塩の増分を使い、水を入れ替える問題は食塩が残る割合を使います。濃度だけを足したり引いたりするのではなく、何が保存されるかを捉えます。
解くときの着眼点：混合は食塩の増分、入れ替えは食塩が残る割合で表します。
(1)
答え：300g
- 500gすべてが4％なら食塩20gですが、6.4％では32gなので12g多く必要です。
- 4％を8％へ1g置き換えると食塩が0.04g増えます。12÷0.04＝300gが8％の食塩水です。
間違えやすい点：答えるのが4％と8％のどちらの量か確認します。
(2)
答え：20g
- 水を加える前に食塩水を取り出すので、食塩は取り出した割合だけ減ります。2回で食塩は2.56÷4＝0.64倍です。
- 同じ操作を2回行い、0.8×0.8＝0.64なので、毎回80％が残ります。100gの20％、つまり20gを入れ替えます。
間違えやすい点：水を足して全体を100gへ戻す操作を、毎回行っています。
第5問｜優先順位に従う座席の数え方
この大問で学ぶこと
最初の分岐で、後の自由度が変わる
両端が先に埋まり、その後は両隣が空いた席が優先されます。同じ残り人数でも、誰がどこへ座ったかで次の選択肢が違います。対称な配置をまとめつつ、優先順位が変わる時点で場合を分けます。
解くときの着眼点：両端が埋まった後、3人目の位置で続きを場合分けします。
(1)
答え：16通り
- 6席を左からA～Fとします。最初の2人は両端A・Fに座り、その順は2通りです。
- 3人目はCかDで2通り。Cを選んだ場合、4人目はDかEで2通りです。残る2席はどちらから座ってもよいので2通りです。
- Dを選んだ場合も左右対称なので、2×2×2×2＝16通りです。
間違えやすい点：空いている席をすべて同順位として選ばないようにします。
(2)
答え：56通り
- 7席をA～Gとすると、両端を埋める順は2通りです。3人目が選べるのはC・D・Eです。
- 3人目がCなら4人目はEに決まり、残るB・D・Fの順は3×2×1＝6通り。Eの場合も6通りです。
- 3人目がDなら4人目はB・C・E・Fの4通り。その後、空席が隣り合う側から2通り、最後の2席の順が2通りで16通りです。
- 合計2×(6＋16＋6)＝56通りです。
間違えやすい点：3人目が中央の場合と左右に寄った場合で、続きを同じ数にしないようにします。
第6問｜停車時間のある電車とすれ違い
この大問で学ぶこと
走行時間と、時刻表の範囲を分ける
速さは停車中の時間を除いて計算します。すれ違う本数は、相手の電車が区間の両端を通る時刻から、該当する出発時刻の範囲を求めると漏れなく数えられます。
解くときの着眼点：停車時間を除いて速さを出し、相手の出発時刻の範囲を求めます。
(1)
答え：時速100km
- AからFは25km。6時にAを出た普通電車は6時25分にFを出るので、B・C・D・E・Fでの各1分を除いた走行時間は20分です。
- 普通は25÷(20/60)＝時速75km。急行はその4/3倍なので時速100kmです。
間違えやすい点：Fへの到着ではなく発車時刻なので、Fでの停車も除きます。
(2)
答え：8回
- 7時3分にJを出る普通は、Dまで30kmを24分で走り、途中I・H・G・F・Eで5分停車するため、D到着は7時32分です。
- 反対向きの普通はA→Jに44分、A→Dに14分かかります。7時3分にはまだJへ着かず、7時32分までにはDへ達する電車は、Aを6時20分・30分・40分・50分・7時・7時10分に出る6本です。
- 急行はA→Jに30分、A→Dに10分30秒かかります。同じ条件に当てはまるA発は6時47分と7時7分の2本です。
- 普通6本＋急行2本＝8回すれ違います。
間違えやすい点：自分がDへ着くより前に、相手がDへ達するかを確認します。Aの出発時刻だけで区間を決めないようにします。
第7問｜正方形と対角線が回転して通る部分
この大問で学ぶこと
図形全体と、線分の軌跡を区別する
同じ90度回転でも、正方形全体が通る部分と対角線だけが通る部分では形が異なります。最も遠い点と最も近い点の軌跡を描き、円の一部と三角形で面積を表します。
解くときの着眼点：最遠点の軌跡と、中心から線分までの最短距離を区別します。
(1)
答え：2056cm²
- 対角線40cmの正方形の面積は40×40÷2＝800cm²です。
- 回転の中心Cから最も遠いAまで40cmなので、Aの軌跡は半径40cm・90度の弧です。通過部分はこの扇形と、両端の直角三角形2個に分けられます。
- 三角形2個の合計は正方形1個分の800cm²。40×40×3.14÷4＋800＝2056cm²です。
間違えやすい点：扇形だけでは、回転の初めと終わりにある三角形が不足します。
(2)
答え：542cm²
- 線分BDの両端B・Dはそれぞれ90度動き、合わせて半円の外側の境界を作ります。半径は正方形の1辺で、その2乗は800なので、半円の面積は400πcm²です。
- CからBDへの垂線の足はBDの中点。最短距離は対角線の半分の20cmです。この足の90度の軌跡が内側の円弧になります。
- 半円から除く部分は、半径20cm・90度の扇形と、その両側の三角形です。各三角形は三角形CBDの半分で200cm²ずつです。
- したがって400π－100π－200－200＝300×3.14－400＝542cm²です。
間違えやすい点：対角線を線分として動かした範囲を考えます。正方形の通過部分をそのまま使うことはできません。
解き直しの進め方
答えを覚えるのではなく、何を固定して何を場合分けしたかを説明してみましょう。座席は各時点の優先順位、電車は到着と発車の違い、回転はどの点が境界を作るかを図と対応させることが大切です。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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