2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
大宮開成中学校・2023年度 第1回 算数
全7大問を解説します。文章条件の式への置き換え、混合の予定と実際、整数操作の逆算、速さの変化、正方形の移動を順に整理します。
第1問｜四則計算と逆算
この大問で学ぶこと
計算を速くする前に、式の構造を確定する
大きな積を別々に計算せず、同じ数をくくると見通しがよくなります。分数と小数を含む式は、順序と逆算の方向を一段ずつ確認しましょう。
解くときの着眼点：共通因数をまとめ、かっこの中から整理します。
(1)
答え：7
- (4＋11)×3＝45、(11－3)÷2＝4。合計49を7で割るので7です。
間違えやすい点：足し算でつながる2つのまとまりを別々に求めます。
(2)
答え：129
- 4.3×7.55＋4.3×2.95＝4.3×10.5＝45.15です。
- 43×2＝86、12.9×1/6＝2.15なので、45.15＋86－2.15＝129です。
間違えやすい点：同じ4.3を先にまとめると、小数の長い筆算を減らせます。
(3)
答え：3
- かっこ内は1と2/3×2.7－3/8＝(5/3)×(27/10)－3/8＝33/8です。
- これを1と7/16＝23/16で割ると66/23。5と20/23＝135/23から引き、69/23＝3です。
間違えやすい点：帯分数を仮分数へ直し、かっこの値を先に確定します。
(4)
答え：3/8
- 2.7を引くと、5/4×(1.1－0.16×□)＝1.3です。
- かっこの値は1.3×4/5＝1.04。0.16×□＝1.1－1.04＝0.06なので、□＝0.06÷0.16＝3/8です。
間違えやすい点：最後に0.16をかけるのでなく、割って□を求めます。
第2問｜連比・行列・年齢・分配・仕事
この大問で学ぶこと
文章条件を、同じ基準の2つの式で比較する
行列は新しく加わる人数、年齢は同じ年数だけ戻ること、分配は同じノート総数が基準です。仕事算では2人の合計の速さから1人分を引きます。
解くときの着眼点：一定の量と、変化する量を式へ分けます。
(1)
答え：35：12：21
- Aの2/7とBの5/6が等しいので、A：B＝5/6：2/7＝35：12です。
- CはAの60％＝3/5なので、Aを35とするとCは21。よって35：12：21です。
間違えやすい点：一部が等しい条件では、係数の逆比が全体の比になります。
(2)
答え：252人
- 毎分加わる人数をr人とすると、最初の列は1窓口なら(15－r)×42人、2窓口なら(30－r)×12人です。
- 630－42r＝360－12rよりr＝9。最初の列は(15－9)×42＝252人です。
間違えやすい点：販売を始めた後も新しい人が並ぶので、15×42だけでは最初の人数になりません。
(3)
答え：7年前
- t年前なら父母の合計は110－2t歳、息子は23－t歳です。
- 110－2t＝6(23－t)より4t＝28、t＝7。実際に49＋47＝96、息子16歳の6倍です。
間違えやすい点：父母は2人なので、合計年齢は1年戻るごとに2歳減ります。
(4)
答え：91冊
- B班をn人、A班をn＋3人とします。ノート総数は3(n＋3)＋5n＋26＝8n＋35冊です。
- もう一方では4(n＋3)＋7n＋2＝11n＋14冊。等しいので3n＝21、n＝7です。
- ノートは8×7＋35＝91冊です。
間違えやすい点：余りも総数に含め、配った冊数へ加えます。
(5)
答え：12日間
- Bは全体の7割を7日で仕上げるので、1日に全体の1/10を進めます。
- AとBの合計は1日に1/8だから、Aは1/8－1/10＝1/40です。
- Aが全体の3割を進める時間は3/10÷1/40＝12日です。
間違えやすい点：Bの7日を仕事全体の所要時間として扱いません。
第3問｜角度・台形の比・三角柱の水量
この大問で学ぶこと
見えにくい交点を、補助線の延長で求める
台形の内部だけで比が分からない場合は、直線を上底まで延ばすと平行線による相似が作れます。水そうの置き換えでは、水量が変わらないことを面積比へ移しましょう。
解くときの着眼点：平行線と相似を使い、同じ比へそろえます。
(1)
答え：30度
- 下の頂角は180－40－30＝110度です。四角形の左右の角は等しいので、イ＝(360－130－110)÷2＝60度です。
- 平行線の角の対応より右側のイはア＋30度。したがってア＝60－30＝30度です。
間違えやすい点：下の110度を、40度または30度だけと取り違えません。
(2)
答え：5：1
- BEを延長してADの延長との交点をXとします。三角形DEXとCEBは相似で、DX：BC＝DE：EC＝2：3よりDX＝8cmです。
- DG＝4cmなのでGX＝12cm＝BC。GXとBCが平行なため、三角形GXFとCBFは合同な大きさの相似形になり、XF＝FBです。
- BE：BX＝3：5なので、BEはBXの3/5、BFは1/2。FEは1/10となり、BF：FE＝5：1です。
間違えやすい点：FはBEの中点ではなく、延長したBXの中点です。
(3)
答え：495/64（7と47/64）cm
- 三角形断面の高さは3＋5＝8cm。空気部分は高さ3cmなので、全体との相似比は3：8、面積比は9：64です。
- 水は容器全体の55/64を占めます。三角形ABCを底面にすると容器の高さは9cmです。
- 水深は9×55/64＝495/64cmです。
間違えやすい点：上の空気部分の3cmと、元の水深5cmを区別して相似を使います。
第4問｜砂糖と食塩の混合
この大問で学ぶこと
加える容器を取り違えても、取り出す量は同じと読む
砂糖の比を整える予定だった量をまず求めます。その量を食塩水から取ったため、砂糖は増えず食塩が増えます。砂糖・食塩・全体の重さを別々に管理しましょう。
解くときの着眼点：予定どおりの量を先に求め、実際の混合を計算します。
(1)
答え：16.5g
- Cの250gには砂糖10g、食塩7.5gがあります。予定の砂糖：食塩＝7：3では、砂糖は7.5×7/3＝17.5g必要です。
- 追加する砂糖7.5gのため、5％のAを7.5÷0.05＝150g取る予定でした。
- 実際は6％のBを150g混ぜたので、食塩は7.5＋150×0.06＝16.5gです。
間違えやすい点：Bを混ぜた後の比を7：3にする問題ではなく、予定の取り出し量をそのまま使います。
(2)
答え：100gにつき2.5g
- 実際には砂糖を含まないBを加えたので、砂糖はC由来の10gだけです。
- 全体は250＋150＝400g。100gにつき10÷400×100＝2.5gです。
間違えやすい点：全体の400gには、溶けた砂糖と食塩の重さも含まれています。
第5問｜整数の操作と逆算
この大問で学ぶこと
逆算の分岐を全て残し、条件に合う候補を選ぶ
順方向は規則に沿って進めますが、逆方向では候補が2つになることがあります。3倍して1を足す操作の逆は、単に3で割れるだけでなく、戻った数が正の奇数であることが必要です。
解くときの着眼点：偶数・奇数の条件を、逆向きの操作でも確認します。
(1)
答え：15回
- 23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1と進みます。
- 数は16個並びますが、矢印の操作は15回なので答えは15回です。
間違えやすい点：最初の23を操作1回目として数えません。
(2)
答え：10789
- 逆向きでは、現在の数nから2nへ戻る方法と、(n－1)÷3が正の奇数のときだけその数へ戻る方法があります。
- 2023から5段階の候補は表の通りです。5桁に限ると64736・10789・10788となります。
- 大きい順に2番目は10789。10789→32368→16184→8092→4046→2023と5回で確かめられます。
| 逆算回数 | 候補 |
|---|---|
| 0 | 2023 |
| 1 | 4046 |
| 2 | 8092 |
| 3 | 16184、2697 |
| 4 | 32368、5394 |
| 5 | 64736、10789、10788 |
間違えやすい点：奇数からの操作の逆では、(n－1)÷3が偶数の場合を含めません。
第6問｜パンク後に速さが変わる追い越し
この大問で学ぶこと
速さが変わる時刻を、同じ時間軸でそろえる
Aはパンクまでとパンク後、Bは歩く時間と走る時間で分けます。変化の時刻は同時ではなく5分ずれているため、共通の追い越し時刻を先に決めると整理できます。
解くときの着眼点：Aの全時間を確定し、追い越し地点の時刻へ戻ります。
(1)
答え：分速160m
- 最初の速さをv m/分とすると、パンク後はv/4。全時間は1200/v＋900/(v/4)＝4800/v分です。
- 30分なのでv＝4800÷30＝160m/分です。
間違えやすい点：パンク後の残りの距離は2100－1200＝900mです。
(2)
答え：分速40m
- Aのパンクは1200÷160＝7.5分後。追い越し地点は駅から1800mなので、Aはパンク後600mを分速40mで15分進み、22.5分後に到着します。
- Bが走り始めたのは7.5＋5＝12.5分後。歩く速さをuとすると、歩いた12.5分と走った10分で、距離は12.5u＋10×3.25u＝45uです。
- 45u＝1800より、u＝40m/分です。
間違えやすい点：Bの走り始めを出発5分後として計算しません。
第7問｜正方形が長方形の周を動く
この大問で学ぶこと
動きを段階に分け、接点の数と面積を整理する
図形が傾く区間だけでなく、姿勢を保って平行移動する区間もあります。接点Rが同じ辺へ出入りする2回を分けて追い、面積では正方形と合同な三角形を取り除きます。
解くときの着眼点：2つの頂点が同じ辺にある区間と、角をまたぐ区間を分けます。
(1)
答え：4回
- PがAD上、QがAB上を動く最初の角越えの終わりで、RがABに達します。これが1回目です。
- PがDに達した後、PはDC、QはDA上を動きます。この角越えの途中でRはABへ出て戻り、2回境界を通ります。これが2回目・3回目です。
- QがDに達するとRがDA上に来て4回目。その後PがCに着くまでは、これ以外の接触はありません。
間違えやすい点：Rが長方形の外側へ出る動きも許されているので、途中の2回を落としません。
(2)
答え：46cm²
- 3回目ではPがDC上、QがDA上、RがAB上にあります。DPをp、DQをqとすると、正方形の辺の直交からRまでの横の長さはp＋q＝8cmです。
- PQ＝6cmなので、直角三角形DPQと同じ三角形4つを並べて1辺8cmの正方形を作ると、中央には1辺6cmの正方形ができます。三角形2つ分の面積は(8×8－6×6)÷2＝14cm²です。
- 五角形BCPSRは長方形96cm²から、正方形PQRSの36cm²と、合同な三角形DPQ・QARの合計14cm²を引いたもの。96－36－14＝46cm²です。
間違えやすい点：3回目の配置では正方形が長方形内へ戻っているので、除く部分を正方形1つと三角形2つに分けられます。
解き直しの進め方
予定と実際、最初と変更後の条件を表や時間軸で分けましょう。逆算は枝分かれの条件、図形の移動は角越えと平行移動を区別して確かめます。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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