2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
海城中学校・2024年度 第1回入試（一般入試①） 算数
全6大問を解説します。比の基準をそろえる方法から、必勝法、重なりを含む切断体積、停止を繰り返す点の出会いまで、条件に沿って判断する過程を示します。
第1問｜計算・濃度・年齢・約数・角度
この大問で学ぶこと
条件を、求めやすい量へ言い換える
濃度は食塩の重さ、年齢は同じ年月による増加、約数の個数は素因数の指数へ直します。角度では平行線と二等辺三角形の条件を組み合わせます。表面の数字だけでなく、条件の意味を捉えましょう。
解くときの着眼点：食塩量や年齢差など、変わらない量を式の軸にします。
(1)
答え：3
- 小かっこの中は2.25－1.5＝0.75なので、0.75で割ると1です。中かっこは25/6＋1－5/2＝8/3です。
- 9÷8/3÷9/8＝9×3/8×8/9＝3です。
間違えやすい点：割り算は左から順に行い、後ろの数をまとめて割らないようにします。
(2)
答え：42
- 食塩の合計は80×0.08＋120×0.06＋150×0.04＝19.6gです。
- 5％の食塩水全体は19.6÷0.05＝392g。加える水は392－80－120－150＝42gなので、□は42です。
間違えやすい点：水を加えても食塩の量は変わりません。
(3)
答え：34歳
- 24年後に父が兄と弟の和に等しいので、今の父は今の兄と弟の和より24歳上です。
- もう1つの条件では父は兄の3倍と弟の和より4歳上。差を比べると兄の2倍が24－4＝20歳なので、兄は10歳です。
- 父と弟の差は兄の3倍＋4＝34歳です。
間違えやすい点：24年で父は24歳、兄と弟の和は48歳増えます。
(4)
答え：100、196、225、256
- 約数が9個になる素因数分解は、1種類の素数の8乗か、異なる2種類の素数をそれぞれ2乗した形です。9＝9、または3×3に対応します。
- 素数の8乗では2⁸＝256だけが範囲内です。2種類の場合は素数の積の2乗なので、積が10以上17以下となる組を探します。
- 2×5＝10、2×7＝14、3×5＝15より100、196、225。これらと256がすべてです。
間違えやすい点：4×4のように、素数でない数を素因数として数えないようにします。
(5)
答え：110度
- 上側の二等辺三角形の頂角をx度とします。平行線の角から、求めるアは150－x度です。
- 上側の底角は90－x/2度。対頂角なので下側の二等辺三角形の頂角も同じで、その底角は45＋x/4度です。
- 下の直線上でア＝180－15－(45＋x/4)＝120－x/4。150－x＝120－x/4よりx＝40です。
- したがってア＝150－40＝110度です。
間違えやすい点：同じ印が付く辺を確認し、2つの二等辺三角形の頂角を取り違えないようにします。
第2問｜三角形の交点と面積比
この大問で学ぶこと
比の基準をそろえ、差を求める
AQとAPの比はそれぞれ求められても、そのままではPQは分かりません。共通するAEを同じ長さとみなして差を出します。面積は共通の底辺や、中点からの高さの半分を使って比較します。
解くときの着眼点：辺の分け方から交点の比を出し、AE全体でそろえます。
(1)
答え：AQ：QE＝2：1
- 辺の分け方を逆比の重さで表すてんびん法を使います。AD：DB＝2：3に対しAに3、Bに2、BE：EC＝2：1に対しCに4を置けば、両方の条件を満たします。
- Eの重さはBとCの合計6なので、AQ：QE＝6：3＝2：1です。
間違えやすい点：辺を分ける長さの比と、端に置く重さの比は逆になります。
(2)
答え：AP：PQ：QE＝9：1：5
- Pを求めるときは、AF＝FCに合わせAとCの重さを2、Bを1と置きます。Eの重さは3なので、AP：PE＝3：2です。
- AEを15とするとAP＝9。AQ：QE＝2：1よりAQ＝10、QE＝5です。
- PQ＝AQ－AP＝1なので、AP：PQ：QE＝9：1：5です。
間違えやすい点：Qの計算で置いた重さを、そのまま中点Fの条件へ使い回すことはできません。
(3)
答え：三角形ABC：三角形FPQ＝90：1
- ECはBCの1/3なので、三角形AECは三角形ABCの1/3です。FはACの中点で、AEへの高さがCの半分なので、三角形AEFはABCの1/6です。
- 三角形FPQとFAEはFからAEへの高さが共通。PQはAEの1/15なので、FPQはABCの1/6×1/15＝1/90です。
- したがって面積比は90：1です。
間違えやすい点：底辺の比と高さの比を、別々に確認して掛けます。
第3問｜3人の荷物運びと仕事算
この大問で学ぶこと
同じ総量で、交代の条件を表す
各人の作業時間が違っても、運ぶ荷物の総量は同じです。時間の逆数を仕事量に直すと、同時に働く場合も交代する場合も足し算で表せます。誰が何分働いたかを区別して整理しましょう。
解くときの着眼点：総量を120として、毎分の仕事量を6・5・3へそろえます。
(1)
答え：13分
- 荷物全体を120とすると、A・B・Cは毎分6、5、3ずつ運びます。Aは全16分働くので、6×16＝96運びます。
- 残り24をBとCが毎分8で運ぶため、加わった後は3分。Aだけの時間は16－3＝13分です。
間違えやすい点：AはBとCが加わった後も働き続けています。
(2)
答え：24分
- AとBが働く時間を1とすると、Cはその3倍。運ぶ量の比はAとBの合計11に対し、Cが3×3＝9です。
- 1に当たる時間は120÷(11＋9)＝6分。全体は6＋18＝24分です。
間違えやすい点：AとBは同時に働くため、6分を2回足しません。
(3)
答え：22分24秒
- Bの時間をt分とすると、Aは2t分、Cはt－4分です。総仕事量は5t＋6×2t＋3×(t－4)＝120です。
- 20t＝132なのでt＝6.6分。全経過時間はt＋2t＋t－4＝22.4分です。
- 0.4分は24秒なので、22分24秒です。
間違えやすい点：小数の0.4分を40秒へ直さないようにします。
第4問｜1～6個取れる石取りゲーム
この大問で学ぶこと
勝てる形を、相手の選択によらず保つ
石が1～6個なら手番の人が勝ち、7個なら相手に最後を取られます。相手が何個取っても、自分との合計を7個にできることから、7の倍数を相手へ渡す戦略が作れます。
解くときの着眼点：相手へ7の倍数を残す形を、後ろから調べます。
(1)
答え：5個
- Aが3個取った後は12個です。Bは5個取り、Aへ7個を渡します。
- Aがk個取ったら、Bは残り7－k個を全て取って勝てます。
間違えやすい点：自分の手番の後で、相手に7個を残します。
(2)
答え：42個
- 先手Aが7の倍数を渡された場合、Aが取った数と合わせて7個になるようBが取れば、Bは7の倍数をAへ戻せます。
- 40～43のうち7の倍数は42だけなので、Bが必勝なのは42個です。
間違えやすい点：42からAが何個取っても、Bは1～6個の範囲で合計7へ調整できます。
(3)
答え：78通り
- 先手Aが必勝なのは、初めの数が7の倍数でない場合です。初手で余りの個数を取り、Bへ7の倍数を渡せます。
- 10～100は91個。この範囲の7の倍数は14～98で、(98－14)÷7＋1＝13個です。
- 91－13＝78通りです。
間違えやすい点：10以上100以下なので、範囲の両端を含めて個数を数えます。
第5問｜2つの平面による立方体の切断
この大問で学ぶこと
二重切断は、重複を戻して数える
3点P・Q・Rの平面はBを頂点とする三角すいを切り落とします。もう一方の平面で同時に切る場合、除く部分が重なることに注意が必要です。重なりを単純なすい体へ分けると、体積の足し引きができます。
解くときの着眼点：切り落とす三角すいと、二重に引いた重なりを求めます。
(1)
答え：320/3cm³（106と2/3cm³）
- PQRの平面で切り落とすのは、Bを頂点とし、BP＝BQ＝BR＝5cmの三角すいです。もう1枚は高さ3cmの水平面なので、Eを含む下半分の直方体の体積は108cm³です。
- 下半分からさらに除く部分は、Qを頂点とする小さい三角すいです。Qの高さは1cmなので、水平面までの高さは2cm。もとの5cmの三角すいと相似で、直角を挟む3辺が2cmずつになります。
- 小さい三角すいは2×2÷2×2÷3＝4/3cm³。残りは108－4/3＝320/3cm³です。
間違えやすい点：元の5cmの三角すいを全部引くと、上半分にある部分まで除いてしまいます。
(2)
答え：177cm³
- Sは辺BC上でBS＝1cmです。PQRでB側、STUでC側の三角すいを切り落とします。両方とも直角を挟む3辺が5cmなので、1個の体積は5×5÷2×5÷3＝125/6cm³です。
- ただし2つの三角すいには重なりがあります。BC上での重なりはSからRまで4cmで、その中点を通りBCに垂直な平面で2分すると、同じ三角すい2個になります。
- 中央の断面は直角を挟む2辺が2cmの直角三角形、各頂点S・Rからの高さも2cmです。重なりは2×(2×2÷2×2÷3)＝8/3cm³です。
- 立方体216cm³から2個を引き、重複を戻すと216－125/6×2＋8/3＝177cm³です。
間違えやすい点：Sの位置はBC上です。2つの切り落としを引くだけでは、重なりを二重に引いてしまいます。
第6問｜円周上を動く3点と停止時間
この大問で学ぶこと
速さの和と差を、動く区間ごとに使う
AとBは時計回り、Cは反時計回りに進みます。Cが動く間と止まる間では近づく速さが変わるため、平均の速さだけで出会いを求めることはできません。3点の一致は、まずAとBが一致する候補時刻へ絞ります。
解くときの着眼点：Cの運動を5秒移動・3秒停止の8秒周期で区切ります。
(1)
答え：9.2秒後
- 時計回りにBからCへ向かう弧は80cmです。最初の5秒はBとCが毎秒10cmずつ近づき、50cm縮まります。
- Cが止まる5～8秒でBが18cm進むため、8秒後の残りは80－50－18＝12cmです。
- 再びCが動くので12÷10＝1.2秒。合計9.2秒後です。
間違えやすい点：Bも時計回りです。BとCは逆向きなので、移動中は速さの和を使います。
(2)
答え：24.5秒後
- AからCへの時計回りの弧は40cm。最初の5秒で4＋4＝毎秒8cmずつ近づき、5秒後に1回目の一致です。
- 2回目は、2点の進む距離の合計がさらに120cm増え、出発から合計160cmになるときです。
- 24秒までの8秒周期3回で、Aは96cm、Cは60cm進み、合計156cmです。残り4cmを毎秒8cmで詰めるため、24＋0.5＝24.5秒後です。
間違えやすい点：Cは24秒間ずっと動いているわけではなく、実際の移動時間は15秒です。
(3)
答え：80秒後
- AとBは同じ時計回りで、Bが毎秒2cm速く、初めにBからAまで40cmあります。最初の一致は20秒後で、以後は120÷2＝60秒ごとです。候補は20秒、80秒…です。
- 初めのAを0cm、時計回りを正とすると、20秒後のAとBは80cmの位置。一方Cは14秒動いて56cm戻るので、40－56は円周上の104cmに当たり、一致しません。
- 80秒後はAが320cm、Bが80＋480＝560cmで、どちらも円周上の80cmです。Cは50秒動き、40－200も同じ80cmに当たります。
- したがって3点が初めて一致するのは80秒後です。
間違えやすい点：AとBの一致時刻以外は3点同時には一致しないため、候補を絞って確かめます。
解き直しの進め方
石取りは相手が取る数を変えても勝ち方が保てるか説明します。切断は除く2つの三角すいと重なりを区別しましょう。点の移動は8秒周期の境目の位置を書き、平均の速さだけで処理していないか確かめます。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
志望校の過去問を、次の学習計画へ
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