2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
海城中学校・2023年度 一般入試① 算数
全6大問を解説します。三角形の面積比、円の移動、鏡の反射、渦巻き数表を中心に、条件の読み取りから答えの確認までを整理します。
第1問｜分数・約数・割合・回転体
この大問で学ぶこと
求める量に合わせて、条件の表し方を変える
分数計算は途中で簡単な数へ直し、約数は素因数の選び方へ移します。割合は基準の人数、回転体は軸からの距離を確認し、見た目に頼らず式を作りましょう。
解くときの着眼点：計算は約分、人数は全体と部分、立体は外側と内側を分けます。
(1)
答え：1と3/4
- 6と5/21－5と6/7＝8/21、1と1/63÷8/21＝64/63×21/8＝8/3です。
- 8/3＋2と11/15＝27/5。これに10/27をかけると2になります。
- 2.75×1/11＝1/4なので、2－1/4＝1と3/4です。
間違えやすい点：帯分数を仮分数へ直してから、割り算を逆数のかけ算へ変えます。
(2)
答え：48個
- 5880＝2×2×2×3×5×7×7です。
- 2の個数は0〜3、3と5は0〜1、7は0〜2で選べるため、4×2×2×3＝48個です。
間違えやすい点：同じ素数が何回使えるかを、指数に1を加えて数えます。
(3)
答え：39人
- 全員を東京都内の人と考えると、1時間以上は320×15％＝48人です。実際の60人との差12人は、都外の人の割合が35－15＝20ポイント高いことによります。
- 都外の人数は12÷0.2＝60人。求める1時間未満は60×65％＝39人です。
間違えやすい点：60人は都外全体で、求めるのはそのうち1時間未満の人です。
(4)
答え：ア＝36、イ＝64
- 濃度の差から、3％と8％の量の比は(8－6.2)：(6.2－3)＝1.8：3.2＝9：16です。
- 合計100gを25等分し、3％は100×9/25＝36g、8％は64gです。
間違えやすい点：濃い方の量が多くなることを、6.2％が8％寄りである点からも確認します。
(5)
答え：37.68cm³
- BD＝CD＝3cmで直角です。BCの中点をMとすると、DからBCへの最短距離はDMです。直角二等辺三角形よりDMを1辺とする正方形の面積は3×3÷2＝4.5cm²です。
- 三角形ABCを回すと、外側は半径3cm・高さ8cmの円すい、内側の空白は半径DM・高さ8cmの円すいです。
- 体積差は(3×3－4.5)×3.14×8÷3＝37.68cm³です。
間違えやすい点：三角形BCDの面積をそのまま回転体の底面積として使わず、回転半径を調べます。
第2問｜6で割った余りと整数の和
この大問で学ぶこと
直接数える方法と、全体から除く方法を使い分ける
割り切れない数を一つずつ足すより、6の倍数を除く方が簡単です。一方、余りが4という条件は、最初の数から6ずつ増える列として整理できます。
解くときの着眼点：範囲の両端を含め、等差数列として数えます。
(1)
答え：84個
- 100〜200は200－100＋1＝101個。6の倍数は102〜198で、(198－102)÷6＋1＝17個です。
- 割り切れない数は101－17＝84個です。
間違えやすい点：100と200の両方を含むため、全体の個数に1を加えます。
(2)
答え：2516
- 6で割ると4余る数は100、106、…、196で、(196－100)÷6＋1＝17個です。
- 和は(100＋196)×17÷2＝2516です。
間違えやすい点：200は6で割ると2余るため、この列の最後ではありません。
(3)
答え：12600
- 範囲全体の和は(100＋200)×101÷2＝15150です。
- 6の倍数の和は(102＋198)×17÷2＝2550。差は15150－2550＝12600です。
間違えやすい点：割り切れない数を余り別に5つの列へ分けなくても、倍数を引けば求まります。
第3問｜三角形の辺の比と面積比
この大問で学ぶこと
交点の比を、面積の比から逆に求める
分点の比は面積へ移せます。交点Gで分かれた線分の比を直接測る代わりに、底辺を共有する三角形の面積比を使って、長さの比へ戻しましょう。
解くときの着眼点：同じ高さ・同じ底辺の三角形を順に比べます。
(1)
答え：15：28
- AEFとAECは底辺AF：AC＝3：4の比、AECとABCは底辺EC：BC＝5：7の比です。
- したがってAEF：ABC＝3/4×5/7＝15/28で、15：28です。
間違えやすい点：CAを1：3に分けるのでCF：FA＝1：3です。
(2)
答え：4：15
- 全体ABCの面積を1とすると、ABEは2/7、ADEはその半分で1/7です。AEFは15/28です。
- ADEとAEFは底辺AEが共通で、DとFからAEまでの高さの比はDG：GFになります。
- DG：GF＝1/7：15/28＝4：15です。
間違えやすい点：交点Gを通るDFが底辺AEを横切るため、高さの比をDG：GFへ移せます。
(3)
答え：21：17
- ADFはAD：AB＝1：2、AF：AC＝3：4より、全体の3/8＝21/56です。
- DFEはADE＋AEF－ADFなので、1/7＋15/28－3/8＝17/56です。
- ADFとEDFは底辺DFが共通で、高さの比はAG：GE。よって21：17です。
間違えやすい点：ADEとAEFの和にはADFが含まれるため、DFEを求めるときに引きます。
第4問｜円が図形の外側・内側を動く
この大問で学ぶこと
中心の軌跡と、円が通る領域を区別する
外側を動く中心は、丸い辺では半径が増え、へこんだ角では直線が短くなります。内側の面積は図形全体と同じではなく、凸の角に円が届かない部分が残ります。
解くときの着眼点：直線・円弧・角での動きを別々に調べます。
(1)
答え：71.83cm
- 元の図形の直線部分は合計48cmです。へこんだ直角が3か所あり、外側を動く中心の直線は各角で両側1cmずつ短くなるため、48－2×3＝42cmです。
- 半径4cmの90度の弧3本に沿う部分は、半径5cmとなって合計5×2×3.14×3/4＝23.55cmです。
- 凸の直角4か所では半径1cmの90度の弧を描き、合計6.28cm。42＋23.55＋6.28＝71.83cmです。
間違えやすい点：へこんだ角にも外側へ丸い弧を足すと、直線の短縮を見落とします。
(2)
答え：116.82cm²
- 元の図形は、8×4の長方形1つ、4×4の正方形3つ、半径4cmの90度の扇形3つに分けられます。面積は80＋12×3.14＝117.68cm²です。
- 幅4cmの直線部分と半径4cmの扇形部分は、半径1cmの円を動かすと内部まで通過します。ただし凸の直角4か所では、1cm角から半径1cmの四分円を除く部分に円が届きません。
- 届かない面積は4×(1－3.14÷4)＝0.86cm²。117.68－0.86＝116.82cm²です。
間違えやすい点：中心の軌跡に2cmをかけるだけでは、角での重なりを正しく扱えません。
第5問｜2枚の鏡で反射する光
この大問で学ぶこと
反射のたびに増える角を追う
入射角と反射角の等しさを繰り返すと、光と次の鏡のなす角はx、2x、3x…と変化します。最後に平行となる条件と、反射回数の偶奇を分けて考えましょう。
解くときの着眼点：1回目はMで反射し、その後L・Mと交互に反射します。
(1)
答え：5回・Lと平行
- 光は初めLと平行に入り、Mで1回目の反射をします。次の鏡との角は2x、その次は3x…となります。
- x＝30度では180÷30＝6なので、5回反射した後、次の鏡Lに沿う方向へ出ます。
間違えやすい点：180÷30の6は反射回数ではなく、回数に1を加えた数です。
(2)
答え：8回・Mと平行
- x＝20度では180÷20＝9。反射は9－1＝8回です。
- 偶数回目の反射はLで起こるので、その後はMと平行に出ます。
間違えやすい点：最後に反射する鏡と、出ていく光が平行な鏡を取り違えません。
(3)
答え：5度、15度、45度
- k回反射して平行に出る条件は(k＋1)x＝180度です。Lと平行に出るにはkが奇数、つまり180÷xが偶数の整数になります。
- 候補のうち180÷5＝36、180÷15＝12、180÷45＝4が該当します。25・35・55・65・75・85度では整数になりません。
間違えやすい点：割り切れるだけでなく、商が偶数であることまで確認します。
第6問｜長方形の渦巻き数表
この大問で学ぶこと
周の長さと、残る行数・列数を組み合わせる
外周の個数は2m＋2n－4です。内側へ1周入ると縦横が2ずつ減ります。ただし最後の部分が1行・2行になると並び方が変わるので、端に達した後も同じ式を使わないようにします。
解くときの着眼点：外周を一枚ずつ取り除いて、内側の表へ移ります。
(1)
答え：46
- 8×7の外周は2×8＋2×7－4＝26個です。内側6×5の外周は18個なので、そこまで44個です。
- 3周目の左上(3,3)は45。その1つ右の(4,3)は46です。
間違えやすい点：(4,3)は左から4列目・上から3行目の位置です。
(2)
答え：5通り
- (2,2)は外周の次の数なので、2m＋2n－3＝27。よってm＋n＝15です。
- m≧n≧3より、(m,n)は(12,3)、(11,4)、(10,5)、(9,6)、(8,7)の5通りです。
間違えやすい点：横と縦を入れ替えた表はm≧nの条件で重複させません。
(3)
答え：m＝11、n＝6
- (2,2)＝31からm＋n＝17。位置(4,4)があるためn≧4で、候補は(13,4)、(12,5)、(11,6)、(10,7)、(9,8)です。
- 各候補で内側を調べると、(3,3)は順に51・53・53・53・53、(4,4)は25・49・65・67・67です。
- 両方の値が合うのは(11,6)だけです。
| m | n | (3,3) | (4,4) |
|---|---|---|---|
| 13 | 4 | 51 | 25 |
| 12 | 5 | 53 | 49 |
| 11 | 6 | 53 | 65 |
| 10 | 7 | 53 | 67 |
| 9 | 8 | 53 | 67 |
間違えやすい点：縦が4・5・6の候補では内側が少ない行になるので、外周の式を繰り返さず実際の並びを確かめます。
解き直しの進め方
面積比は比較する三角形の高さを確認します。円の移動では中心と円全体を区別し、鏡は反射回数の偶奇、数表は内側に残る行数まで追いましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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