2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
巣鴨中学校・2022年度 第Ⅰ期 算数
全4大問を解説します。組み合わせと最少条件、小数の先頭と末尾、四角すいに掘る穴の重複、3人の出会いと中点を、場合分けと式の意味から確認します。
第1問｜組み合わせ・数字・利益・人数・選挙・角度
この大問で学ぶこと
数える前に、動かせる条件と固定条件を決める
代金の組み合わせは余り、数字の条件は桁数、当選の最少票は不利な配分を使います。答えの候補を見つけたら、他の候補がないことや1つ少ないと不足することまで説明しましょう。
解くときの着眼点：条件から候補を絞り、漏れなく調べます。
(1)
答え：12通り
- 60・120・240円は全て60の倍数です。350円の商品Dをd個とすると、350dを60で割った余りは1300と同じ40です。dは0〜3なのでd＝2に限られます。
- 残り600円を60で割り、A＋2B＋4C＝10。Cが0個ならBは0〜5の6通り、Cが1個ならBは0〜3の4通り、Cが2個ならBは0〜1の2通りです。
- 各場合でAは一意に決まるため、6＋4＋2＝12通りです。
| Cの個数 | Bの候補 | 通り数 |
|---|---|---|
| 0 | 0〜5個 | 6 |
| 1 | 0〜3個 | 4 |
| 2 | 0〜1個 | 2 |
間違えやすい点：買わない商品があってもよいので、個数0も含めます。
(2)
答え：1042個
- 1桁は7個、2桁は7×8＝56個、3桁は7×8²＝448個です。先頭は0・3・7を使えず、後の桁は3・7以外の8択です。
- 4桁のうち1000〜1999は8³＝512個。2000〜2022は、2000〜2009が8個、2010〜2019が8個、2020〜2022が3個で19個です。
- 合計7＋56＋448＋512＋19＝1042個です。
間違えやすい点：0そのものは1から始まる範囲に含めません。4桁は2022で止めます。
(3)
答え：36円
- Bの仕入れ個数を1とするとAは6。全体利益は9：1なので、1個当たりの利益はA：B＝9/6：1＝3：2です。
- 定価が同じで、Aの仕入れが12円安いので、Aの利益はBより12円多くなります。比の差1が12円なのでAは3×12＝36円です。
間違えやすい点：全体利益の比9：1を、そのまま1個当たりの利益比にしません。
(4)
答え：186人
- 4人組の組数をxとすると人数は4x＋2、6人組はx－15組なので人数は6(x－15)です。
- 4x＋2＝6x－90より2x＝92、x＝46。人数は4×46＋2＝186人です。
間違えやすい点：4人組で余った2人を、組数へ加えません。
(5)
答え：20票
- Dが20票を得ると56票になり、他候補へ残るのは30票です。Bは既に105票ですが、それ以外で56票へ届きやすいのはEのあと8票、Fのあと23票です。
- EとFの両方を56票へ上げるだけでも31票必要で、残る30票では足りません。CやAを上げるにはさらに多く必要なので、D以上の候補は多くても2人で、Dは確実に3位以内です。
- 19票ではDが55票、残り31票をEへ8票・Fへ23票と配れるため、B・E56票・F56票の3人に抜かれます。したがって最少は20票です。
間違えやすい点：1位のBに並ぶ必要はありません。3人に抜かれる可能性があるかを調べます。
(6)
答え：ア＝17度、ウ＝13度
- アをa度、ウをu度とすると、イ＝3a、エ＝2uです。内部の交点と下の2頂点で作る三角形から3a＋u＝180－116＝64です。
- 外側の三角形全体から4a＋3u＝180－73＝107です。前の式を3倍した9a＋3u＝192との差を取ると5a＝85、a＝17です。
- u＝64－3×17＝13なので、ア17度、ウ13度です。
間違えやすい点：交点の116度は、対頂角として下側の三角形にも使えます。
第2問｜分母の2・5の個数と小数の位
この大問で学ぶこと
小数が終わる位と、数字が始まる位を分ける
2と5を組にすると10になります。不足する因数を補えば、小数第何位まで続くかが分かります。最初の0でない数字の位置は、分子の桁数も合わせて考えます。
解くときの着眼点：分母を10の累乗にそろえます。
(1)
答え：小数第5位
- 分母は2⁴×5²×10＝2⁵×5³です。5を2個補うと、25/10⁵＝0.00025です。
- 最後の数字は小数第5位です。
間違えやすい点：分母の末尾の10にも、2と5が1個ずつ含まれます。
(2)
答え：小数第25位
- 分母は2²⁵×5¹²なので、5を13個補い、5¹³/10²⁵とします。
- 分子の末尾は5で0ではないため、小数は第25位で終わります。
間違えやすい点：約分して位が短くなるかも確認します。今回は分子1なので短くなりません。
(3)
答え：小数第16位
- 5¹³＝1220703125は10桁です。これを10²⁵で割ると、小数第25位までの25桁のうち、最後の10桁にこの数が入ります。
- 最初の0でない数字は25－10＋1＝16番目なので、小数第16位です。
間違えやすい点：25－10＝15は先に並ぶ0の個数で、数字が現れる位はその次です。
第3問｜四角すいと交差するトンネル
この大問で学ぶこと
左右の切り口をならし、重複した穴を除く
正方形の穴も円の穴も、中央の位置を通ります。側面の傾きによる長さの違いは、対称な部分を組み合わせて同じ断面の柱体へ直せます。2本目は既に空洞となった交差部分を引くことが重要です。
解くときの着眼点：傾いた入口では、奥行きが高さに応じて変わります。
(1)
答え：576m³
- 底面積は12×12＝144m²、高さ12mなので、四角すいの体積は144×12÷3＝576m³です。
間違えやすい点：側面の三角形の高さでなく、底面に垂直な12mを使います。
(2)
答え：160m³
- 正面から高さzの位置を見ると、奥行きは12－zです。穴の下端では12m、上端の高さ4mでは8mになります。
- 奥行きが一定の割合で変わるため、上と下の対称な薄い部分を組み合わせると、奥行き10mの柱体と同じ体積です。
- 正方形断面4×4＝16m²に奥行き10mを掛け、160m³です。
間違えやすい点：見かけの四角すいの幅12mを、そのまま穴の全体の長さには使いません。
(3)
答え：75.36m³
- 新しい穴は半径2mの円形で、円の中心の高さは2mです。中心より同じ距離だけ上・下の部分では、奥行きの和が20mになります。対称な部分をならすと、断面積4×3.14、長さ10mの円柱と同じ体積で、125.6m³です。
- 既存の正方形の穴と交わる部分では、新しい円形断面が全て既存の幅4m・高さ4mの範囲に入ります。重複部分は円形断面のまま長さ4mなので、4×3.14×4＝50.24m³です。
- 新たに掘るのは125.6－50.24＝75.36m³です。
間違えやすい点：2本目の穴全体を答えるのではなく、既に掘った交差部分を引きます。
第4問｜3人の出会いと中点
この大問で学ぶこと
2回の出会いを共通の距離へそろえる
最初の出会いの位置は、太郎が30分、次郎がその後40分で通る区間を基準にできます。速さを比の単位へ置き換えれば、三郎の速さや3人の位置を同じ式で表せます。
解くときの着眼点：同じ距離を進む時間の比から速さを求めます。
(1)
答え：4：3
- 最初の出会い地点からPまでは、太郎が30分で来た距離を次郎が40分で進みます。
- 同じ距離の速さの比は時間比の逆で、太郎：次郎＝40：30＝4：3です。
間違えやすい点：次郎がPに着く時刻70分と、出会い後の40分を混同しません。
(2)
答え：78と3/4分後
- 速さを太郎4、次郎3とすると、PQの距離は(4＋3)×30＝210です。
- 太郎と三郎の出会いは31.5分後。太郎の位置は4×31.5＝126なので、三郎は210－126＝84進んでいます。三郎の速さは84÷31.5＝8/3です。
- 三郎がPへ着くまで210÷8/3＝315/4＝78と3/4分です。
間違えやすい点：三郎の到着までの時間は、出発時から求めます。
(3)
答え：30と30/41分後
- 出発からt分後のPからの位置は、太郎4t、次郎210－3t、三郎210－8t/3です。
- 太郎が2人の中点なので、4t＝{(210－3t)＋(210－8t/3)}÷2です。
- 4t＋17t/6＝210、41t/6＝210よりt＝1260/41＝30と30/41分です。これは最初の出会い30分と次の31.5分の間で、太郎が2人の間にいる条件にも合います。
間違えやすい点：位置の平均と、速さの平均を混同しません。
解き直しの進め方
最少の答えは、その数なら必ず足りる理由と、1つ少ない反例を両方示します。小数の位と立体の重複は、何を数えているかを言葉にしてから計算しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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