2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
海城中学校・2022年度 第1回 算数
全6大問を解説します。交点の面積比、2つのトンネルの通過グラフ、曲がる回数を指定した道順、立方体の切断、コインの偶奇条件を、表と途中式で整理します。
第1問｜計算・数列・濃度・来客・回転角
この大問で学ぶこと
条件の違いを、比と差に置き換える
数列はグループごとの個数、食塩水は食塩の量、来客は時間差を使って整理します。回転図形では対応する角と等しい辺を、平行線の条件と結び付けましょう。
解くときの着眼点：同じまとまりと、変わらない量を見つけます。
(1)
答え：12
- 13.5×2/3＝9、4と2/7＝30/7なので、9÷30/7＝2.1です。
- (2.1－0.6)÷0.125＝1.5÷1/8＝12です。
間違えやすい点：0.125で割ることは8を掛けることです。
(2)
答え：9
- 1〜nを並べるn番目のグループまでで、1＋2＋…＋n個あります。13番目までで13×14÷2＝91個です。
- 100番目は14番目のグループの100－91＝9個目なので9です。
間違えやすい点：グループ番号14を、そのまま答えにしません。
(3)
答え：42g
- 全て13％の食塩水100gとすると食塩は13gですが、目標では10.9gなので2.1g少なくします。
- 13％を8％へ置き換えると1gにつき0.05g減るため、2.1÷0.05＝42gを8％にします。
間違えやすい点：濃度の差5％は0.05として扱います。
(4)
答え：74人
- 18時から19時51分までは111分、20時28分までは148分です。出ていく総数はそれぞれ111×8/3＝296人、148×5/2＝370人です。
- 後の条件では出た人数が74人多く、追加の37分に来た人数に等しいので、来店は毎分74÷37＝2人です。
- 初めの人数は296－2×111＝74人です。
間違えやすい点：途中に来店した客も退店するため、退店人数だけを初めの人数としません。
(5)
答え：39度
- 回転から∠ABC＝∠CBE＝34度、BC＝BEです。三角形BCEの底角BECは(180－34)÷2＝73度です。
- ACとBEは平行で、ACを34度回転したDEとBEのなす角BEDは34度です。
- 求める∠DECは73－34＝39度です。
間違えやすい点：Eの73度全体ではなく、その中からDEが作る34度を除きます。
第2問｜平行四辺形と4本の線の交点
この大問で学ぶこと
交点の位置を求めてから、面積の足し引きへ進む
BHとDG、CEとAFはそれぞれ平行です。まずBH上のI・Lの位置を確定すると、内側の平行四辺形や端の四角形の面積を、同じ高さの三角形へ分けて求められます。
解くときの着眼点：辺を延長すると、交点の比が相似で求まります。
(1)
答え：2：1：1
- CEをADの延長と交わるまで延ばし、その点をXとします。AE：EB＝1：2からAX：BC＝1：2なので、AX＝AD/2です。HもADの中点のためXH＝BCです。
- XHとBCが平行なので、三角形XHIとCBIは相似で、HI＝BIです。
- AFをBCの延長と交わるまで延ばしYとします。CF：FD＝1：2よりCY＝AD/2なので、BY＝3AD/2。AH＝AD/2から三角形AHLとYBLの相似比は1：3で、HL：LB＝1：3です。
- IはBHの1/2、LはBから3/4の位置なので、BI：IL：LH＝2：1：1です。
間違えやすい点：延長線上のX・Yを、辺上の点と混同しません。
(2)
答え：8：1
- BHとDGは平行、CEとAFも平行なのでIJKLは平行四辺形です。IL＝BH/4です。
- 三角形BDHの面積は、DH＝AD/2より全体の1/4です。
- IJKLとBDHは、底辺をBHと平行に取ると高さが共通。IJKLはBDHの2×1/4＝1/2なので、全体の1/8です。したがって全体：IJKL＝8：1です。
間違えやすい点：三角形と平行四辺形を比べるので、底辺比に加えて2倍が必要です。
(3)
答え：48：5
- 三角形ABHは全体の1/4です。ここから三角形BEIとAHLを引くと四角形AEILが残ります。
- BEはABの2/3、IのABからの距離はHの1/2なので、BEIはABHの1/3、すなわち全体の1/12です。
- HL＝BH/4なのでAHLはABHの1/4、全体の1/16です。
- AEILは全体の1/4－1/12－1/16＝5/48。全体：AEIL＝48：5です。
間違えやすい点：最後は求める比の順序「全体：四角形」に直します。
第3問｜2つのトンネルと列車のグラフ
この大問で学ぶこと
先頭と最後尾の出入りを、折れ点へ対応させる
長さの合計が一定でも、列車は止まっていません。一方から出る長さと他方へ入る長さが同じ場合も水平になります。列車の長さを変えたときは、全ての出入りの時刻を求め直しましょう。
解くときの着眼点：縦軸は、両トンネル内にある列車部分の合計です。
(1)
答え：240m
- 初めの10秒でトンネル内の長さが160mになるので、列車の速さは毎秒16mです。10秒ですぐ減り始めるため、Aの長さは160mです。
- 10〜15秒で160→80mと減り、15〜20秒は80mで一定になります。Aから出ながらBへ入るので、AとBの間の区間は160－80＝80mです。
- B入口はA入口から160＋80＝240m。30秒で先頭がB出口へ達するので、Bの長さは16×30－240＝240mです。
間違えやすい点：水平区間を列車の停止と解釈しません。
(2)
答え：折れ点：(0,0)、(8,160)、(10,160)、(12,120)、(18,120)、(22,200)、(24,200)、(34,0)
- 新しい速さは時速72km＝毎秒20m、列車長は200mです。Aは入口0m・出口160m、Bは入口240m・出口480mにあります。
- 先頭がAを出るのは8秒、最後尾がAへ入るのは10秒、先頭がBへ入るのは12秒、最後尾がAを出るのは18秒です。
- 最後尾がBへ入るのは22秒、先頭がBを出るのは24秒、最後尾がBを出るのは34秒です。
- 横軸を秒、縦軸をトンネル内の列車の合計mとして、答えの8点を順に直線で結びます。区間ごとの理由は下表のとおりです。
| 区間（秒） | 長さの変化（m） | 理由 |
|---|---|---|
| 0〜8 | 0→160 | 先頭がAへ入る |
| 8〜10 | 160で一定 | 列車がA全体を覆う |
| 10〜12 | 160→120 | 最後尾がA内を進み、A内の部分が減る |
| 12〜18 | 120で一定 | Aから出る量とBへ入る量が同じ |
| 18〜22 | 120→200 | Aを出終わり、Bへ入る |
| 22〜24 | 200で一定 | 列車全体がB内 |
| 24〜34 | 200→0 | Bから出る |
間違えやすい点：Aが列車より短くなっているので、最初の最大値は列車長200mでなくAの長さ160mです。
第4問｜正五角形の道順と曲がる回数
この大問で学ぶこと
曲がる点を基準に数え、最多の上限も考える
2回曲がる道は、2つの曲がる点を選ぶと候補になります。ただし途中で以前通った点へ戻る道は禁止です。最多の回数は、図にある点の総数から上限を考えると、例を見つけた後の証明までできます。
解くときの着眼点：交点を通ることと、交点で曲がることを分けます。
(1)
答え：19通り
- 1回目に曲がる点を、Aから直進して着けるB・E・G・F・D・Jに分けます。途中の交点を直進して通る場合も、通過済みの点として記録します。
- 2回目に曲がってからCへ直進でき、途中で点を再訪しない候補を残すと、下表になります。
- 5＋3＋3＋2＋3＋3＝19通りです。表では曲がる点だけを示し、各点間は同一直線上を進みます。
| 1回目の曲がる点 | 2回目の曲がる点 | 個数 |
|---|---|---|
| B | G・D・H・F・E | 5 |
| E | D・F・B | 3 |
| G | B・D・H | 3 |
| F | B・E | 2 |
| D | G・B・H | 3 |
| J | F・B・E | 3 |
間違えやすい点：A→GではFも通ります。後でFを通る候補は除く必要があります。
(2)
答え：例：A→B→F→G→H→I→J→E→D→C（8回曲がる）
- 図の点は外側5点と内側5点の計10点です。出発A・到着Cを除く点は8点で、同じ点は再訪できないため、曲がれる回数は多くても8回です。
- 例の道順は全10点を1回ずつ使い、途中の8点のどこでも進む方向が変わります。
- したがって8回が最多で、この順に線をたどれば条件を満たす道順を描けます。
間違えやすい点：途中の点で直進すると、その点は通過していても曲がる回数には入りません。
第5問｜立方体の切断と対角線の比
この大問で学ぶこと
切断面の傾きを、相似と立体の差で扱う
3点A・P・Qが決まると、各面上の切断線はつながります。底面との交点を求めた後、面を延長して一つの大きな三角すいを作ると、複雑な切断立体も求められる体積の差に変わります。
解くときの着眼点：切断線を延ばし、大きな三角すいから引きます。
(1)
答え：FR＝4cm、SH＝7.2cm
- PF＝12－10＝2cm、QH＝12－6＝6cmです。APをBF側へ延長してEFの延長と交わる点をX、AQをDH側へ延長してEHの延長と交わる点をYとします。
- AE：PF＝12：2＝6：1なので、EX：FX＝6：1、EX－FX＝EF＝12よりFX＝2.4cmです。同様にAE：QH＝2：1よりEY＝24cm、HY＝12cmです。
- 切断面が底面に作る直線はXYです。三角形XFRとXEYの相似よりFR＝24×2.4/14.4＝4cm。三角形YHSとYEXの相似よりHS＝14.4×12/24＝7.2cmです。
間違えやすい点：F・Hから切断線までの長さを求めているので、GR・GSと取り違えません。
(2)
答え：601.6cm³
- 延長してできた三角すいA-EXYの底面積は14.4×24÷2＝172.8cm²、高さは12cmなので体積691.2cm³です。
- 立方体の外側に出るX側の三角すいは、底面FPRの面積2×4÷2＝4cm²、高さFX＝2.4cmで、体積3.2cm³です。
- Y側の三角すいは底面HQSの面積6×7.2÷2＝21.6cm²、高さHY＝12cmで、体積86.4cm³です。
- 求めるE側の体積は691.2－3.2－86.4＝601.6cm³です。
間違えやすい点：延長して作った立体は立方体の外にも広がるので、外側2つを必ず除きます。
(3)
答え：4：3
- 切断面をCGの延長まで延ばした交点をTとします。前面の切断線PRをCGの延長まで延ばすと、PF：GT＝FR：RG＝4：8＝1：2なのでGT＝4cmです。
- E・A・C・Gを含む対角線の平面で見ると、切断線はAT、対角線はCEで、交点がNです。AEとCTは平行です。
- CT＝12＋4＝16cm、AE＝12cm。三角形CNTとENAの相似よりCN：NE＝CT：AE＝16：12＝4：3です。
間違えやすい点：Tは辺CGの内側ではなく、Gより4cm下の延長上です。
第6問｜倍数のコインと裏返しの偶奇
この大問で学ぶこと
全ての引き方で成り立つ条件を、必要十分で考える
2枚・3枚の操作では倍数の重なりを数えます。「どの引き方でも必ず黒」では、1種類のカードを11回引く極端な例から必要な条件を探し、その条件なら本当に全てで成り立つか確かめましょう。
解くときの着眼点：同じコインを偶数回返すと白へ戻ります。
(1)
答え：194枚
- 2の倍数は388枚が黒になります。そのうち4の倍数194枚はもう一度返されて白へ戻ります。
- 388－194＝194枚です。
間違えやすい点：4の倍数は2回裏返されるため、黒として残りません。
(2)
答え：388枚
- 2の倍数388枚、3の倍数259枚で、6の倍数129枚は2回返されます。2回の操作後の黒は388＋259－2×129＝389枚です。
- 次に1を引くと全777枚が反転するので、黒は777－389＝388枚です。
間違えやすい点：重なりの6の倍数は1回引くだけではなく、2回引いて0回相当へ戻します。
(3)
答え：12枚
- 1〜5の全てで割り切れる番号なら、どのカードでも毎回返されます。11回は奇数なので必ず黒になります。
- 逆に、あるkで割り切れない番号は、kを11回引けば一度も返らず白のままです。したがって1〜5の全ての倍数であることが必要です。
- 最小公倍数は60。777以下の60の倍数は777÷60の商12個なので12枚です。
間違えやすい点：「60の倍数なら黒」の確認に加え、それ以外が必ず黒とはいえない理由も示します。
解き直しの進め方
グラフは先頭と最後尾、道順は通過と曲がる点、コインは奇数回と偶数回を区別して考えます。切断では延長点が立方体の外にあることも、自分の図へ書き込んで確かめましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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