2025年2月20日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
栄東中学校・2025年度 A日程・1月10日 算数
A日程のうち1月10日の5大問を解説します。1月11日の問題とは区別してください。仕切りがなくなる水そうでは、水位が急変しても水量は連続することが重要です。
第1問｜計算と小問集合
この大問で学ぶこと
取り違えた後の条件から考え直す
食塩水の入れ違いや配り方の違いでは、予定と実際の量を分けます。仕事算では全体をそろえ、円や回転体では使う範囲を確かめることで、各小問を短い式へ整理します。
解くときの着眼点：濃度の入れ違い、異なる個数の配り方、仕事量、円の重なりと回転体を扱います。
(1)
答え：3
- 20.25÷（9/2）＝4.5です。中かっこは（2－2/3）×81/8－10＝3.5です。
- その3.5を7/3で割ると1.5。全体は6－4.5＋1.5＝3です。
間違えやすい点：かっこの計算と割り算を終えてから加減します。
(2)
答え：1と2/7（9/7）
- 5/14÷（□－3/4×2/7）＝2－1と2/3＝1/3です。したがって丸かっこは5/14÷1/3＝15/14です。
- 3/4×2/7＝3/14を戻すので、□＝15/14＋3/14＝9/7です。
間違えやすい点：割る数を求める逆算では、割られる数を商で割ります。
(3)
答え：72g
- 予定の食塩量は60×0.09＋120×0.03＝9g、全体180gなので濃さは5％です。
- 量を逆にした実際の食塩は120×0.09＋60×0.03＝12.6g。5％にするには全体12.6÷0.05＝252gにするので、水は252－180＝72gです。
間違えやすい点：食塩水の量を逆にしても、全体の重さは180gのままです。
(4)
答え：30km
- 速さの比10：15＝2：3なので、所要時間の比は3：2です。ゴール時刻の差1時間が、時間比の1に当たります。
- 時速10kmでは3時間走るので、距離は10×3＝30kmです。
間違えやすい点：スタート時刻は共通です。
(5)①・②
答え：①20個、②85個
- 最多の人が19個以下なら、全員異なる6人の最大合計は19＋18＋17＋16＋15＋14＝99個で足りません。最多20個は、14・15・16・17・18・20個と配れば実現できます。
- 最多の人を最大にするには他の5人を1・2・3・4・5個にします。100－15＝85個です。
間違えやすい点：最小値も最大値も、実際に配れる例または残りの条件まで確認します。
(6)
答え：90分
- 全仕事量を180とすると、栄＋東の1分の仕事は6、東＋中は5です。中の仕事量をnとすれば、3人合計は6＋n、東は5－nです。
- 15×（6＋n）＋20×（5－n）＝180。190－5n＝180よりn＝2です。中1人なら180÷2＝90分です。
間違えやすい点：3人で行う15分と、東1人の20分を分けます。
(7)
答え：36.48cm²
- 円の半径をrとします。台形の上底AD＝4r、下底BC＝2r、高さrなので、面積3r²＝48からr²＝16です。
- 色のついた4か所は同じ形です。1か所は半径r・中心角90度のおうぎ形2個から、直角二等辺三角形2個を引いたものなので、面積は（3.14/2－1）r²です。
- 4か所で（2×3.14－4）×16＝36.48cm²です。
間違えやすい点：円が3つ会う点では、中心を結んでできる直角を確かめます。
(8)
答え：1243.44cm³
- 回転軸から左端までは9cmです。まず半径9cm・高さ6cmの円柱を考えます。内側の空洞は、下の高さ3cmでは半径3cmの円柱、上の3cmでは半径3cmから6cmへ広がる円すい台です。
- 円すい台は半径6cm・高さ6cmの円すいから、半径3cm・高さ3cmの円すいを引いて求めます。体積は（6²×6－3²×3）×3.14÷3＝63×3.14cm³です。
- 全体は（9²×6－3²×3－63）×3.14＝396×3.14＝1243.44cm³です。
間違えやすい点：図形が回転軸から3cm離れているため、内側の空洞を引きます。
第2問｜仕切りが消える水そう
この大問で学ぶこと
仕切りの変化を、水量の保存でつなぐ
仕切りがなくなると水面の高さは変わりますが、その瞬間の水量は変わりません。接続する区画を見極め、底面積の合計で水量を割ると、変化前後の高さを結べます。
解くときの着眼点：仕切りが消えた直後は、つながった容器の水量を底面積の合計で割ります。
(1)
答え：40cm
- 最初の5分でBには300×5＝1500cm³増えます。水位の上昇は1500÷75＝20cmです。
- Bは高さの1/4から3/4へ上がったので、この20cmは全高の1/2です。水そうの高さは40cmです。
間違えやすい点：仕切りが消える直前のBだけの増水を使います。
(2) ア
答え：42.5
- 初めAは24cm。5分間に360×5÷150＝12cm下がって12cmになります。Bは30cmなので、仕切りがなくなると水位は（150×12＋75×30）÷225＝18cmです。
- A・Bがつながった後は毎分360－300＝60cm³減り、水位は毎分60÷225＝4/15cm下がります。次の仕切りがなくなるのは高さ8cmなので、10÷（4/15）＝37.5分後です。
- 最初からは5＋37.5＝42.5分です。
間違えやすい点：AとBの水位の単純平均ではなく、水量から求めます。
(3) イ
答え：50.5
- 初めの水量はAが150×24＝3600、Bが75×10＝750、Cが120×25＝3000で、合計7350cm³です。注水中は毎分60cm³ずつ減ります。
- 注水を止める時刻をT分後とすると、水量は7350－60T。そこから62.5分後に空になるので、同じ水量は360×（62.5－T）です。
- 7350－60T＝22500－360Tより300T＝15150、T＝50.5です。
間違えやすい点：仕切りがなくなる瞬間にも、全体の水量は飛び変わりません。
第3問｜平行四辺形の比と面積
この大問で学ぶこと
平行な線の関係を、面積比へ渡す
平行四辺形の辺の比を、相似な三角形や同じ高さの三角形へ使います。補助線や形の置き換えを使う場合も、どの平行関係と面積比を保っているかを確かめることが大切です。
解くときの着眼点：平行関係を保つ形の変形では面積比も保たれるため、計算しやすい位置で比を整理できます。
(1)
答え：DG：GE＝1：3
- BCを2、CEを1とし、平行四辺形を横幅2・高さ3の長方形に移して考えます。B（0,0）、C（2,0）、E（3,0）、D（2,3）、F（2,2）です。
- BFの延長は横位置と高さが同じ線、DEは高さ＝9－3×横位置の線です。交点Gは（9/4,9/4）で、DからEまでの1/4の位置です。DG：GE＝1：3となります。
間違えやすい点：斜めの平行四辺形を長方形に移すのは、平行線上の分割比・面積比を求めるためです。実際の長さや角度を等しいとはしません。
(2)
答え：AH：HG＝8：1
- 前問の位置でAは（0,3）、Gは（9/4,9/4）です。DCは横位置2の直線なので、AGの途中で横位置が0から2になる割合は2÷（9/4）＝8/9です。
- したがってHはAからGまでの8/9の位置。残りが1/9なのでAH：HG＝8：1です。
間違えやすい点：HがDC上にある条件を、横位置で利用します。
(3)
答え：四角形ABFH：四角形FCEG＝80：33
- Hの高さは7/3なので、FH＝1/3。四角形ABFHは三角形ABF（3×2÷2＝3）と三角形AFH（1/3×2÷2＝1/3）を合わせて10/3です。
- 四角形FCEGは三角形FCE（2×1÷2＝1）と三角形FEGに分けます。GはDEの1/4にあるので、三角形FEGは三角形FDE（1/2）の3/4で3/8です。
- したがって比は10/3：11/8＝80：33です。
間違えやすい点：四角形を2つの三角形に分け、重ならず覆えているか確認します。
第4問｜内外の多角形と三角形分割
この大問で学ぶこと
分割した三角形を、角の総和で数える
内側の多角形を含む図形では、境界や内側の頂点の扱いによって数え方が変わります。小さな三角形の角の総和と、各頂点のまわりに集まる角の総和を対応させて個数を求めます。
解くときの着眼点：内側の正多角形の内部も含めて三角形に分けます。各頂点に集まる角の合計から個数を求めます。
(1)
答え：18個
- 外側n角形の各頂点の角の合計は（n－2）×180度です。内側m角形の頂点では、周りの三角形の角が360度集まります。
- 三角形の個数はn－2＋2m。n＝8、m＝6なので8－2＋12＝18個です。
間違えやすい点：内側の六角形も空白のままにせず、内部を三角形に分けています。
(2)
答え：20個
- 同じ関係を使い、外側6角形・内側8角形なので6－2＋2×8です。
- 計算して20個。内側の角数が外側より多い場合も、この角度の合計は成り立ちます。
間違えやすい点：多角形の大小と、角数の大小は別です。
(3)
答え：10通り
- 25＝n－2＋2mなのでn＋2m＝27です。nもmも3以上の整数です。
- mは3～12の10通りで、それに対応するnは21、19、17、15、13、11、9、7、5、3です。すべて条件に合うため10通りです。
間違えやすい点：内外の角数がともに9となる場合も除きません。
第5問｜複数の倍数を並べる
この大問で学ぶこと
重複する倍数を、最小公倍数で整理する
複数の倍数を順に並べると、同じ数が複数の条件へ入ります。2種類の重なりを引き、3種類共通を足し戻すと、ある数までに何個あるかを正しく数えられます。
解くときの着眼点：重複する倍数は最小公倍数を使って引き、3種類では3重の重複を戻します。
(1)
答え：325
- 15と25の最小公倍数75ごとに、15・25・30・45・50・60・75の7個が並びます。300までに7×4＝28個です。
- 29番目が315、30番目が325です。75の倍数を二重には数えません。
間違えやすい点：15と25の倍数の和集合として並べます。
(2)
答え：57番目
- 525以下には15の倍数35個、25の倍数21個、35の倍数15個があります。
- 2種類に共通する倍数は75の倍数7個、105の倍数5個、175の倍数3個。3種類共通の525は1個です。
- 35＋21＋15－7－5－3＋1＝57。525は57番目です。
間違えやすい点：3種類すべてに共通する数は、引きすぎを戻すため1回足します。
(3)
答え：219番目
- 2025以下の倍数個数は、15が135個、25が81個、35が57個です。
- 共通倍数は75が27個、105が19個、175が11個、525が3個です。
- 135＋81＋57－27－19－11＋3＝219なので219番目です。
間違えやすい点：割り算の商は整数部分を使い、2025自身も数に入れます。
解き直しの進め方
解き終えたら、各大問の「解き直しの到達点」を使って確認しましょう。答えだけを直す前に、条件を取り違えたのか、最初の一手が決まらなかったのか、計算で崩れたのかを分けます。解説を閉じて途中式を再現し、日を空けて同じ考え方を使えるか確かめてください。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
志望校の過去問を、次の学習計画へ
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