2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
栄東中学校・2024年度 A日程（1月10日） 算数
1月10日のA日程、全5大問を解説します。分数の相殺から、ゴール後に変わる差のグラフ、約数の数え方、台形に隠れた正方形、整数操作の逆算まで順に確認します。
第1問｜計算・食塩水・仕事・角度・折り返し・回転体
この大問で学ぶこと
問題の形に応じて、計算を短くする
分数の和は隣同士の差へ分け、食塩水は食塩量、仕事は赤いロボット何体分かへ直します。折り返しと回転では対応する長さを図へ書き込み、見える形の印象だけで判断しないことが大切です。
解くときの着眼点：分数の差、保存される量、折り返しで等しい長さを使います。
(1)
答え：4
- 最初のかっこは3/4、中かっこも(5/4－1/5)×5/7＝3/4です。
- 3/4×3.4÷3/4＋3/5＝3.4＋0.6＝4です。
間違えやすい点：同じ3/4を掛けて割っている部分は、先に相殺できます。
(2)
答え：2/3
- 202.4÷(50－□÷2/81)＝8.8なので、かっこの中は202.4÷8.8＝23です。
- □÷2/81＝27より、□＝27×2/81＝2/3です。
間違えやすい点：未知数を含むかっこ全体を求めてから、その内側を逆算します。
(3)
答え：5
- 1/{n(n＋1)}＝1/n－1/(n＋1)を使うと、分子が1の場合の和は1/440－1/460＝1/10120です。
- 同じ□が各分子にあるので、全体は□×1/10120。1/2024にするには□＝10120÷2024＝5です。
間違えやすい点：最初と最後以外の項が消えることを、最初の数項で確かめます。
(4)
答え：1200g
- 最初の10％の食塩水をm gとすると、予定の混合では(10－9.2)×m＝(9.2－8)×200。m＝300gです。
- 実際に加えた8％をx gとすると、(10－8.4)×300＝(8.4－8)×x。x＝1200gです。
間違えやすい点：最初の300gは予定と実際で共通ですが、加える8％の量は違います。
(5)
答え：12体
- 20分は1/3時間なので、24時間かかる赤1体の72倍の仕事量が必要です。
- 18体すべて赤なら赤18体分。紫へ1体置き換えると9体分増えるので、紫は(72－18)÷9＝6体です。
- 赤は18－6＝12体です。
間違えやすい点：紫1体は赤10体分ですが、置き換えによる増加は9体分です。
(6)
答え：54度
- アをx度とすると、Aの角は2x度、Dの外側のウは6x度です。AB＝ADなので、三角形ABDの底角はどちらも180－6x度です。
- 2x＋2×(180－6x)＝180よりx＝18です。
- 三角形DBCでエ＝180－6×18－18＝54度です。
間違えやすい点：Dでは一直線上の角を使い、三角形ABDの内角を180－ウとします。
(7)
答え：128/3cm²（42と2/3cm²）
- 折り返しでAE＝AB＝8cm、DE＝BD＝4cmです。三角形DECとABCは直角とCの角が等しく、DE：AB＝1：2で相似です。
- したがってDC＝AC/2、EC＝BC/2。BC＝4＋AC/2、AC＝8＋BC/2を得ます。
- これらよりBC＝4＋(8＋BC/2)/2＝8＋BC/4。BC＝32/3cmなので、面積は8×32/3÷2＝128/3cm²です。
間違えやすい点：折り返しで一致する長さを先に記入し、相似の対応を確認します。
(8)
答え：12.56cm³
- AB＝BC＝3cmなので斜辺ACは水平線に対して45度です。軸DEから左端Aまで2cm、右端Bまで1cm。高さ1cm、2cmの位置で通過部分の形が変わります。
- 下の高さ1cmは半径2cmから1cmへ変わる円すい台で、体積は(2²×2－1²×1)π/3＝7π/3です。
- 次の高さ1cmは半径1cmの円柱でπ。上の高さ1cmは同じ円柱から半径1cm・高さ1cmの円すいを除くので2π/3です。
- 合計4π＝12.56cm³です。
間違えやすい点：軸が三角形の内部を通るため、左右を回した重なりを二重に足さないようにします。
第2問｜3人のマラソンと道のりの差
この大問で学ぶこと
差のグラフから、元の速さへ戻す
一定の速さでも、先にゴールした人はそこで止まるため、道のりの差の傾きが変わります。全員が走っている14分までの差と、各ゴール時刻を組み合わせると、全長と3人の速さが決まります。
解くときの着眼点：折れ点をゴール時刻へ対応させ、走っている間の速さの差を求めます。
(1)
答え：10：7
- 栄くんがゴールするのは14分後、中さんは20分後です。同じ全長を走るので、速さの比は時間の逆比で20：14＝10：7です。
間違えやすい点：ゴール後は道のりが増えないため、グラフの折れ点が生じます。
(2)
答え：2800m
- 14分後の栄－東は560m、東－中は280mなので、栄－中は840m。速さの差は840÷14＝毎分60mです。
- 栄：中＝10：7の差3が60m/分なので、比の1は20m/分。栄くんは毎分200mです。
- 全長は200×14＝2800mです。
間違えやすい点：2本のグラフの差をさらに引くのでなく、栄と中の差は足して求めます。
(3)
答え：17分30秒後
- 栄と東の速さの差は560÷14＝毎分40mなので、東さんは200－40＝毎分160mです。
- 2800÷160＝17.5分＝17分30秒後です。
間違えやすい点：0.5分は30秒です。
第3問｜約数を配置した図形と個数
この大問で学ぶこと
図形の頂点を、約数の選び方として数える
約数を並べる方向は、2・3・5などの素数を何回使うかに対応します。指数がaなら0回からa回までのa＋1通り。頂点の個数を形の見た目で数えるだけでなく、約数の個数として整理しましょう。
解くときの着眼点：各方向に何を何回掛けるかを読み、素因数の指数へ直します。
(1)
答え：300
- 図4では1から横へ2を掛ける方向が2段階、奥へ3を掛ける方向が1段階、上へ5を掛ける方向が2段階あります。
- アはそれらを全て進んだ頂点なので、2²×3×5²＝300です。
間違えやすい点：横に2段階あるため、2を1回だけでなく2回掛けます。
(2)
答え：16個
- 2024＝2³×11×23です。約数では2を0～3回の4通り、11と23をそれぞれ0～1回の2通りずつ選べます。
- 頂点数は4×2×2＝16個です。
間違えやすい点：同じ素数を3回使う場合の選択肢は、0回も含め4通りです。
(3)
答え：20通り
- 約数が8個になるのは、異なる素数を使ってp⁷、p³q、pqrの3種類です。
- p⁷は128の1個。p³qは24、40、54、56、88、104、135、136の8個です。
- pqrは30、42、66、70、78、102、105、110、114、130、138の11個です。
- 合計1＋8＋11＝20通りです。
間違えやすい点：p³qとpqrでは使う素数が異なる条件を守り、150以下の上限も確認します。
第4問｜台形の相似・二等辺三角形と面積
この大問で学ぶこと
小さい直角三角形から、全体の面積を決める
与えられた等しい長さは小さな三角形だけでなく、正方形や線分の二等分にもつながります。未知の1辺をすぐ求めず、その2乗が面積に対応することを使うと、必要な計算を整理できます。
解くときの着眼点：45度の関係からABCFが正方形であることを見抜きます。
(1)
答え：4.5cm²
- ECIは直角二等辺三角形なので、DEは底辺BCと45度をなします。平行なDFとの角も45度なので、DFIも直角二等辺三角形です。
- DF＝3cmよりFI＝3cm。面積は3×3÷2＝4.5cm²です。
間違えやすい点：DFIの直角はFにあります。
(2)
答え：84.5cm²
- EC＝CI、BE＝FI＝3cmなので、BC＝CFです。AB＝CFでもあるため、ABCFは正方形になります。
- 正方形の対角線CAは直角ECIを二等分するので、HはEIの中点です。したがって三角形AEIはAHIの2倍で80cm²です。
- 正方形の1辺をx cmとするとAD＝x＋3、AB＝x、FI＝3。三角形AEIはADEからADIを引いた面積なので、(x＋3)(x－3)÷2＝80です。
- x²－9＝160よりx²＝169。三角形ACFの面積はその半分で169÷2＝84.5cm²です。
間違えやすい点：1辺の長さを求める前に、1辺の2乗が169と分かれば面積を求められます。
(3)
答え：188.5cm²
- x²＝169なのでx＝13cmです。BC＝13cm、AD＝16cm、高さAB＝13cmです。
- 台形の面積は(13＋16)×13÷2＝188.5cm²です。
間違えやすい点：台形の上底は正方形の1辺よりDFの3cmだけ長くなります。
第5問｜7で割る操作と回数
この大問で学ぶこと
操作を逆にたどり、個数を数える
1ずつ増やしてから7で割る規則は、まとまりごとの計算と逆向きの枝分かれに整理できます。逆向きでは単に1を引けるとは限らず、元の数が7の倍数なら割る操作が優先される条件に注意します。
解くときの着眼点：順向きでは7の倍数までまとめ、逆向きでは前の数の候補を出します。
(1)
答え：15
- 2024から6回足して2030、1回割って290になります。次は4回足して294、1回割って42です。
- 42→6→7→1は3回なので、合計6＋1＋4＋1＋3＝15回です。
間違えやすい点：1を足す各回も、7で割る各回も1操作として数えます。
(2)
答え：32個
- 1の直前は7だけです。ある数mの直前の候補は7mとm－1ですが、m－1は2以上で7の倍数でない場合だけ使えます。
- 1回で1になる数は7の1個。そこから6回前まで逆にたどると、候補数は1、2、4、8、16、32個となります。
- この範囲では枝分かれの候補が有効で、同じ数も重複しないので32個です。
| 操作回数 | 候補数 | 最小の候補 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 7 |
| 2 | 2 | 6 |
| 3 | 4 | 5 |
| 4 | 8 | 4 |
| 5 | 16 | 3 |
| 6 | 32 | 2 |
間違えやすい点：逆向きに1を引いた数が7の倍数なら、元の規則では足すのでなく割るため、その枝は使えません。
(3)
答え：336
- 2～7の操作回数は6、5、4、3、2、1で合計21です。8～14は14へ進んで割ると2になるので、回数は13～7で合計70です。
- 以後も7個ずつまとめると、15～21は12～6で63、22～28は11～5で56、29～35は10～4で49です。
- 36～42は9～3で42、43～49は8～2で35。合計21＋70＋63＋56＋49＋42＋35＝336です。
間違えやすい点：最初の2～7だけは6個で、それ以降の各組は7個ずつです。
解き直しの進め方
グラフでは誰がゴールした時点で傾きが変わるか説明します。約数は指数ごとの選択肢、台形は正方形とEIの中点、整数操作は逆の候補が元の規則を満たすかを確認して解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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