2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2020 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
大宮開成中学校・2020年度 第1回 算数
全7大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。四則計算と逆算、つるかめ算・仕事算・行列、内側の角・内外の円・切断立体、混合と蒸発、円板を移す最小回数、往復する船と流れ、電灯の影と回転を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜四則計算と逆算
この大問で学ぶこと
分数と小数を、計算しやすい形へそろえる
共通因数をまとめ、帯分数は仮分数へ直します。逆算は外側の演算から戻り、空欄に入れた数が元の式を満たすか確かめましょう。
解くときの着眼点：かっこの内側から順に整理します。
(1)
答え：2
- 6÷2＝3より、81÷3－5×5＝27－25＝2です。
間違えやすい点：足し算より掛け算・割り算を先に行います。
(2)
答え：400
- 20を共通にして、20×(20＋19－18－17＋16)＝20×20＝400です。
間違えやすい点：引き算の項の符号をそのまま残します。
(3)
答え：1
- 5/6－0.75＝1/12、5/18÷1/12＝10/3です。
- 3×(4－10/3)÷2＝3×2/3÷2＝1です。
間違えやすい点：割り算を含む内側のかっこから計算します。
(4)
答え：8/5（1と3/5）
- 外側を戻すと、かっこ内は1×2.8÷1/2＝5.6です。
- 1と1/3＋1.5×6と2/5＝4/3＋48/5＝164/15。□÷0.3＝164/15－28/5＝16/3です。
- □＝16/3×3/10＝8/5です。
間違えやすい点：最後に□を0.3倍することを忘れないようにします。
第2問｜つるかめ算・仕事算・行列
この大問で学ぶこと
条件をそろえた仮定から、差を求める
全部同じ題数だった場合との差、足りない時間と余る時間の合計を使います。人が増え続ける行列は、受付の人数から流入人数を引いて減る速さを求めます。
解くときの着眼点：全体の仕事と、1分の変化を区別します。
(1)
答え：150日
- 毎日10題なら3650題で、実際より450題多くなります。
- 7題の日1日につき3題少ないので、450÷3＝150日です。
間違えやすい点：求めるのは10題の日ではありません。
(2)
答え：180題
- 基本問題の残り1/3が30題なので、基本は90題です。
- 基本：全体＝3：6＝1：2なので、全体180題です。
間違えやすい点：解いた60題を基本問題全体としないようにします。
(3)
答え：15分間
- 1題の差は2秒、全体の差は45＋25＝70秒なので、問題は35題です。
- 制限時間は25×35＋25＝900秒＝15分間です。
間違えやすい点：足りない45秒と余る25秒は足します。
(4)
答え：75分
- 仕事全体は150×40＝6000人・分です。
- 最初の30分で1500、残り4500を100人でするので45分です。
- 合計30＋45＝75分です。
間違えやすい点：後半の45分だけを答えないようにします。
(5)
答え：4分
- 受付口1つで行列は毎分200÷10＝20人減ります。増える10人を足して、処理能力は毎分30人です。
- 2口なら毎分60人処理し、行列は60－10＝50人ずつ減ります。
- 200÷50＝4分です。
間違えやすい点：受付口を倍にしても、増えてくる人数は倍になりません。
第3問｜内側の角・内外の円・切断立体
この大問で学ぶこと
見えにくい量を、周囲の角と相似へ変える
点の周りの角の和は360度です。円の半径は正三角形の高さで比べ、三角柱の切断は大小2つの三角すいの差へ変えると整理できます。
解くときの着眼点：中心や延長した頂点を補って考えます。
(1)
答え：37度
- 内部の点をO、上の頂点をA、右下をCとすると、角AOC＝360－125－125＝110度です。
- 三角形AOCより、ア＝180－110－33＝37度です。
間違えやすい点：125度を三角形AOCの内角として2回引かないようにします。
(2)
答え：4：1
- 正三角形の中心は高さを頂点側2：底辺側1に分けます。
- 外側の円の半径と内側の半径は2：1なので、面積比は2²：1²＝4：1です。
間違えやすい点：円の面積比には半径比の2乗を使います。
(3)
答え：7cm³
- 上の三角形ABCの面積は2×3÷2＝3cm²。下のFMNは各辺が半分なので面積0.75cm²です。
- Cを含む部分は、上下の三角形が相似な三角すい台です。対応する辺を下へ延長すると、下の小三角すいの高さ4cm、上までの大三角すいの高さ8cmになります。
- 3×8÷3－0.75×4÷3＝8－1＝7cm³です。
間違えやすい点：三角柱全体12cm³の半分にはなりません。下側の三角形は面積1/4です。
第4問｜混合と蒸発
この大問で学ぶこと
濃度の変化を、食塩の重さでつなぐ
まず重さの比で混ぜた濃度を求めます。蒸発後は食塩の量から全体の重さを逆算し、初めの重さとの差を取ります。
解くときの着眼点：蒸発しても食塩の量は変わりません。
(1)
答え：11.4％
- (15×3＋6×2)÷5＝57÷5＝11.4％です。
間違えやすい点：15％と6％を同じ重さで混ぜる条件ではありません。
(2)
答え：66g
- 食塩は275×0.114＝31.35gです。
- 15％になるときの食塩水は31.35÷0.15＝209g。蒸発する水は275－209＝66gです。
間違えやすい点：食塩を蒸発させる計算にしないようにします。
第5問｜円板を移す最小回数
この大問で学ぶこと
小さい場合の答えから、次の答えを作る
n枚を移すには上のn－1枚をよけ、最大の1枚を移し、よけたn－1枚を戻します。この順序は避けられないため、最小回数の式にもなります。
解くときの着眼点：最大の円板を動かす前後に分けます。
(1)
答え：7回
- 1枚なら1回、2枚なら1×2＋1＝3回です。
- 3枚なら3×2＋1＝7回です。
間違えやすい点：1枚ずつしか動かせないことが回数を決めます。
(2)
答え：31回
- 4枚は7×2＋1＝15回、5枚は15×2＋1＝31回です。
| 円板 | 回数 |
|---|---|
| 1枚 | 1回 |
| 2枚 | 3回 |
| 3枚 | 7回 |
| 4枚 | 15回 |
| 5枚 | 31回 |
間違えやすい点：円板を1枚増やすと、回数は一定数ずつ増えるわけではありません。
第6問｜往復する船と流れ
この大問で学ぶこと
上りと下りの和・差から、静水と流れを分ける
上りは静水の速さから流速を引き、下りは足します。下りと上りの平均が静水の速さ、半分の差が流速です。
解くときの着眼点：同じ距離では時間比と速さ比が逆になります。
(1)
答え：5：3
- 上り：下りの速さは1：4です。
- 静水は(4＋1)÷2＝2.5、流れは(4－1)÷2＝1.5なので、比は5：3です。
間違えやすい点：時間比4：1を、そのまま速さ比に使いません。
(2)
答え：時速25km
- 上りは10kmを1時間で進むので時速10km、下りはその4倍で時速40kmです。
- 静水時は(10＋40)÷2＝時速25kmです。
間違えやすい点：答えの単位は、原問題が求める時速です。
第7問｜電灯の影と回転
この大問で学ぶこと
相似の拡大と、影に含めない底面を整理する
電灯の高さ2m、立体の高さ1mなので、上面の投影はPを中心に2倍です。影はその投影だけでなく手前の斜めの境界まで含み、立体の底面を除きます。
解くときの着眼点：地面に投影した形を、真上から見ます。
(1)
答え：13.71m²
- 上面と底面の面積は、長方形2×1と半径1の半円を合わせて2＋1.57＝3.57m²です。
- 上面の投影は面積4倍で14.28m²です。手前に、平行な辺が2m・4mで間隔1mの台形3m²が加わります。
- この全体から立体の底面を除くので、14.28＋3－3.57＝13.71m²です。
間違えやすい点：投影された上面の面積から底面を引くだけでは、手前の台形を落とします。
(2)
答え：106.76m²
- 影の最遠点は、半円の投影の右端でPから6mです。
- 影の最も近い境界は、手前の長方形の角です。Pから横1m・縦1mなので、その距離の2乗は2です。
- 回転で影が通るのは外半径6m、内半径の2乗2の輪です。面積は(36－2)×3.14＝106.76m²です。
間違えやすい点：Pから1mの手前の辺の中央は、立体に覆われていて影に含みません。
解き直しの進め方
行列は増加分、切断は相似な上下の面、円板は最大の1枚、影は除く底面に注意して解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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