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武蔵中学校2024年 算数全問解説｜相似・周回コース・数の並べ方

2026年10月27日

SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW

答えの先に、解ける理由を。

武蔵中学校・2024年度 2月1日入試 算数

全4大問を解説します。3台のポンプは1分の仕事量、図形は相似な三角形の対応、周回コースは同じ場所にいる時間帯、並べ方は最大数の挿入へ整理して考えます。

このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。

第1問｜互いに素な整数・3台のポンプ

この大問で学ぶこと

重複を見抜いて、全体へ戻す

最大公約数の条件は素因数ごとの倍数へ分けられます。ポンプは2台ずつの仕事量を足すと、各ポンプが2回ずつ現れます。何を重複して数えたかを把握することが共通の着眼点です。

解き直しの到達点倍数の重複と仕事量の重複を、式の意味から説明できるか。

解くときの着眼点：重なって数える数と、2回ずつ数える仕事量を整理します。

(1)

答え：80個

  1. 176＝2⁴×11なので、176と互いに素な整数は2でも11でも割り切れない数です。
  2. 1～176から2の倍数88個と11の倍数16個を除き、二重に除いた22の倍数8個を戻します。176－88－16＋8＝80個です。

間違えやすい点：1も最大公約数が1となる整数に含まれます。

(2)ア

答え：2時間12分

  1. 所要時間は220分、198分、180分です。水量を1980とすると、1分の仕事量はA＋B＝9、B＋C＝10、C＋A＝11となります。
  2. 合計30は3台の仕事量の2倍なので、3台では1分に15。1980÷15＝132分＝2時間12分です。

間違えやすい点：時間を直接足すのではなく、1分にくみ出す量を足します。

(2)イ

答え：3時間7分

  1. 同じ水量1980に対して、Bは1分に(9＋10－11)÷2＝4、A＋Cは1分に11です。
  2. 全299分をA＋Cで作業すると3289くみ出し、必要量より1309多くなります。Bへ1分置き換えると11－4＝7減るので、Bの時間は1309÷7＝187分です。
  3. 187分＝3時間7分。A＋Cの112分と合わせ、4×187＋11×112＝1980となります。

間違えやすい点：途中からはAとCだけで、Bは動かし続けません。

第2問｜直角三角形の相似と長さ

この大問で学ぶこと

3・4・5の比を、補助線でつなぐ

直角を共有する三角形と、同じ角を持つ三角形を順に見つけます。延長した辺の交点を扱うときも、水平線や垂線を補えば既知の相似へ戻せます。対応する辺を毎回確認することが大切です。

解き直しの到達点相似な三角形の組と、長さの対応を示して式を書けるか。

解くときの着眼点：最初に小さな三角形を解き、共通の角を使って長さを移します。

(1)

答え：3/4cm

  1. FE＝FD－ED＝4－3＝1cmです。三角形FEGとFDCは、EとDが直角、Fの角が共通なので相似です。
  2. 相似比はFE：FD＝1：4。EGはDCに対応するので、EG＝3×1/4＝3/4cmです。FGもFCの1/4で5/4cmです。

間違えやすい点：FEと対応するのはDCでなくFDです。

(2)

答え：19/5cm（3と4/5cm）

  1. AG＝AE＋EG＝4＋3/4＝19/4cmです。三角形ABGとFEGは、BとEが直角でGの角が共通なので相似です。
  2. AGはFGに、ABはFEに対応します。相似比はAG：FG＝19/4：5/4＝19：5です。
  3. FE＝1cmよりAB＝19/5cmです。

間違えやすい点：斜辺同士のAGとFGを比べてから、ABへ移します。

(3)

答え：45/7cm（6と3/7cm）

  1. DからBCへ垂線を下ろした足をVとします。三角形FVDとFDCの相似比はFD：FC＝4：5なので、FV＝16/5cm、DV＝12/5cmです。
  2. 三角形ABGとFEGの相似よりBG＝EG×19/5＝57/20cm。BF＝BG－FG＝57/20－5/4＝8/5cmなので、BC＝33/5cmです。
  3. DからBCと平行な線を引き、ABとの交点をKとします。DK＝BF＋FV＝24/5cm、AK＝AB－DV＝7/5cmです。
  4. 三角形AKDとABHは相似なので、BH＝DK×AB÷AK＝24/5×19/7＝456/35cm。CH＝BH－BC＝456/35－33/5＝45/7cmです。

間違えやすい点：三角形DCHのDは直角ではありません。直角のある補助三角形を作って相似を使います。

第3問｜大小2つの周回コース

この大問で学ぶこと

同じ場所で会える時間帯を先に絞る

AとBはそれぞれ1つのコースだけを回り、Cは小・大を交互に回ります。速さの和や差が使えるのは、2人が同じコースにいる時間帯です。区間ごとの位置と周回の周期を分けて考えましょう。

解き直しの到達点追いつくまでの時間が、そのコースにいる残り時間内か確かめられるか。

解くときの着眼点：Cがどちらのコースにいるかを、7分の周期で区切ります。

(1)

答え：480m

  1. AとCは小コースを逆向きに進むので、近づく速さは80＋240＝分速320mです。
  2. 最初の出会いまで1.5分なので、小コース1周は320×1.5＝480mです。

間違えやすい点：逆向きなので速さの差ではなく和を使います。

(2)

答え：4分後

  1. Cは小コースを2分、大コースを5分で回り、7分で元の状態へ戻ります。
  2. 2分後にCが大コースへ入るとき、Bは120×2＝240m先です。速さの差は120m/分なので、2分で追いつきます。
  3. 出発から2＋2＝4分後です。

間違えやすい点：Cの小コースを回る時間も、出発からの時刻へ加えます。

(3)AとCの2回目

答え：8と1/4分後

  1. 最初の出会いは1.5分後。その後Cは2分後から7分後まで大コースにいるため、Aとは会いません。
  2. 7分後、Aは小コースで560－480＝80m進んだ位置、CはSから逆向きに出ます。出会うまでに2人が合わせて進む距離は480－80＝400mです。
  3. 400÷320＝1と1/4分なので、7＋1と1/4＝8と1/4分後です。

間違えやすい点：7分後のAをSに戻して考えないようにします。Aの周回は6分です。

(3)CがBへ2回目に追いつく時刻

答え：26分後

  1. Cが大コースへ入るのは2、9、16、23…分後で、各回5分間走ります。CがBに追いつく速さは毎分120mなので、5分以内に詰められる差は600mです。
  2. 大コースへ入るときのBの位置は、Sから順に240、1080、720、360mです。最初の240mの差は4分後に詰まりますが、その次の1080mと720mは5分では詰められません。
  3. 23分後の差360mは3分で詰まり、23＋3＝26分後が2回目です。

間違えやすい点：追いつく計算だけでなく、Cが大コースを出るまでに間に合うか判定します。

(4)

答え：30、42、60、70、72、84、90分後

  1. Aは6の倍数分、Bは10の倍数分にSへ来ます。Cは7の倍数分、または7の倍数に2を足した分にSへ来ます。
  2. AとBは30、60、90分後。AとCは30、42、72、84分後。BとCは30、70、90分後です。
  3. 3つの組で出た時刻を合わせ、重複を除くと30、42、60、70、72、84、90分後です。

間違えやすい点：出発した瞬間の0分後を答えに含めず、3人で重なる時刻も1回だけ数えます。

第4問｜隣り合う数の大小と並べ方

この大問で学ぶこと

並びを1個増やして、前の結果を生かす

全てを書き出す方法から、数が1個増えたときの変化へ進む問題です。最大の数を入れても、点数は元のままか1点増えるだけ。挿入位置をこの2種類へ分けると、前の個数を次の計算へ使えます。

解き直しの到達点点数が変わらない位置と1増える位置を、例を使って説明できるか。

解くときの着眼点：最大の数を挿入したとき、点数が変わる位置を数えます。

(1)

答え：4通り

  1. 1～3の並べ方は6通り。0点の321と2点の123を除けば、残りはすべて1点です。
  2. 6－1－1＝4通りです。

間違えやすい点：上がりを数える場所は数字3個ではなく、隣り合う2か所です。

(2)

答え：1点：11通り、2点：11通り

  1. 1～4の並べ方は24通りです。0点の4321と3点の1234を除くと、1点または2点が22通りあります。
  2. 並びを逆から読むと上がりと下がりが入れ替わり、1点の列と2点の列が1対1に対応します。
  3. 22÷2＝11通りずつです。

間違えやすい点：1点と2点の個数を、片方の未確定な個数へ依存させず、逆順の対応から同時に求めます。

(3)

答え：2点、3点

  1. 元の1324は2点です。5を先頭へ入れるか、上がりの位置1→3または2→4へ入れると、点数は2点のままです。
  2. 下がりの3→2へ入れるか末尾へ入れると、上がりが1つ増えて3点です。

間違えやすい点：最大の5から次の数へ進む部分は、必ず下がりになります。

(4)

答え：302通り

  1. 大きい数を追加しても点数が変わらないのは、先頭と、元の上がりの位置です。元がk点ならk＋1か所。ほかの位置へ入れると1点増えます。
  2. 4個の並びの点数別個数は、0～3点で1、11、11、1通りです。5個で1点は0点から4か所への挿入と1点から2か所への挿入なので、1×4＋11×2＝26通りです。
  3. 5個で2点は、1点から3か所への挿入と2点から3か所への挿入なので、11×3＋11×3＝66通りです。
  4. 6個で2点は、5個で1点の26通りから4か所への挿入、5個で2点の66通りから3か所への挿入を足し、26×4＋66×3＝302通りです。
前の並びから増やすための個数表
数の個数0点1点2点3点4点
3個141——
4個111111—
5個12666261

間違えやすい点：元が1点の列と2点の列で、使う挿入位置の個数を取り違えないようにします。

解き直しの進め方

第2問では、相似な三角形の名前と対応する辺を書いてから比を使います。第3問はCが各コースへ入る時刻を書き出しましょう。第4問は小さい数で実際に最大数を挿入し、点数が変わる位置を確認してから表を増やします。

段階取り組むこと確認すること
1｜原因を分ける間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分けるどこで手が止まったかを言葉にする
2｜解説を閉じる自分で図や式を作り直す同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか
3｜時間を空ける日を改め、類題と合わせて再挑戦する条件が変わっても使える考え方になったか

志望校の過去問を、次の学習計画へ

点数だけでは、次に何を直すべきかは決まりません。進塾では、解き方・途中式・つまずいた箇所を確かめ、授業と家庭で取り組む内容を整理します。集団コース・個別指導のご相談を承ります。

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記事カテゴリ： 中学校別対策武蔵中学校対策

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