2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
武蔵中学校・2022年度 2月1日入試 算数
全4大問を解説します。最小公倍数と切手、平行四辺形の交点、分銅の振り分け、停止を含む半円上の運動について、場合分けと式の理由まで整理します。
第1問｜最小公倍数と切手の枚数
この大問で学ぶこと
条件を満たす最小の数と、差を消す式を作る
1〜9の全てで割り切れる数は最小公倍数です。切手の問題では、郵便物1通の切手枚数と料金が違います。どちらか一方の条件だけで決めず、2つの式を対応させましょう。
解くときの着眼点：全てで割れる条件と、枚数・金額の2条件を使います。
(1)ア
答え：2520
- 1〜9の各数で割り切れるため、8＝2³、9＝3²、5、7の因数を全て含める必要があります。
- 2³×3²×5×7＝2520です。これで1〜9のどの整数でも割り切れるので、最小です。
間違えやすい点：1〜9を全て掛けると、共通の素因数を余分に重ねてしまいます。
(1)イ
答え：315
- 2520＝2³×3²×5×7です。奇数の約数には2を含められません。
- 2³を取り除き、残りを全て使うと3²×5×7＝315です。
間違えやすい点：奇数の約数を一つずつ列挙せず、2の因数を除きます。
(2)
答え：はがき44通、封筒26通
- はがき1通は切手2枚で63円、封筒1通は3枚で84円です。はがきをh通、封筒をf通とすると2h＋3f＝166、63h＋84f＝4956です。
- 枚数の式を63倍、金額の式を2倍すると、126h＋189f＝10458、126h＋168f＝9912。差は21f＝546なのでf＝26です。
- h＝(166－3×26)÷2＝44。料金も63×44＋84×26＝4956円となります。
間違えやすい点：封筒には1円切手を2枚使うので、合計料金は83円ではなく84円です。
第2問｜平行四辺形の交点と五角形の面積
この大問で学ぶこと
交点の比を、同じ対角線上の面積へつなぐ
BE：ADからBG：GDが求まり、その後のGH：HDを同じ単位へ直します。五角形を直接求めるより、外側の三角形3つを引けば、比の計算をそのまま面積へ使えます。
解くときの着眼点：平行線でできる相似と、底辺比による面積比を使います。
(1)
答え：16.5cm²
- BE：AD＝1：3。BEとADが平行なので、三角形BGEとDGAは相似で、BG：GD＝1：3です。
- 三角形ABDの面積は132÷2＝66cm²。ABGとABDはAからBDへの高さが共通なので、ABG＝66×1/4＝16.5cm²です。
間違えやすい点：面積比へ使うのはBG：BD＝1：4です。
(2)
答え：36.2cm²
- BGを5とするとGDは15。GH：HD＝2：3よりGH＝6、HD＝9です。したがってBH：HD＝11：9、GH：BD＝6：20です。
- ABとDFが平行なので、三角形ABHとFDHは相似。DF：AB＝9：11です。三角形ADFは66×9/11＝54cm²です。
- 三角形ABEは66×1/3＝22cm²、AGHは66×6/20＝19.8cm²です。
- 求める五角形は全体からABE・ADF・AGHを除いた部分なので、132－22－54－19.8＝36.2cm²です。
間違えやすい点：GH：HDを、そのままBH：HDとして使わないようにします。
第3問｜分銅の振り分けと場合の数
この大問で学ぶこと
重さの比較を、選ぶ組み合わせの条件へ置き換える
全体42gなので、つり合う片側は21gです。Aには初めから9gあるため、残りの分銅を何g追加するかに集中できます。少ない個数の組から調べると、漏れや重複を防げます。
解くときの着眼点：Aへ追加する重さを12gと比べます。
(1)
答え：489、579、3459
- 全体は42gなので、AとBは各21g。Aにある9g以外に12gを選びます。
- 2個なら4＋8、5＋7。3個なら最小の3＋4＋5＝12だけです。4個以上では最小でも3＋4＋5＋6＝18gなのでありません。
- 9も含め、小さい順に489、579、3459と書きます。
間違えやすい点：Aの分銅を表す数字には、固定されている9も含めます。
(2)
答え：16通り
- Bが重いのは、Aに追加する重さが12g未満のときです。0個なら1通り、1個なら3〜8gの6通りです。
- 2個は和が11以下。3gと組む4〜8gが5通り、4gと組む5〜7gが3通り、5gと組む6gが1通りで計9通りです。
- 3個では最小でも12gなので該当しません。合計1＋6＋9＝16通りです。
間違えやすい点：同じ2個の組を順序を変えて重複して数えません。
(3)
答え：44通り
- 残り6個はそれぞれA・Bの2択なので2⁶＝64通り。ただしBが空になる1通りは禁止で、63通りです。
- このうちBが重い16通り、つり合う3通りを除き、63－16－3＝44通りです。
間違えやすい点：Aが重い場合に含まれる「全てA」の1通りを、先に除きます。
第4問｜半円上の移動・停止・角度
この大問で学ぶこと
道のりを角度へ直し、動く区間ごとに時刻を調べる
半径が違うため、毎秒3cmと2cmをそのまま角度の差にはできません。またPは停止して往復し、Qは小半円と直径を回ります。一直線の条件では、原問題の「Qが直径上にない」を必ず守りましょう。
解くときの着眼点：Qが弧上にいる時間と、Pの折り返し・停止を分けます。
(1)
答え：18秒後
- 小半円の半径は7cm。円周率はこの問題の指定どおり22/7を使い、弧の長さは7×22/7＝22cmです。
- 直径14cmも含め、1周は36cm。毎秒2cmなので36÷2＝18秒でCへ戻ります。
間違えやすい点：QはDで折り返して弧を戻るのではなく、直径上をCへ戻ります。
(2)
答え：5.5秒後
- 大半円の半径は14＋7＝21cm、弧の長さ66cm。Pは66÷3＝22秒で180度進み、毎秒90/11度です。
- Qは小半円を11秒で進むので毎秒180/11度。初めは同じ向きなので、角度差は毎秒90/11度です。
- 45÷(90/11)＝11/2＝5.5秒です。これはQがDへ着く11秒より前なので条件に合います。
間違えやすい点：半径が違う2点は、弧を進む距離でなく中心角の変化を比べます。
(3)1回目
答え：27と1/3秒後
- Qが直径上にないのは弧上の時間帯です。Qは0〜11秒、18〜29秒、36〜47秒…に弧上を動きます。Pは0〜22秒にA→B、22〜24秒停止、24〜46秒にB→Aです。
- 中心角を毎秒90/11度の1単位で表します。B方向を0とすると、Pは戻りの区間でt－24、Qは2周目の弧上で2×(29－t)です。
- 同じ方向へ並ぶのでt－24＝58－2t。t＝82/3＝27と1/3秒です。
- 最初の弧上0〜11秒では出発時以外に重ならず、18〜24秒もPの角度はQより小さいため、この時刻が最初です。
間違えやすい点：「Qが直径上にない」の条件なので、直径を移動する区間で答えを探しません。
(3)3回目
答え：60秒後
- 次のQの弧上36〜47秒で、Pの戻りと同じ方向になる条件はt－24＝2×(47－t)。2回目は118/3＝39と1/3秒です。
- Pは46〜48秒にAで停止し、48〜70秒にA→Bへ進みます。次のQの弧上54〜65秒では、Pの角度の単位は70－t、Qは2×(65－t)です。
- 70－t＝130－2tよりt＝60秒。どちらも動いている区間に入るため、これが3回目です。
| Qの弧上区間 | 一致する時刻 |
|---|---|
| 0〜11秒 | なし |
| 18〜29秒 | 27と1/3秒 |
| 36〜47秒 | 39と1/3秒 |
| 54〜65秒 | 60秒 |
間違えやすい点：時刻を求めた後、停止区間・直径上の区間に入っていないか確認します。
解き直しの進め方
比の問題は同じ高さの三角形、場合の数は選ぶ個数、運動は折り返しと停止の時刻を先に書きます。答えの数値だけでなく、候補を除く理由や式を使える時間帯も説明できるようにしましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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