2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
武蔵中学校・2021年度 2月1日入試 算数
全4大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。分数計算と故障するポンプ、登山・休憩と出会い、正六角形と交点の面積、立方体の展開図と向かい合う面を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜分数計算と故障するポンプ
この大問で学ぶこと
作業量を、2台の速さと失った時間で表す
満水時間が長いポンプほど注水量は小さくなります。2台の速さの比を作り、故障がなかった場合と同じ水量になる式を立てましょう。
解くときの着眼点：故障後に42分多くかかる原条件を使います。
(1)
答え：634/2021
- 前半のかっこは27/8＋5/6×12/5＝43/8なので、前半は8/43です。
- 後半のかっこは5/4＋5/6－1/8＝47/24。2/25÷47/24×25/8＝6/47です。
- 8/43＋6/47＝(376＋258)/2021＝634/2021です。
間違えやすい点：原問題の帯分数1と1/4は5/4です。
(2)ア
答え：52分
- AとBの満水時間は21：10なので注水量は10：21、2台は31です。故障なしの満水時間をT分とします。
- 実際はT＋42分かかり、初めの32分は31、その後のT＋10分は10で注ぎます。31T＝31×32＋10(T＋10)です。
- 21T＝1092よりT＝52分です。
間違えやすい点：原問題は故障なしの場合より「42分多く」です。短くなると読むと式が逆になります。
(2)イ
答え：毎分105L
- 2台の注水量は8060÷52＝毎分155Lです。
- Bの割合は21/31なので155×21/31＝105Lです。Aは50Lで、32×155＋62×50＝8060Lと検算できます。
間違えやすい点：Bが動く32分間の注水量を聞かれています。故障後の平均ではありません。
第2問｜登山・休憩と出会い
この大問で学ぶこと
休憩を外し、2人分の時間を足し引きする
2人は反対のふもとから出発するため、上りと下りの道のりが入れ替わります。上り時間をU・Vとし、下りがその2/3の時間になる関係を利用できます。
解くときの着眼点：上りの時間と下りの時間を同じ速さへ換算します。
(1)
答え：12時15分
- Aの移動時間は345－60＝285分、Bは325－60＝265分です。A・Bの上り時間をU・VとするとU＋2V/3＝285、V＋2U/3＝265です。
- 足すとU＋V＝330分、引くとU－V＝60分。U＝195分、V＝135分です。
- Aは9時から195分登るので12時15分着です。
間違えやすい点：Bの移動時間は9時30分から14時55分までで計算します。
(2)
答え：時速1.2km
- 2人の上りの道のりを合わせると6.6km、時間は195＋135＝330分＝5.5時間です。
- 上りの速さは6.6÷5.5＝時速1.2km。下りは時速1.8kmです。
間違えやすい点：6.6kmをA1人の上り時間だけで割りません。
(3)
答え：30分間
- Aは12時15分から13時15分、Bは9時30分＋135分＝11時45分から12時45分まで山頂にいます。
- 重なる12時15分～12時45分の30分間です。
間違えやすい点：山頂にいる時間帯の共通部分を求めます。
(4)
答え：14時9分
- Pから山頂は1.2×195/60＝3.9km。Bは12時45分から下り、13時には1.8×15/60＝0.45km進んでいます。
- 13時のBとPの間は3.45km。Cと向かい合う速さは1.2＋1.8＝時速3kmです。
- 3.45÷3＝1.15時間＝69分なので、13時＋69分＝14時9分です。
間違えやすい点：出会いがBのP到着14時55分より前であることも確かめます。
第3問｜正六角形と交点の面積
この大問で学ぶこと
図にない中心を使い、与えられた比を相似へ移す
正六角形の中心をOとするとBDは線分COの垂直二等分線です。長さGI：ICをGI：IOとして使えるため、省略せずに面積比の根拠を追えます。
解くときの着眼点：中心Oを補い、IC＝IOを見つけます。
(1)
答え：20/3（6と2/3）cm²
- 正六角形を中心から6等分すると、BCDとDEFは各1/6です。
- ABDFは全体からこの2つを除くので、10×(1－1/6－1/6)＝20/3cm²です。
間違えやすい点：対角線を引いた図形を見ただけで、合同な小三角形の個数を数えないようにします。
(2)
答え：4/9cm²
- 中心をOとします。BG＝EHからGとHはOを中心に対応する位置にあり、G・O・Hは一直線です。BC＝BO、DC＝DOなのでBDはCOの垂直二等分線。IはBD上だからIC＝IOです。
- GI：IO＝2：3です。BGとDOが平行なのでBGIとDOIは相似で、BG：DO＝BI：ID＝2：3です。DO＝BCよりBG/BC＝2/3、BI/BD＝2/5です。
- BCDの面積10/6に2/3と2/5を掛け、BGI＝10/6×2/3×2/5＝4/9cm²です。
間違えやすい点：GIとICは一直線上ではありません。ICをIOに置き換える理由が必要です。
(3)
答え：9/4（2と1/4）cm²
- BG＝2BC/3なのでEHも辺の2/3、FHは辺の1/3です。DOとFHが平行なためDOJとFHJは相似で、DJ：JF＝DO：FH＝3：1です。
- BDOとDFOの面積は共に正六角形の1/6、すなわち10/6cm²です。IDO＝10/6×3/5＝1cm²、DJO＝10/6×3/4＝5/4cm²です。
- I・O・Jは一直線なので、IDJ＝1＋5/4＝9/4cm²です。
間違えやすい点：ID：BDは3：5、DJ：DFは3：4です。別の全体に対する割合を混ぜません。
第4問｜立方体の展開図と向かい合う面
この大問で学ぶこと
番号の和だけで選ばず、反対の面を確かめる
和12の数字を4つ選んでも、それらが反対の面になるとは限りません。6面が重ならず立方体になることを確認した後、反対の3組を記録して調べます。
解くときの着眼点：面のつながりと、折った後の位置を分けます。
(1)
答え：②・④・⑤・⑥
- ①は一直線に5面つながっており、折ると同じ側面に重なります。③も順に折ると2面が同じ位置になってしまいます。
- ②・④・⑤・⑥は6面がそれぞれ別の向きに配置され、立方体になります。
間違えやすい点：辺でつながる6個の正方形が、必ず立方体になるわけではありません。
(2)ア
答え：例：(2,5,6,7,10,14)、(3,5,6,7,8,9)、(1,2,6,10,11,14)
- 1つ目の反対の組は(2,10)・(5,7)・(6,14)。最初の2組の和が12です。
- 2つ目は(3,9)・(5,7)・(6,8)、3つ目は(1,11)・(2,10)・(6,14)です。いずれも2組だけ和が12です。
間違えやすい点：例に使われた(2,5,6,7,8,10)以外を3つ答えます。
(2)イ
答え：10通り
- 和12となる異なる数の組は(1,11)・(2,10)・(3,9)・(4,8)・(5,7)です。このうち2組を反対の面にできる配置を調べます。
- 候補ごとに、6マスが辺でつながるか、折ると面が重ならないかを確認します。
- 条件を満たす全候補は下表の10通りです。同じ6マスをたどる順序が違っても1通りと数えます。
| 使う6個の番号 | 和12になる反対の2組 | 残る反対の1組 |
|---|---|---|
| 1,2,6,10,11,14 | 1＋11／2＋10 | 6と14 |
| 1,2,6,10,11,15 | 1＋11／2＋10 | 6と15 |
| 1,5,6,7,8,11 | 1＋11／5＋7 | 6と8 |
| 1,5,6,7,11,12 | 1＋11／5＋7 | 6と12 |
| 2,3,6,9,10,13 | 2＋10／3＋9 | 6と13 |
| 2,3,6,9,10,14 | 2＋10／3＋9 | 6と14 |
| 2,5,6,7,8,10 | 2＋10／5＋7 | 6と8 |
| 2,5,6,7,10,14 | 2＋10／5＋7 | 6と14 |
| 3,4,5,6,7,9 | 3＋9／5＋7 | 4と6 |
| 3,5,6,7,8,9 | 3＋9／5＋7 | 6と8 |
間違えやすい点：番号の組み合わせだけでなく、4×4の元の位置で辺がつながっている必要があります。
(2)ウ
答え：(1,2,6,10,11,15)
- 全候補の表を見ると、最大の数が15となるのは(1,2,6,10,11,15)です。
- 反対の組は(1,11)・(2,10)・(6,15)で、前の2組の和は12。16を含められる合法な候補はありません。
間違えやすい点：最大の数だけを答えず、使う6個の番号を小さい順に書きます。
解き直しの進め方
速さの逆比、休憩を除いた時間、図に補った中心、反対の面の組を説明できるように解き直します。場合の数は「全部を調べた根拠」も答案に残しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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