2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2020 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
海城中学校・2020年度 第1回 算数
全6大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。計算・濃度・角の二等分と等積、異なるカードで作る3桁の整数、三等分点と交点の面積、50mプールでのすれ違い、1日8時間・1時間40分の時計、傾けた容器と3点を通る水面を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜計算・濃度・角の二等分と等積
この大問で学ぶこと
図の共通部分を外し、必要な量だけを求める
割合は元の全体を確認し、等積の図形は共通部分を足して見通しのよい形へ戻します。角の二等分は半分の角に名前を付けましょう。
解くときの着眼点：分数、食塩の量、同じ面積を比べます。
(1)
答え：5
- かっこの前半は(3－2/5)÷3と1/3＝13/5×3/10＝39/50です。
- 後半は1/2×7/8÷25/16＝7/25＝14/50。合計53/50です。
- 5と3/10÷53/50＝53/10×50/53＝5です。
間違えやすい点：帯分数を仮分数へ直してから割り算をします。
(2)
答え：30g
- 食塩水2種類は合計100－10＝90g。全て20％なら食塩18gですが、必要なのは15gです。
- 20％を10％へ1g置き換えると食塩が0.1g減るので、10％の量は(18－15)÷0.1＝30gです。
間違えやすい点：水10gには食塩がなく、2種類の食塩水は合計90gです。
(3)
答え：76度
- 底の左右の半分の角をx・yとします。内部の三角形からx＋y＝180－128＝52度です。
- 外側の三角形の底角の和は2x＋2y＝104度なので、ア＝180－104＝76度です。
間違えやすい点：128度が外側の三角形の内角ではありません。
(4)
答え：4/9
- 赤5、白3とすると、赤の残りは5×1/3＝5/3です。
- 白も5/3残るので、取り除いたのは3－5/3＝4/3。白全体に対する割合は4/3÷3＝4/9です。
間違えやすい点：赤と白で元の全体の個数が異なります。
(5)
答え：0.86cm
- アとイに共通の白い部分を足すと、四角形ABPDと扇形ADCの面積が等しくなります。
- 扇形は2²×3.14÷4＝3.14cm²。四角形ABPDは正方形4cm²から三角形DPCを引いた形です。
- 三角形DPCの面積はPC×2÷2＝PCなので、PC＝4－3.14＝0.86cmです。
間違えやすい点：扇形の面積を正方形全体と比較せず、四角形ABPDと比べます。
第2問｜異なるカードで作る3桁の整数
この大問で学ぶこと
全部を書かずに、順位と倍数の条件を数える
同じカードは再使用できません。3の倍数は各桁の和で判定し、余りが異なる3種類から1枚ずつ選ぶと整理できます。
解くときの着眼点：百の位・十の位で、大きい順のまとまりを作ります。
(1)
答え：120個
- 百の位は6択、十の位は残り5択、一の位は残り4択です。
- 6×5×4＝120個です。
間違えやすい点：同じ数字を2回使う数は作れません。
(2)
答え：435
- 百の位が6と5の数は各20個で、ここまで40個。50番目は百の位4の10番目です。
- 十の位を6・5とする数が各4個なので8個。その次の十の位3の並びは436、435、432、431です。
- 2番目の435が全体の50番目です。
間違えやすい点：50番目から前の40個を引き、残り10番目を調べます。
(3)
答え：48個
- 3で割った余りで{3,6}、{1,4}、{2,5}に分けます。和が3の倍数になる3枚は、各組から1枚ずつ選びます。
- 選ぶ方法は2×2×2＝8通り、各組の並べ方は3×2×1＝6通りです。
- 8×6＝48個です。
間違えやすい点：同じ余り3枚という場合は、各組2枚しかないのでありません。
第3問｜三等分点と交点の面積
この大問で学ぶこと
小さい三角形を基準に、残る四角形を引き算する
EHはBCに平行、EF・DG・ACも平行です。点の三等分からPとQの中点関係、SとRの相似関係を順に求めます。
解くときの着眼点：平行線で中点と1：2の相似を作ります。
(1)
答え：2/9倍
- EHはBCの2/3、FからEHまでの高さはAからBCまでの高さの1/3です。
- 三角形HEFの面積は全体の2/3×1/3＝2/9倍です。
間違えやすい点：底辺と高さが両方変わるので、2つの割合を掛けます。
(2)
答え：2/27倍
- HはICの中点、HSとGCは平行なので、SはIGの中点でHS＝GC/2です。GC＝FGだからHS：FG＝1：2です。
- RSHとRGFは相似なのでHR：RF＝1：2。したがってFR/FH＝2/3です。
- HFGは全体のFG/BC×高さの比＝1/3×1/3＝1/9。RFGはその2/3で2/27倍です。
間違えやすい点：HR：RFを求めた後、面積へ使うのはFR：FH＝2：3です。
(3)
答え：1/27倍
- EはBDの中点でEPはBGに平行なのでEP＝BG/2＝BC/3です。EH＝2BC/3よりPはEHの中点。PQとEFが平行なのでQはFHの中点です。
- PHFはHEFの1/2で全体の1/9。PQFはPHFの1/2で1/18です。
- RSHとRFGの相似比は1：2なのでRSHはRFGの1/4、全体の1/54です。
- 四角形PQRS＝PHF－PQF－RSH＝1/9－1/18－1/54＝1/27倍です。
間違えやすい点：引くのはPQFとRSHの2つです。交点の小さな図形だけを直接比べる必要はありません。
第4問｜50mプールでのすれ違い
この大問で学ぶこと
出会いの間隔と、速さの比をつなぐ
同じ側から出発し、最初のすれ違いまでの合計距離は100mです。次のすれ違いまでに増える合計も100m。最後はBだけ速さが変わります。
解くときの着眼点：折り返しを含む2人の合計距離を使います。
(1)
答え：40秒後
- 最初のすれ違いまで、2人の合計距離は50mの往復分100mです。
- そこから双方が1回ずつターンして次に会うまでにも、合計100m進みます。40秒で100mなので合計の速さは毎秒2.5mです。
- 最初に会うまでも100÷2.5＝40秒です。
間違えやすい点：同じ側から出発しているため、初回の合計距離は50mではありません。
(2)
答え：10分20秒
- Aが800m進む間にBは750mなので、速さはA：B＝16：15です。
- Aの速さは2.5×16/31＝40/31m/秒。800÷40/31＝620秒です。
- 620秒＝10分20秒です。
間違えやすい点：50mの片道の速さではなく、一定の速さで泳いだ道のり全体から比を求めます。
(3)
答え：11分22秒
- Bの元の速さは2.5×15/31＝75/62m/秒。最後はその2/3で25/31m/秒です。
- 最後の50mは50÷25/31＝62秒かかります。
- 750mの時点は620秒なので、620＋62＝682秒＝11分22秒です。
間違えやすい点：最後の50mを元の速さのまま計算しません。
第5問｜1日8時間・1時間40分の時計
この大問で学ぶこと
ふだんの時計の公式を使わず、相対角を追う
長針は40分で1周、短針は320分で1周します。地球の時計と速さが違うので、1分6度・0.5度という数値は使えません。
解くときの着眼点：この星の1分に進む角度から求め直します。
(1)
答え：117度
- 長針は毎分360÷40＝9度、短針は毎分360÷320＝9/8度です。
- 3時32分の長針は288度、短針は(3×40＋32)×9/8＝171度です。
- 差288－171＝117度で、180度より小さいので117度です。
間違えやすい点：3時を180分に直さず、この星の120分に直します。
(2)
答え：14回
- 2本の相対速度は9－9/8＝63/8度/分です。
- 1日320分で相対角は2520度＝7周変わり、1周ごとに90度・270度の2回直角になります。
- 7×2＝14回です。
間違えやすい点：1時間に必ず2回として8倍すると、端の時刻で重複します。
(3)
答え：208/9（23と1/9）分後
- 4時16分では長針144度、短針(4×40＋16)×9/8＝198度で、長針が54度遅れています。
- これから長針が追いつき、その後128度先行するまで182度の差を縮めます。
- 182÷63/8＝1456/63＝208/9分後です。
間違えやすい点：今から角の差は一度0へ縮まります。128－54だけを割ってはいけません。
第6問｜傾けた容器と3点を通る水面
この大問で学ぶこと
容器の高さではなく、水の断面を取り出す
同じ容器でも、水面が通る3点が変わると三角柱や三角すい台になります。外へ延長した相似な三角すいを使うと複雑な断面を整理できます。
解くときの着眼点：水面を含む平面を延長して立体を見やすくします。
(1)
答え：168cm³
- B・C・Hを通る水面は、左側面ではBとEを結びます。水の左側の断面FBEは底辺FE＝7cm・高さFB＝8cmの直角三角形で、幅6cmの三角柱になります。
- 体積は7×8÷2×6＝168cm³です。
間違えやすい点：元の容器全体の平均の高さ9cmを掛ける問題ではありません。
(2)
答え：210cm³
- 水面ABGは、底面に垂直な4辺上でFから8cm、Gから0cm、Hから2cm、Eから10cmの高さにあります。
- まず前側の高さ8→0の三角柱を考えると168cm³。その上に、前から奥へ高さ0→2cmと増える三角柱42cm³が加わります。
- 168＋6×7×2÷2＝210cm³です。
間違えやすい点：Gで水面が底へ達しても、H側には高さ2cmの水が残ります。
(3)
答え：170.8cm³
- ABの直線とEFの延長の交点をTとします。前後7cmで高さが8→10cmと2cm増えるので、Bから高さ0まで戻るには7×8/2＝28cm、Tから奥の面までは35cmです。
- 水面と底面の交線を前面でLとします。奥の水の断面EAHと前のFBLは相似で、高さ8：10＝4：5。FL＝6×4/5＝4.8cmです。
- 水は大きい三角すいT-EAHから小さい三角すいT-FBLを除いた形です。
- 体積は(6×10÷2)×35÷3－(4.8×8÷2)×28÷3＝350－179.2＝170.8cm³です。
間違えやすい点：Tは容器の外にある補助点です。延長して作った小さい三角すいを引き忘れないようにします。
解き直しの進め方
カードは順位の区切り、交点は中点と相似、時計は1分の角度、容器は水面を延長した立体を自分で作り直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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