2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2018 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
海城中学校・2018年度 第1回 算数
全6大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。分数・過不足・カード交換・面積比、忘れ物を取りに戻る速さ、約数の和と逆数の和、半径比2：1の円の内転がり、橋の再利用禁止と動く障害物、2枚の切断面と共通部分を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜分数・過不足・カード交換・面積比
この大問で学ぶこと
交換で戻るカードと、三角形の高さに注目する
交換でもらったお菓子にもカードが入ります。図形は共通の底辺や高さを使い、複雑な四角形を三角形へ分けます。
解くときの着眼点：同じ量にそろえて差を比べます。
(1)
答え：14と4/9
- 7.5－2と1/2＝5。0.625＝5/8、0.1875＝3/16です。
- 5/8×5×16/3－20/9＝50/3－20/9＝130/9です。
間違えやすい点：小数を分数にすると約分できます。
(2)
答え：8人
- 1人分の差は16－12＝4個、全体の差は8＋24＝32個です。
- 32÷4＝8人です。
間違えやすい点：アメは16×8－8＝120個、12×8＋24＝120個です。
(3)①
答え：46個
- 400円で40個買います。カード40枚で5個と交換し、残り5枚に新しい5枚が加わります。
- 10枚でさらに1個交換するとカード4枚で終了。合計40＋5＋1＝46個です。
間違えやすい点：7枚渡して1枚戻るので、交換1回でカードは6枚減ります。
(3)②
答え：930円
- n個買うと、交換できる回数は(n－1)を6で割った商です。
- 93個なら15回交換できて108個。92個では15回交換して107個です。
- 最少は93×10＝930円です。
間違えやすい点：最後まで交換した後にも1～6枚のカードが残ります。
(4)①
答え：3：2
- 三角形ABPとACPは、AからAEへの高さの関係を使うとB・CからAEまでの距離の比になります。
- その比はBE：EC＝3：2です。
間違えやすい点：共通の底辺APに対する高さを比べます。
(4)②
答え：105：32
- ABCの面積を1とします。AD：DB＝1：2よりCDで分ける面積を使うと、PからBCへの高さはAの4/9です。
- またAF：FC＝3：4、BP：PF＝7：2となります。
- PCF＝(4/7)×(2/9)＝8/63、PCE＝(2/5)×(4/9)＝8/45。合計32/105なので、ABC：PECF＝105：32です。
間違えやすい点：高さ4/9は、BPCの面積をABCの4/9として求められます。
第2問｜忘れ物を取りに戻る速さ
この大問で学ぶこと
同時到着から出発時刻の差へ戻る
戻った分を片道へ足し、2人が同じ時刻に着く条件を使います。すれ違いは花子さんが折り返す時刻を先に確定します。
解くときの着眼点：花子さんの総距離は道のりの5/3です。
(1)
答え：5040m
- 道のりをDとすると、花子さんはD＋2D/3＝5D/3を進み、時間はD/72分です。
- 一郎君は14分遅れて出発しD/90分歩くので、D/72－D/90＝14。
- D/360＝14より5040mです。
間違えやすい点：花子さんがAへ戻る時間を0分とみなさないようにします。
(2)
答え：8分
- 花子さんが最初に折り返すのは5040÷3÷120＝14分後で、一郎君の出発と同時です。
- そのとき2人の間は1680m。向かい合うので速さの和は210m/分です。
- 1680÷210＝8分です。
間違えやすい点：一郎君の出発からの時間を答えます。
第3問｜約数の和と逆数の和
この大問で学ぶこと
逆数の和は約数の和を元の数で割る
dが約数ならX÷dも約数です。全約数をXで割った列は、逆数の列を逆順にしたものになります。
解くときの着眼点：約数を対にすると関係が見えます。
(1)
答え：7/3（2と1/3）
- 12の約数は1・2・3・4・6・12です。
- 逆数の和は(12＋6＋4＋3＋2＋1)/12＝28/12＝7/3です。
間違えやすい点：約数の和28を12で割る方法も使えます。
(2)
答え：2016
- 約数の和÷X＝逆数の和より、6552÷X＝13/4です。
- X＝6552×4÷13＝2016です。
間違えやすい点：元の数も約数に含めます。
(3)
答え：60
- 約数の正しい和は108＋Yです。逆数の和は14/5なので、(108＋Y)/Y＝14/5。
- 108/Y＝9/5よりY＝60です。
間違えやすい点：60の約数の和168、逆数の和168/60＝14/5で確認できます。
第4問｜半径比2：1の円の内転がり
この大問で学ぶこと
点Bは大きな円の直径上を往復する
大円の中心角θに対して、小円の接した弧の中心角は2θです。中心を結ぶ線の向きも変わるので、点の位置を接点から測ります。
解くときの着眼点：接した弧の長さが等しくなります。
(1)
答え：BはQC上、AはQPを延長した大円上の点
- 中心Qから現在の接点へ向かう線はQCから45度です。
- 接した弧は小円では90度なので、Bは小円の右下側、直線QCとの交点になります。
- AはBから小円上を90度進んだ位置で、QPの延長と大円の交点です。
間違えやすい点：Pを中心とする円の右上にA、右下にBを記入します。
(2)
答え：60度
- 大円側の中心角60度に対し、接した弧の小円側の角は120度です。
- 接点・P・Qは一直線なので、∠BPQ＝180－120＝60度です。
間違えやすい点：大円と小円の半径の比2：1を角に反映します。
(3)
答え：8cm
- 半径比2：1の内転がりでは、Bは直線QC上から反対側の直径端へ進み、元へ戻ります。
- 直径4cmを往復するので4×2＝8cmです。
間違えやすい点：円周の長さを求める問題ではありません。
第5問｜橋の再利用禁止と動く障害物
この大問で学ぶこと
経路ごとの使用橋と、通過時刻を記録する
最短経路の総数だけでは解けません。橋の条件は行きと帰りの共通部分、魔王の条件は進んだ道の本数の4で割った余りで判断します。
解くときの着眼点：行きと帰りの条件を組にして数えます。
(1)
答え：950通り
- 城から姫までは東4・北3の7歩で、行きの経路は35通りです。帰りも35通りです。
- 各経路について、5本の橋のうち通った橋を記録します。帰りは同じ橋を1本も含まない経路だけを数えます。
- 35本の行き経路ごとに帰りの候補を加算すると950通りです。
間違えやすい点：橋を通る順序まで含む経路を区別し、35×35から条件違反の組を除きます。
(2)
答え：735通り
- 行きは東5・北4の9歩です。7歩後のBと8歩後のAを避ける必要があります。
- 行きの候補126通りから、Bを通る70通りとAを通る70通りを引き、両方通る35通りを戻すと21通りです。
- 帰りは最初の2歩を西・西にする必要があり、残る西3・南4の並べ方は35通り。21×35＝735通りです。
間違えやすい点：時刻は姫の所でリセットせず、往復を通して数えます。
第6問｜2枚の切断面と共通部分
この大問で学ぶこと
上面の面積比から辺を求め、包除で体積を出す
切り落とす2つの立体を別々に引くと、重なりを2回引いてしまいます。共通部分は上面の三角形PBMを底面にする三角すいです。
解くときの着眼点：取り除く立体の重なりを戻します。
(1)
答え：12cm
- 上面を1辺1の正方形とみると、M・Nは中点で、直線AMとBNの交点PはBCから1/5の高さです。
- BMは1/2なので、PBMは上面の1/20。上面は7.2×20＝144cm²です。
- 1辺は12cmです。
間違えやすい点：BP：PN＝2：3、AP：PM＝4：1も同時に分かります。
(2)
答え：1449.6cm³
- 2枚の平面で切り落とす部分は、それぞれ体積が立方体の1/12、つまり144cm³です。
- 重なりは底面積7.2cm²、高さ4cmの三角すいなので9.6cm³です。高さ4cmは、前面で2本の切断線が下から8cmの位置で交わることから求めます。
- 12³－144－144＋9.6＝1449.6cm³です。
間違えやすい点：切り落とす一方は底辺6cm・高さ12cmの三角形を底面、高さ12cmとするすい体です。
解き直しの進め方
交換の繰り返し、経路と時刻、切断で引いた部分の重なりを説明し直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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