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開智中学校2024年第1回 算数全問解説｜池と橋・正方形の交点・数字の数え方

2026年10月27日

SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW

答えの先に、解ける理由を。

開智中学校・2024年度 第1回入試 算数

全4大問を解説します。小問の条件整理から、池と橋を進む兄弟、正方形の交点を使う面積比、数字2を2個以上含む数の分類まで、考え方と検算を確認します。

このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。

第1問｜逆算・比・濃度・整数・等積分割

この大問で学ぶこと

小問の条件を、共通する量へ直す

割合は同じ人数、混合は食塩の量、余りは足りない個数に注目します。面積が等しい三角形は、共通の高さを使って底辺の比へ移せます。

解き直しの到達点途中で使う比の全体と、答える量を区別できるか。

解くときの着眼点：同じ量を基準にし、0や余りの条件を使います。

(1)

答え：40

  1. 2と2/3＝8/3 なので、かっこの中は、
  2. 2/5÷8/3＝2/5×3/8＝3/20
  3. です。したがって、□の逆数は、
  4. 3/20－1/8＝6/40－5/40＝1/40
  5. なので、□は40です。

間違えやすい点：かっこ全体を逆算してから、逆数を求めます。

(2)

答え：135人

  1. 男子の 5/8 と女子の 2/3 が同じ人数です。男子を16部分、女子を15部分とすると、男子の 5/8 は10部分、女子の 2/3 も10部分になり、条件に合います。したがって、
  2. 男子：女子＝16：15
  3. 全部で279人だから、1こ分は、
  4. 279÷(16＋15)＝279÷31＝9人
  5. 女子は15こ分なので、
  6. 9×15＝135人

間違えやすい点：等しい人数に当たる割合をそろえます。

(3)

答え：A：D＝35：64

  1. 連続する比は、間の文字をそろえてかけ合わせると簡単です。
  2. A:D＝A/B×B/C×C/D
  3. ＝3/4×5/6×7/8
  4. ＝105/192＝35/64

間違えやすい点：連続する比を掛けた後、最も簡単な整数比へ直します。

(4)

答え：5.2％

  1. まず、食塩水Cの濃度を求めます。AとBを3:2で混ぜるので、濃度の加重平均は、
  2. (9×3＋4×2)÷(3＋2)
  3. ＝(27＋8)÷5＝35÷5＝7%
  4. です。次に、BとCを3:2で混ぜます。
  5. (4×3＋7×2)÷(3＋2)
  6. ＝(12＋14)÷5＝26÷5＝5.2%
  7. 計算の工夫： 混ぜる量を比の数そのもの、つまり3gと2gと考えると、食塩の量をそのまま足せます。

間違えやすい点：Cの濃度を先に求め、次の混合へ使います。

(5)

答え：36通り

  1. 5の倍数は一の位が0か5です。
  2. 一の位が0のとき、百の位は1～5から5通り、十の位は残り4通りです。
  3. 5×4＝20通り
  4. 一の位が5のとき、百の位は0にできないので1～4の4通り、十の位は残った4枚から選べます。
  5. 4×4＝16通り
  6. 合計は、
  7. 20＋16＝36通り

間違えやすい点：百の位に0を使えない条件を、場合ごとに確認します。

(6)

答え：103個

  1. りんごの個数をN個とします。3人で分けると1個、5人で分けると3個、7人で分けると5個余ります。どれも「あと2個あれば割り切れる」ので、N＋2 は3、5、7すべての倍数です。
  2. 3×5×7＝105
  3. 200より小さくなる候補は、
  4. 105－2＝103
  5. 次は 210－2＝208 で200を超えます。
  6. 確認すると、103÷3＝34あまり1、103÷5＝20あまり3、103÷7＝14あまり5 です。

間違えやすい点：それぞれ余りが2足りないことに注目します。

(7)

答え：30個

  1. 1個の仕入れ値を100円とすると、定価は30%の利益を見こんで、
  2. 100×1.3＝130円
  3. です。2日目は定価の3割引きなので、1個の売値は、
  4. 130×0.7＝91円
  5. です。全130個を定価130円で売ると売上は、
  6. 130円×130個＝16900円
  7. 利益も損失もない売上は仕入れ総額の 100円×130個＝13000円 なので、2日目に値下げしたことで減った売上は、
  8. 16900円－13000円＝3900円
  9. です。1個を130円から91円へ下げると 130円－91円＝39円 減るので、2日目に売った個数は、
  10. 3900円÷39円＝100個
  11. したがって1日目に売った個数は、
  12. 130個－100個＝30個

間違えやすい点：値下げして売った個数ではなく、1日目に売った個数です。

(8)

答え：BD：EC＝9：16

  1. BC上で中央の分割線が着く点をX、右側でX・Eへ線を引いているAC上の頂点をRと呼びます。三角形ABXは小三角形3個分、AXCは4個分なので、BX：XC＝3：4です。
  2. 左側の2つの等積三角形は同じ高さなのでBD＝DX。よってBDはBCの3/14です。
  3. 右側の三角形RXEは1個分、RECは2個分で、XE：EC＝1：2。したがってECはBCの4/7×2/3＝8/21です。
  4. BD：EC＝3/14：8/21＝9：16です。

間違えやすい点：同じ高さの三角形で、面積比を底辺比へ直します。

第2問｜池と橋を進む兄弟の速さ

この大問で学ぶこと

同じ時刻の道のりで、2人をつなぐ

往復のすれ違いから速さの比を求め、2回目の到着までの全道のりへ使います。追い抜きでは、2人が同じ向きに進む橋へ入った時点の差を確認します。

解き直しの到達点各区間の道のりと、同じ道を走る時間帯を説明できるか。

解くときの着眼点：橋では同じ道、外周では別の道を進むことを区別します。

(1)

答え：8：7

  1. 橋は1200mです。弟はBまであと80mの所で兄とすれ違ったので、弟が進んだ距離は、
  2. 1200－80＝1120m
  3. 兄はBまで1200m進み、折り返して80m戻ったので、
  4. 1200＋80＝1280m
  5. 同じ時間に進んだ距離の比が速さの比です。
  6. 兄:弟＝1280:1120＝8:7

間違えやすい点：同じ時刻までに進んだ全道のりを比べます。

(2)

答え：1920m

  1. 弟が池の周りをAからBまで進む時間は、橋を渡る時間の1.6倍です。速さは同じなので、距離も1.6倍です。
  2. 1200×1.6＝1920m

間違えやすい点：弟の速さは同じなので、時間の1.6倍は距離の1.6倍です。

(3)

答え：4200m

  1. 弟が2回目にBへ着くまでの道のりは、
  2. 1920＋1200＋1920＝5040m
  3. です。到着時刻が同じで、速さの比が兄：弟＝8：7なので、兄が進んだ道のりは、
  4. 5040m÷7×8＝5760m
  5. です。この5760mは、兄が池側を2回と橋1200mを1回進んだ合計です。池側2回分は、
  6. 5760m－1200m＝4560m
  7. 1回分は、
  8. 4560m÷2＝2280m
  9. 池の周り全体は兄側と弟側の道を足して、
  10. 2280＋1920＝4200m

間違えやすい点：2回目のB到着までには、橋を1回通ります。

(4)

答え：Bから600m

  1. 速さを兄8、弟7に比例する単位で表します。兄が最初にBへ着くまでの時間は2280÷8＝285、弟は1920÷7＝274と2/7です。これは比を使う仮の時間単位で、実際の分数ではありません。
  2. 兄がBへ来たとき、弟は橋を7×(285－1920/7)＝75m進んでいます。橋では同じ向きなので、近づく速さは8－7＝1です。
  3. 追いつく時間は仮の単位で75。兄がその間に橋を進む距離は8×75＝600mなので、Bから600mの地点です。1200mの橋の中で追いつける条件にも合います。

間違えやすい点：池の外周では別の道を進むため、追い抜きは共通の橋で考えます。

第3問｜正方形の交点と面積比

この大問で学ぶこと

交点の位置を、面積へつなげる

2本の線の横・縦の比を使うと、交点までの割合を決められます。その割合を底辺や高さへ移せば、正方形に対する面積比から実際の1辺を求められます。

解き直しの到達点Pの横と縦の位置を示し、面積比を組み立てられるか。

解くときの着眼点：横と縦の移動をそろえ、Pの位置を比で求めます。

(1)

答え：12：13

  1. 正方形の1辺を100部分とします。DMは左へ75・下へ100、ANは右へ100・下へ75の向きです。
  2. Pまで下がる長さを12にそろえると、D側は左へ9、A側は右へ16進み、横の合計25になります。正方形の横100へ合わせるため4倍すると、Pまで下がる長さは48です。
  3. DPはDMの48/100＝12/25なので、残りPMは13/25。DP：PM＝12：13です。

間違えやすい点：Pまで下がる割合と、DM全体の割合をそろえます。

(2)

答え：16：9

  1. 同じ計算でAからPまで横へ進むのは16×4＝64部分です。AN全体の横は100部分なので、APはANの64/100＝16/25です。
  2. 残りPNは9/25なので、AP：PN＝16：9です。

間違えやすい点：AからPまで横へ進む割合は、AN全体でも同じ割合です。

(3)

答え：20/3cm（6と2/3cm）

  1. 正方形の1辺を4部分として考えます。DNは縦の辺4部分のうち3部分です。前問より、DPはDMの 12/25 です。DMは横に3部分、縦に4部分進む線なので、DからPまでの横の移動は、
  2. 3×12/25＝36/25
  3. 部分です。これはPから辺CDまでの水平な高さです。したがって、三角形DPNの面積は、
  4. 3×36/25÷2＝54/25
  5. 正方形の面積16に対する割合は、
  6. 54/25÷16＝27/200
  7. です。実際の三角形DPNが6cm²なので、正方形の面積は、
  8. 6÷27/200＝6×200/27＝400/9cm²
  9. 1辺ABは、
  10. (20/3)²＝400/9より20/3＝6と2/3cm

間違えやすい点：求めた面積比は、長さの比とは異なります。

(4)

答え：20cm

  1. 1辺4部分の図で考えます。前問と同じように、Pから辺ABまでの水平な距離は 64/25 部分、Pから辺BCまでの高さは 52/25 部分です。四角形ABMPを、三角形ABPと三角形BMPに分けます。
  2. 三角形ABPの面積は、
  3. AB 4×64/25÷2＝128/25
  4. 三角形BMPの面積は、
  5. BM 1×52/25÷2＝26/25
  6. です。したがって四角形ABMPの面積は、
  7. 128/25＋26/25＝154/25
  8. です。正方形全体16に対する割合は、
  9. 154/25÷16＝77/200
  10. 実際の四角形ABMPが154cm²なので、正方形の面積は、
  11. 154÷77/200＝154×200/77＝400cm²
  12. よって1辺は、
  13. 20×20＝400より20cm

間違えやすい点：四角形はABPとBMPの2つに分けます。

第4問｜数字2を2個以上含む数

この大問で学ぶこと

数える対象を、分類ごとに変える

並びの順番、全体の個数、3の倍数、数字の使用回数は、それぞれ違う数え方です。同じ候補集合を保ちながら、何を数えているかを切り替えることが大切です。

解き直しの到達点重複と漏れを確認し、数の個数と数字の出現回数を区別できるか。

解くときの着眼点：けた数と、2以外の数字の位置で分類します。

(1)

答え：15番目：232、30番目：1122

  1. 初めから30個を、10個ずつ区切って並べます。
  2. 1～10番目：22, 122, 202, 212, 220, 221, 222, 223, 224, 225
  3. 11～20番目：226, 227, 228, 229, 232, 242, 252, 262, 272, 282
  4. 21～30番目：292, 322, 422, 522, 622, 722, 822, 922, 1022, 1122
  5. 15番目は、最初の10個の次の5個目なので、
  6. 15－10＝5番目 → 232
  7. 30番目は、20個の次の10個目なので、
  8. 30－20＝10番目 → 1122

間違えやすい点：重複しやすい220～229を連続して並べて確認します。

(2)

答え：63番目

  1. 2024までを、けた数ごとに数えます。
  2. 2けたは 22 の1個です。
  3. 3けたは、百の位が2で十・一の位のどちらかにも2があるものが、
  4. 10＋10－1＝19個
  5. 百の位が2以外で下2けたが22のものが8個なので、
  6. 19＋8＝27個
  7. です。
  8. 1000～1999では、下3けたのうちちょうど2個が2のものが、
  9. 3×9＝27個
  10. 下3けたすべてが2のものが1個なので、28個です。
  11. 2000～2024では、2002, 2012, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024 の7個です。
  12. 合計は、
  13. 1＋27＋28＋7＝63個
  14. 2024は最後なので63番目です。

間違えやすい点：222など、2が3個ある数を重複して数えません。

(3)

答え：17個

  1. 各位の数字の和が3の倍数なら、その数も3の倍数です。2が2個ならその和は4なので、他の数字の和が3で割って2余る場合を探します。2が3個ある222なども別に確認します。
  2. 該当するのは222、225、228、252、282、522、822、1122、1212、1221、1224、1227、1242、1272、1422、1722、2022です。
  3. 重複を除いて17個です。

間違えやすい点：2が2個あるだけでは3の倍数と決まりません。

(4)

答え：数字1、36回

  1. 数字1が使われる回数を、けた数ごとに数えます。
  2. 3けたでは、122, 212, 221 に1回ずつあるので3回です。
  3. 1000～1999の28個では、千の位に必ず1があるので28回です。さらに 1122, 1212, 1221 にはもう1個ずつ1があるので、
  4. 28＋3＝31回
  5. です。
  6. 2000～2024では、2012, 2021 に1回ずつあるので2回です。
  7. 合計は、
  8. 3＋31＋2＝36回
  9. です。ほかの数字の使用回数も同じ分類で数えると、0は14回、3と4は各7回、5～9は各6回で、1の36回が2に次いで多いと確認できます。

間違えやすい点：数の個数でなく、各けたに使われた回数を数えます。

解き直しの進め方

速さは同じ時間までに進む全道のりで比べます。正方形の交点は横・縦の比を図へ書き込み、面積へ移す過程を説明しましょう。数字の問題は、候補の数と数字の出現回数を別の表で整理して解き直します。

段階取り組むこと確認すること
1｜原因を分ける間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分けるどこで手が止まったかを言葉にする
2｜解説を閉じる自分で図や式を作り直す同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか
3｜時間を空ける日を改め、類題と合わせて再挑戦する条件が変わっても使える考え方になったか

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記事カテゴリ： 中学校別対策開智中学校対策

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