2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
開智中学校・2023年度 先端A 算数
全4大問を解説します。小問集合の複数条件、列車の相対速度と速度変更、回転の通過面積、数字を含む整数の個数と和を整理します。
第1問｜逆算・濃度・追いつき・場合の数
この大問で学ぶこと
1つの条件だけで答えを決めない
最大公約数と最小公倍数、6の倍数、出発時刻が違う追いつきなど、複数条件を組み合わせる小問が並びます。何を共通の基準にすれば比べられるかを先に決めましょう。
解くときの着眼点：基準となる量と、同時に満たす条件を整理します。
(1)
答え：13/14
- 外側から逆算すると、0.65÷1/5＝13/4、13/4－5/2＝3/4です。
- □－3/7＝3/4×2/3＝1/2なので、□＝1/2＋3/7＝13/14です。
間違えやすい点：2で割る・3をかけるのように分けず、2/3を1つの分数として戻します。
(2)
答え：240g
- AとBを4：1で混ぜた濃度は(10×4＋20)÷5＝12％です。
- 12％と18％で16％を作るので、量の比は(18－16)：(16－12)＝1：2。Cは360×2/3＝240gです。
間違えやすい点：AとBを別々に追い続けるより、先に混合液の12％を確定します。
(3)
答え：4080円
- 4個少なく買って使わなくなった予定額は120×4＝480円。30円余るので、値上がり分に使ったのは450円です。
- 1個の値上がり15円より、実際は450÷15＝30個。予定は34個で、120×34＝4080円です。
間違えやすい点：値上がり分を掛ける個数は、実際に買った30個です。
(4)
答え：90
- 24と36の最大公約数は12、最小公倍数は72です。3番目の数には、最大公約数を6にするため2を1個、3を少なくとも1個含めます。
- 最小公倍数360＝2³×3²×5にするため5も必要です。候補は2×3×5＝30と2×3²×5＝90です。
- 小さい順で36より後に並ぶので90だけが残ります。
間違えやすい点：公約数・公倍数の条件だけでは30も残るため、大小の条件まで使います。
(5)
答え：3時24分
- Aの速さを1とすると、3時までにAは2時間、Bは1時間進むのでBの速さは2です。4時にBは4、Cは1.5時間進んで同じ位置なので、Cの速さは8/3です。
- 2時30分時点のAの先行距離は1.5、Cとの速さの差は5/3です。追いつくまで1.5÷5/3＝0.9時間＝54分です。
- 2時30分＋54分＝3時24分です。
間違えやすい点：CがBに追いつく4時が、CとAの追いつき時刻ではありません。
(6)
答え：24通り
- 6の倍数は一の位が偶数で、3枚の和が3の倍数です。余り別に{3,6}、{1,4}、{2,5}へ分けると、各組から1枚ずつ取る必要があります。
- 一の位に使う偶数2・4・6は、それぞれ他の2組から2×2＝4通りの選び方があります。
- 偶数の選択3通り×他2枚の選択4通り×百十の並べ方2通り＝24通りです。
間違えやすい点：同じ余りのカードは各組2枚しかないため、3枚とも同じ余りの組み合わせはありません。
(7)
答え：3分45秒
- 2ゲートが60分で通した人数は1800＋150×60＝10800人。1ゲートは毎分10800÷60÷2＝90人通します。
- 7ゲートでは行列が毎分90×7－150＝480人減るので、1800÷480＝3.75分＝3分45秒です。
間違えやすい点：ゲート数を増やしても、毎分150人の追加は続きます。
(8)
答え：232.36cm³
- 上の円すい台は半径4・3cm、高さ2cm。辺を延長すると、大きい円すいは高さ8cm、小さい方は6cmです。下の円すい台では高さが16cmと12cmになります。
- 上下を合わせ、大きい円すいから小さい円すいを引くと、{4²×(8＋16)－3²×(6＋12)}×3.14÷3です。
- (384－162)×3.14÷3＝232.36cm³です。
間違えやすい点：上下で円すい台の高さは違いますが、半径の組は同じなので、対応する高さをまとめられます。
第2問｜列車の通過とトンネル内の速度変更
この大問で学ぶこと
同じ距離の時間比から、速さを決める
最初の2条件で速さの和と差を求め、普通と特急の比へ戻します。速度変更があるトンネルでは、先頭が入る時刻と最後尾が入る時刻を区別して区間を分けましょう。
解くときの着眼点：追い越しもすれ違いも、進む相対距離は2列車の長さの和です。
(1)
答え：普通：特急＝5：6
- 相対距離が同じなので、速さの和：差＝55：5＝11：1です。
- 特急は(11＋1)÷2＝6、普通は(11－1)÷2＝5です。
間違えやすい点：求める比の順序は普通：特急です。
(2)
答え：220/3（73と1/3）秒
- 特急の長さを1とすると普通は3/4。逆向きに5秒で通過する距離は7/4なので、速さの和は7/20です。
- 特急は和の6/11なので速さ21/110。トンネルAを完全に抜ける距離は13＋1＝14です。
- 14÷21/110＝220/3秒です。
間違えやすい点：トンネル長13だけでなく、特急自身の長さ1も加えます。
(3)
答え：7倍
- 特急の長さを1、普通の速さを5、特急本来の速さを6、トンネル長をxとします。特急は全体が入るまで1/5、中央のx－1を進む時間(x－1)/6、最後尾が出るまで1/5かかります。
- 普通は先頭が抜け始めるまでx/5です。よって2/5＋(x－1)/6＝x/5です。
- 両辺を30倍すると12＋5x－5＝6xなのでx＝7です。
間違えやすい点：特急が速く走るのは、車体全体がトンネル内にある中央区間だけです。
第3問｜線分・円・長方形の回転通過領域
この大問で学ぶこと
元の図形と、動いて通る図形を混同しない
線分が作る領域、円が外側を転がって通る領域、長方形全体の通過領域は別物です。扇形の足し引きと、最初からある面積を加える場面を区別しましょう。
解くときの着眼点：回転中心から近い点・遠い点と、円が動く外側の帯を確かめます。
(1)
答え：12.56cm²
- Bは半径3cm、Cは半径5cmの90度の弧を描きます。始めと終わりの三角形ABCは等積で打ち消し合います。
- 通過面積は(5²－3²)×3.14÷4＝12.56cm²です。
間違えやすい点：領域は単純な同心扇形の差と同じ形ではありませんが、面積は等積部分を除いてその差になります。
(2)
答え：53.68cm²
- 元の斜線図形の周長は、半径5cmと3cmの90度の弧と、4cmの直線2本。合計は7.85＋4.71＋8＝20.56cmです。
- 半径1cmの円が外側を動くと、元の境界から外へ幅2cmの帯を通ります。この図では内側の弧の半径3cmが帯幅2cmより大きく、帯の重なりを引く必要はありません。
- 直線・曲線に沿う帯の基本面積は20.56×2、曲線の曲がり方と角の扇形を合わせた増分は半径2cmの円1つ分です。20.56×2＋2×2×3.14＝53.68cm²です。
間違えやすい点：元の斜線図形の内部を円が塗りつぶすのではありません。円が外側を動いて通る帯を求めます。
(3)
答え：22.055cm²
- 長方形の面積は1×4＝4cm²です。回転中心Aに最も近いBまで3cm、最も遠いDまでの距離の2乗は4²＋4²＝32です。
- 90度動くことで加わる面積は、最大・最小半径の扇形の差(32－9)×3.14÷4＝18.055cm²です。
- 最初の長方形4cm²も含め、18.055＋4＝22.055cm²です。
間違えやすい点：線分BCの通過面積ではなく、幅1cmの長方形全体が通る面積です。
第4問｜数字1を含む3桁の数と和
この大問で学ぶこと
重複の多い条件は、反対側をまとめて数える
百・十・一の位に1がある場合を足すと、11や111を重複して数えます。1を使わない数を考えると、各桁の選び方が独立になり、奇偶の和の比較にもつながります。
解くときの着眼点：1を含まない数を数え、全体から引きます。
(1)
答え：252個
- 3桁の整数は900個です。1を含まない場合、百の位は2〜9の8通り、十・一の位は0と2〜9の9通りずつです。
- 900－8×9×9＝252個です。
間違えやすい点：百の位には0を使えません。
(2)
答え：162個
- 3桁の奇数は450個。1を含まない奇数は、百の位8通り・十の位9通り・一の位3,5,7,9の4通りで288個です。
- 450－288＝162個です。
間違えやすい点：一の位の1は条件を満たす側なので、1なしの数え方には入れません。
(3)
答え：43282
- 100〜999全体では、100と101、102と103…を組にすると、奇数の和は偶数より450大きくなります。
- 1を含まない数で、百十の位から作る部分をp＝100h＋10tとします。奇数の一の位の和は24、偶数は20なので、その組の差は(4p＋24)－(5p＋20)＝4－pです。
- hは2〜9、tは0,2〜9で72組。pの和は100×9×44＋10×8×44＝43120。1なしの差は72×4－43120＝－42832です。
- したがって1を含む数の差は450－(－42832)＝43282です。
間違えやすい点：1なしでは偶数が5個・奇数が4個ずつなので、百十の位の和も打ち消せません。
解き直しの進め方
複数条件は最後に一つずつ戻して確認します。回転は元の領域と通過する領域を区別し、整数の和は奇数・偶数の個数が同じかどうかまで調べましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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