2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
開智中学校・2022年度 先端A 算数
先端Aの全4大問を解説します。小問集合、出発差と途中の減速、立方体と14面の立体、2種類の数字を使う11の倍数を、条件の対応と場合分けから確認します。
第1問｜逆算・平均・利益・給水・合格者
この大問で学ぶこと
複数条件を同じ単位へそろえて解く
平均点は85.5点からの増減、利益は全品を定価で売った場合との差、合格者は延べ人数へ直します。最後の図形も、共通の高さの単位をそろえれば長さを求めず面積比が決まります。
解くときの着眼点：基準の平均と、延べ人数を使います。
(1)
答え：7/3（2と1/3）
- 3と3/4－1.25＝2.5、2/3×2.5＋6.5＝5/3＋13/2＝49/6です。
- 49/6÷□＝7/2なので、□＝49/6÷7/2＝7/3です。
間違えやすい点：割る数を求める逆算では、元の割られる数を答えで割ります。
(2)
答え：時速3km
- 往復は24km、平均時速4kmなので合計6時間です。行きは12÷6＝2時間、帰りは4時間です。
- 帰りの速さは12÷4＝時速3kmです。
間違えやすい点：速さ6と帰りの速さを単純平均しません。
(3)
答え：36人
- 85.5点を全員の基準とすると、上位10人は(96.1－85.5)×10＝106点多く、下位10人は(85.5－78.5)×10＝70点少ないので、差し引き36点多くなります。
- 全体平均は基準より1点高い86.5点なので、人数は36÷1＝36人です。
間違えやすい点：上位・下位以外の平均85.5点を共通の基準にします。
(4)
答え：20個
- 仕入れは100×200＝20000円、実際の売上は13％利益より22600円です。全品を定価120円で売れば24000円なので、差は1400円です。
- 残り1個を50円で売ると定価より70円少ないため、残った個数は1400÷70＝20個です。
間違えやすい点：半額にする基準は定価120円でなく、仕入れ値100円です。
(5)
答え：16
- 加える数をxとすると、(17＋x)/(61＋x)＝3/7です。
- 7(17＋x)＝3(61＋x)より119＋7x＝183＋3x。4x＝64なのでx＝16です。
間違えやすい点：分母と分子へ同じ数を加えても、差44は変わりません。
(6)
答え：2/3
- 1分当たりの割合をAがa、Bがbとすると、7a＋4b＝3/5、9a＋6b＝5/6です。
- 最初を3倍、次を2倍すると21a＋12b＝9/5、18a＋12b＝5/3。差は3a＝2/15なのでa＝2/45です。
- 15分では15×2/45＝2/3入ります。
間違えやすい点：15分の割合を求めるので、1分の値をそのまま答えません。
(7)
答え：16人
- 合格者の延べ人数は15＋18＋20＝53人分。3種類全てに合格した5人の15人分を除くと38人分です。
- 残りの生徒は多くても2種類合格なので、38人分には少なくとも19人必要。少なくとも1つ合格した人数は5＋19＝24人で、不合格者は多くても40－24＝16人です。
- ABだけ4人、ACだけ6人、BCだけ9人、全て5人とすれば各合格者数に一致し、16人を実現できます。
間違えやすい点：最大人数を求めたら、その配分が実際に作れることまで確認します。
(8)
答え：18/35倍
- AD＝3、BC＝4、AE＝2、EB＝3という共通単位で考えます。斜線の2三角形の面積は(3×2＋4×3)÷2＝9です。
- 台形全体は(3＋4)×(2＋3)÷2＝35/2。比は9÷35/2＝18/35です。
間違えやすい点：斜線は上と下の2つの三角形で、真ん中の三角形EDCを含めません。
第2問｜池の周回と途中の減速
この大問で学ぶこと
同じ1周を基準に、出発差と速度変更を追う
4分で出会い20分で追い越す条件は、同じ1周を進む相対速度の比較です。比が決まったら周長を20と置き、出発時刻・最初の追いつき・減速時刻を同じ時刻軸へ載せましょう。
解くときの着眼点：逆向きは速さの和、同じ向きは差を使います。
(1)
答え：A：B＝3：2
- 同じ1周に対し、速さの和：差＝20：4＝5：1です。
- Aは(5＋1)÷2＝3、Bは(5－1)÷2＝2なので、A：B＝3：2です。
間違えやすい点：20分の追いつきでは、速さの差で1周分を取り戻します。
(2)
答え：1分40秒後
- 周長を20、速さをA3・B2とします。Bが半周10進んだときなので、最初の追いつきはB出発の5分後です。
- Aは10÷3＝10/3分歩くため、出発は5－10/3＝5/3分後＝1分40秒後です。
間違えやすい点：Aが出発してからの経過時間と、B出発からの時刻を区別します。
(3)
答え：6分40秒後
- B出発からt分後に減速したとします。10分後にBがAへ追いつくまで、Aの進む距離は3(t－5/3)＋3/2×(10－t)です。
- Bは10分で2×10＝20進むので、3t－5＋15－3t/2＝20。3t/2＝10よりt＝20/3分です。
- 20/3分＝6分40秒後です。これは最初の追いつき5分より後で、2回目の追いつき10分より前です。
間違えやすい点：減速後のAは速さ1.5となり、Bの2より遅くなります。
第3問｜立方体の中点切断と14面の立体
この大問で学ぶこと
見慣れない立体を、既に求めた形へ分ける
立方体の6辺の中点を通る面は中心を通り、反対側と合同です。正方形6枚・正六角形8枚の立体も、対称な3平面で8等分すると、最初の切断立体と同じ形が現れます。
解くときの着眼点：中心を通る切断と、合同な立体への分割を使います。
(1)
答え：4cm³
- 6点の切断面は立方体の中心を通り、中心に対して反対側の点同士が対応します。切断した2つの立体は合同です。
- 立方体は2³＝8cm³なので、O側の体積は8÷2＝4cm³です。
間違えやすい点：見かけの六角形の位置だけで判断せず、反対の中点同士が対応することを確認します。
(2)
答え：24個
- 各頂点には正方形1枚と正六角形2枚が集まります。
- 正方形6枚の4頂点は互いに別の頂点に当たるため、6×4＝24個です。六角形側でも8×6÷2＝24個と確かめられます。
間違えやすい点：1つの頂点を、集まる3枚の面ごとに重複して数えません。
(3)
答え：32cm³
- 立体の中心を通り、向かい合う正方形の面に平行な3つの互いに垂直な平面で分けると、合同な8個の立体になります。
- 正方形1枚の面積2cm²から対角線は2cmです。その半分の1cmが分割した立体の中点までの長さに当たり、各部分は(1)の一辺2cmの立方体を切った形と合同です。
- 1個4cm³が8個なので4×8＝32cm³です。
間違えやすい点：正六角形の面積を求めなくても、8つの部分の体積で計算できます。
第4問｜11の倍数と2種類の数字
この大問で学ぶこと
同じ数字の配置を、個数と場所で場合分けする
11の倍数判定を使い、3桁では同じ数字が現れる場所、4桁では2種類が2個ずつ現れる場所へ整理します。「2種類」はちょうど2種類であり、同じ数字だけの数は含めません。
解くときの着眼点：奇数番目と偶数番目の和を比べます。
(1)
答え：7
- 奇数番目の和は1＋4＋5＝10、偶数番目は□＋□＋7です。差は3－2□になります。
- □が0〜9なら差は3〜－15で、11の倍数は0または－11です。3－2□＝0では整数にならず、3－2□＝－11より□＝7です。
間違えやすい点：差は負でも11の倍数なら条件を満たします。
(2)
答え：17個
- 同じ数字をa、別の数字をbとし、3桁の並びをaab・aba・abbへ分けます。aabの判定差はbなのでb＝0で、110・220・…・990の9個です。abbでは差がaとなり、先頭aは1〜9なので該当しません。
- abaでは差2a－bが0または11です。0なら121・242・363・484、11なら616・737・858・979で計8個です。
- 合計9＋8＝17個です。
| 形 | 候補 | 個数 |
|---|---|---|
| aab | 110・220・330・440・550・660・770・880・990 | 9 |
| aba（差0） | 121・242・363・484 | 4 |
| aba（差11） | 616・737・858・979 | 4 |
| abb | なし | 0 |
間違えやすい点：aaaは1種類しか使っていないため、今回の対象から除きます。
(3)
答え：162個
- 2種類が3個と1個ずつなら、判定差は2種類の差またはその反対で、0でなく絶対値9以下となるため11の倍数にはなりません。
- 2個ずつなら、奇数番目と偶数番目にそれぞれ1個ずつ置く必要があります。片方の種類を奇数番目の2択・偶数番目の2択へ置くので、数字の組ごとに4通りです。
- 0を含まない2種類の組は9×8÷2＝36組で144個。0を含む組は9組で、先頭0になる2通りを除き各2通りなので18個です。
- 合計144＋18＝162個です。
間違えやすい点：数字の組は順序を付けず選び、その後で配置の4通りを数えます。
解き直しの進め方
最大人数は実現できる配分、最小の条件は他の候補がない理由まで確認します。立体は合同な部分へ分け、整数は先頭0と数字の種類数を確かめて解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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