2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
本郷中学校・2023年度 第1回 算数
全5大問を解説します。小問集合の比・周期から、動く壁との距離グラフ、余りを使う最大公約数、立方体を2つの平面で切る問題まで、途中の判断を整理します。
第1問｜逆算と分数・小数の計算
この大問で学ぶこと
計算の順番と、まとめる単位を選ぶ
複雑に見える式でも、先に値が決まるかっこを整理すれば単純な逆算になります。小数を含む式では共通因数を探し、約分できる形にそろえましょう。
解くときの着眼点：かっこの内側を確定し、外側から逆算します。
(1)
答え：15
- 9－(1＋4÷6)×3＝9－5＝4です。元の式は(□－7)×5÷4－2＝8になります。
- 外側から戻すと、(8＋2)×4÷5＋7＝15です。
間違えやすい点：9から引く範囲をかっこで確認します。
(2)
答え：0.5
- 2.023＋2と89/100＝4.913＝4913/1000です。4913＝289×17なので、50/289をかけると17/20＝0.85です。
- 1.25－9/10＝0.35。0.85－0.35＝0.5です。
間違えやすい点：帯分数2と89/100を89/100だけとしないようにします。
第2問｜水量・割合・回転・周期・影
この大問で学ぶこと
異なる場面を、保存と比例の関係でつなぐ
置き方が変わっても水量は一定、平均の超過と不足はつり合います。回転は端点の半径、点滅は最小公倍数、影は相似を使い、場面に合った見方へ切り替えます。
解くときの着眼点：全体を変えない量と、比で対応する量を見つけます。
(1)
答え：9.6cm
- 横置きの三角形断面は高さ15cmで、水面から上の空気部分の高さは15－6＝9cm。全体との相似比は9：15＝3：5です。
- 空気の体積は全体の9/25、水は16/25です。三角形を底面に立てると容器の高さは15cmなので、水深は15×16/25＝9.6cmです。
間違えやすい点：水深の比をそのまま体積比にせず、相似な三角形の面積比を使います。
(2)
答え：336ページ
- 全体をNページとすると、初日の残りは2N/3－5ページ。翌日の残りはその1/3に11ページを加えたものです。
- したがって(2N/3－5)÷3＋11＝N/4。整理するとN/4－2N/9＝28/3、N/36＝28/3なのでN＝336です。
- 検算：初日117ページ、残り219ページ。翌日は146－11＝135ページ読み、残り84ページは全体の1/4です。
間違えやすい点：翌日の2/3は、全体でなく初日の残りに対する割合です。
(3)
答え：98人
- Aの平均は全体より1.5点高く、Bは2.1点低いので、人数比A：B＝2.1：1.5＝7：5です。
- Aは168×7/12＝98人です。
間違えやすい点：平均からの差の比と人数比は逆になります。
(4)
答え：19.625cm²
- BからAまで12cm、Dまで13cmです。辺ADの通過面積は、半径13cmと12cmの90度の扇形の面積差になります。
- 回転の始めと終わりにある三角形ABDは等積で打ち消し合うため、(13×13－12×12)×3.14÷4＝19.625cm²です。
間違えやすい点：長方形全体でなく、辺ADだけが通る部分を考えます。
(5)
答え：40秒間
- 赤は3秒周期、青は5秒周期なので15秒で全体が繰り返します。最初の15秒で両方がつくのは0〜2、6〜8、10〜11、12〜13秒の計6秒です。
- 100＝15×6＋10。残り10秒では0〜2、6〜8に対応する4秒が加わるので、6×6＋4＝40秒です。
間違えやすい点：時刻の個数ではなく、点灯している区間の長さを足します。
(6)
答え：兄の出発から10秒後
- 身長と影の相似から、電灯からの距離に対する影の長さは兄が176/(440－176)＝2/3、弟が110/(440－110)＝1/3です。
- 同じ速さを毎秒v cm、兄の歩く時間をt秒とすると、影は兄2vt/3、弟v(t＋10)/3。等しいので2t＝t＋10、t＝10です。
間違えやすい点：弟は兄より10秒長く歩いていることを式に入れます。
第3問｜動く壁で跳ね返る点と距離グラフ
この大問で学ぶこと
相対的な速さと、実際の移動距離を使い分ける
グラフの傾きは点Pそのものの速さではありません。壁Bも毎分1m動くため、向かい合うときと同方向のときで距離の変化が異なります。衝突後の速さもその都度更新しましょう。
解くときの着眼点：点の位置でなく、壁Bとの距離の増減を読みます。
(1)
答え：毎分12m
- 初めの距離22mが2分で0になるので、Pと壁Bの近づく速さは22÷2＝11m/分です。
- 壁Bも同じ方向へ毎分1m動くため、Pの速さは11＋1＝12m/分です。
間違えやすい点：グラフの傾き11を、そのままPの速さとしません。
(2)
答え：288/11（26と2/11）
- 最初の衝突は2分後で、壁BはAから22＋2＝24mの位置にあります。Pは1m/分減速して毎分11mでAへ戻ります。
- 戻る時間は24/11分。Aへ戻る時刻は2＋24/11＝46/11分です。
- このとき壁Bとの距離は22＋46/11＝288/11mなので、y＝288/11です。
間違えやすい点：Aにぶつかったときは速さを変えない、という条件も確認します。
(3)
答え：34/5（6.8）
- Aへ戻ったPは毎分11mで右へ進み、壁Bは毎分1mなので、近づく速さは10m/分です。
- 距離288/11mを縮める時間は288/11÷10＝144/55分。
- 最初からの時刻は46/11＋144/55＝374/55＝34/5分なので、x＝6.8です。
間違えやすい点：2回目の衝突までの追加時間と、出発からの時刻を区別します。
第4問｜余りから最大公約数を求める
この大問で学ぶこと
大きな数を、同じ公約数をもつ小さな数へ置き換える
同じ数で割り切れる2つの数は、その差も割り切れます。最大公約数を保ったまま数を小さくする操作が、長方形を同じ正方形で敷き詰める見方にもつながります。
解くときの着眼点：余りを引いた整数へ直し、割り算を繰り返します。
ア
答え：19343
- 19350を割った余り7を引くと、19350－7＝19343は求める数で割り切れます。
間違えやすい点：余りを加えるのでなく、引いて割り切れる数にします。
イ
答え：14297
- 同様に14300－3＝14297です。19343と14297の最大公約数を求めれば、候補のうち最大の数が分かります。
間違えやすい点：求めた公約数は、余り7と3より大きいことも確認します。
ウ
答え：13
- 104÷39は2余り26。次に39÷26は1余り13、26÷13は割り切れます。
- 最後に余りが0になる直前の割る数13が最大公約数です。
間違えやすい点：余り0を最大公約数と答えないようにします。
エ
答え：5046
- 19343－14297＝5046です。19343と14297の共通の約数は、14297と5046の共通の約数と同じです。
間違えやすい点：単なる引き算の答えでなく、公約数を保つ置き換えとして見ます。
オ
答え：841
- 14297÷5046＝2余り4205、5046÷4205＝1余り841、4205÷841＝5で割り切れます。
- 最大公約数は841。19350＝841×23＋7、14300＝841×17＋3となり、元の余りにも合います。
間違えやすい点：大きな数の約数を全て列挙する代わりに、余りへ置き換えて計算します。
第5問｜立方体を2つの平面で切る
この大問で学ぶこと
切り口を求めてから、角すいへ分解する
2回目の切断は元の立方体だけでなく、1回目にできた斜面も横切ります。補助点を置いて辺上の比を求め、最後は同じ平面上の面を底面に選びます。
解くときの着眼点：最初の切断面と、次の切断面の交線を追います。
(1)
答え：62.5cm³
- 平面DEFは立方体を合同な三角柱2つへ分けます。Gを含む側Kは立方体の半分です。
- 5×5×5÷2＝62.5cm³です。
間違えやすい点：三角すいの切り落としと取り違えず、奥行き方向に同じ断面が続く三角柱として見ます。
(2)
答え：オ：五角形
- FRを延長し、GHの延長との交点をUとします。ER＝RH＝2.5cmなので、相似からHU＝5cmです。
- 右側面の切り口はUQを延長した直線で、CDと交わる点をTとします。さらに上面を横切り、BC上の点Vへ続きます。
- 切り口はF→R→Q→T→V→Fの5辺で囲まれる五角形です。
間違えやすい点：Fは頂点なので、Fから出る2辺を別々の交点として数えません。
(3)
答え：625/36（17と13/36）cm³
- DQ＝5/3cm、QH＝10/3cmです。上と同じUを用いると、相似よりDT＝HU×DQ/QH＝5×1/2＝2.5cmです。TはCDの中点になります。
- 残る立体Lを、四角すいF−ERQDと三角すいF−DQTへ分けます。奥の面ERQDは三角形EHDからRHQを引いたものなので、面積は5×5÷2－2.5×(10/3)÷2＝25/3cm²。高さはFから奥の面までの5cmなので、体積125/9cm³です。
- 右側面の三角形DQTの面積は(5/3)×2.5÷2＝25/12cm²。Fから右側面までの高さ5cmより、三角すいは125/36cm³です。
- 合計125/9＋125/36＝625/36cm³です。
間違えやすい点：2回目の切り口全体は五角形ですが、Lに残るのは1回目の切断面で切り詰められた側です。
解き直しの進め方
速さではグラフが表す距離を確認し、互除法では余りを引いた数へ直す理由を説明します。立体は交点を先に決め、面積と高さを見やすい面から選びましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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