2026年11月4日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
駒場東邦中学校・2024年度 2月1日入試 算数
整数の条件、時計・模様・面積比、正十一角形と円、階段状の図形にある正方形、平方数の和を扱います。場合分けの漏れや図形の単位の読み違いを防ぐことが得点につながる年度です。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜整数・時計・模様・面積比
この大問で学ぶこと
同じものの重複と対応関係を確認する
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)① 整数の組の個数
7個
- 11a＋23b＝2024で、2024は11の倍数です。23bを11で割った余りはbの余りと同じなので、bは11の倍数です。
- b＝11kとするとa＝184−23k。a・bがともに1以上なのでk＝1〜7で、7個です。0を認めない条件を最後に確認します。
(1)② 整数の組の例
例：ウ7、エ158、オ10
- 8×7＋11×158＋23×10＝56＋1738＋230＝2024です。例を一つ答える問題なので、三つとも1以上で式に合うことを代入して確かめれば十分です。
(2) 時計の時刻
(11,49と1/11)、(44,32と8/11)
- 10時からt分後の長針と短針の向きを、12を基準にすると差は5.5t−300度です。20分後にはこの差が110度増えます。
- 小さい角が同じになるには、二つの向きの差が0度または180度を挟んで対称になります。現在の差は−235度または−55度なので、t＝130/11分または490/11分です。
- 130/11分＝11分49と1/11秒、490/11分＝44分32と8/11秒。分の小数部分に60を掛けて秒へ直します。
(3)① 2×2の模様
6通り
- 回転を考えない配置は2の4乗＝16通りです。四つの向きで見た配置をまとめる際、90度・180度・270度回転でも変わらない配置がそれぞれ2・4・2通りある点に注意します。
- 同じ模様が各向きで何回ずつ数えられるかをそろえると、(16＋2＋4＋2)÷4＝6通りです。単純に16÷4とはできません。
(3)② 横5枚の模様
20通り
- 配置は2の5乗＝32通り。180度回転して同じになる左右対称の並びは、左2枚と中央を選べば決まるので2の3乗＝8通りです。
- 対称な8通りはそのまま、残り24通りは2個ずつ一組になるので8＋24÷2＝20通りです。
(3)③ 2×3の模様
36通り
- 全配置は2の6乗＝64通り。180度回転して同じになる配置は、向かい合う3組の一方を決めればよいため8通りです。
- 8＋(64−8)÷2＝36通り。長方形なので90度回転は元の枠に重なりません。
(4)① 三角形AGD：GEC
1：2
- 三角形GECは角E＝角C＝60度の正三角形です。三角形AGDは角A＝30度、角G＝60度、角D＝90度なので、正三角形を半分にした形からAG＝2GDです。
- GE＝GC＝sとすると、AG＝4−s、GD＝3−sです。4−s＝2(3−s)よりs＝2。よってAG＝GC＝2cm、GD＝1cm、GE＝2cmです。
- AとCは一直線上でAG＝GCなので、DEを底辺とすると高さは等しくなります。底辺GD：GE＝1：2が、そのまま三角形AGD：GECの面積比になります。
(4)② 面積の関係の説明
3cmと4cmの正三角形の面積の和は、5cmの正三角形の面積になる
- BAとFDを延長して交点をHとします。三角形HBFは正三角形で、BからHまでは4＋1＝5cmとなります。
- 角度と平行関係から四角形HAGDは平行四辺形です。その面積は三角形AGDの2倍で、①により三角形GECと同じです。
- 三角形ABCとDEFを合わせたとき、重なるGECを引き、足りないHAGDを加えるとHBFになります。引く面積と加える面積が等しいので、二つの面積の和がHBFの面積です。
第2問｜正十一角形と円の重なり
この大問で学ぶこと
合同な三角形をそろえ、残る弧を比べる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 内角の和
1620度
- 十一角形は、一つの頂点から対角線を引くと11−2＝9個の三角形に分かれます。180×9＝1620度です。
(2) 内側のすき間の周の長さ
31.4cm
- 隣り合う頂点の距離も円の半径も6cmなので、2円の交点と両頂点で正三角形ができます。一つの頂点では、すき間に面する弧の中心角は内角から60度を2個引いた角です。
- 11個の弧の中心角の和は1620−120×11＝300度。半径6cmなので、周は6×2×3.14×300/360＝31.4cmです。
(3) 内側と外側の面積の差
外側のウが226.08平方cm大きい
- 各辺を底辺として内側・外側に一辺6cmの正三角形を補います。内側・外側の円の部分は、それぞれ合同な正三角形11個と、頂点まわりのおうぎ形に分けられます。
- 内側のおうぎ形の角の合計は300度。外側は一つの頂点につき360度−内角−120度なので、合計360×11−1620−120×11＝1020度です。
- 正三角形の面積は両方で同じなので相殺します。差は6×6×3.14×(1020−300)/360＝226.08平方cmで、ウの方が大きくなります。
第3問｜階段状の図形にある正方形
この大問で学ぶこと
幅だけでなく辺が外へ出ない条件を守る
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 長方形の個数
100個
- 各段の個数は1・3・5・…・19で、10段です。両端から組にして20が5組になるので100個です。
(2) 辺が平行な正方形
141個
- 長方形の横幅は2cmなので、正方形の一辺は2・4・6・8cmを調べます。各辺の長さごとに上の段から置ける位置を数えます。
- 一辺2cmは1＋3＋…＋17＝81個、4cmは2＋4＋…＋12＝42個、6cmは1＋3＋5＋7＝16個、8cmは2個。合計81＋42＋16＋2＝141個です。
(3)① 大きさの異なる斜めの正方形
面積8・20・32・40平方cmの4種類
- 一辺の横の進みと縦の進みを組にすると、(2,2)、(2,4)、(4,4)、(2,6)が代表です。直角な次の辺では横と縦を入れ替え、一方の向きを反転します。
- 例えば一辺が右へ2cm・上へ4cmなら、次の辺は左へ4cm・上へ2cmです。面積は2の2乗＋4の2乗＝20平方cmになります。向きが反対でも面積が同じものは、大きさとしては一種類です。
- 原問題の枠へ作図するときは、縦1目盛りが1cm・横1目盛りが2cmである点を守ります。頂点が枠内にあるだけでなく、辺全体が階段の外へ出ないかも確かめます。
(3)② 斜めの正方形の個数
96個
- 辺の横・縦の進み別に位置を数えると、(2,2)が42個、(2,4)と(4,2)が各20個、(4,4)が6個、(2,6)と(6,2)が各4個です。
- 42＋20＋20＋6＋4＋4＝96個。同じ大きさの左右の向きは、図形内の位置が異なれば別の正方形として数えます。
第4問｜平方数の和
この大問で学ぶこと
同じ並びを三方向から重ねる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 三つの空欄
ア11、イ55、ウ506
- 5段の三角形に数を並べ、3方向の同じ位置を足すと、どこも2×5＋1＝11になります。位置の数は1＋2＋3＋4＋5＝15なので、平方数の和の3倍は11×15です。
- したがって和は11×15÷3＝55。11までの場合は各位置の和が23、位置は1＋…＋11＝66なので、23×66÷3＝506です。
(2) 2024の表し方
2²＋4²＋6²＋…＋20²＋22²
- 2²＋4²＋…＋22²は、1²＋2²＋…＋11²の4倍です。(1)の506×4＝2024になるので、偶数2から22までの平方数を足せばよいと分かります。
(3) 最大の5桁の整数
93744
- 3²＋6²＋…＋(3n)²は、1²＋2²＋…＋n²の9倍です。(1)の方法から平方数の和はn(n＋1)(2n＋1)÷6と整理できます。
- n＝31では9×31×32×63÷6＝93744。次のn＝32では9×32×33×65÷6＝102960となり6桁です。和は項を増やすたび大きくなるので、93744が最大です。
解き直しの進め方
数え上げは同じ形の重複を、図形は補助線と単位を、数の規則は小さい例と上限を確かめてから、解説を閉じて再挑戦しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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