世田谷学園中学校2024年度 第1次 算数全問解説｜面積比・牧草地・立体の延長

(1) 分数と小数

答え：3/4

1. 0.6×5/12＝1/4。5と2/3×3/4−3と1/2＝17/4−14/4＝3/4。

(2) みかんの過不足

答え：85個

1. 9個ずつ配るには最後の1人分が5個不足します。7個ずつでは15個余るので差は20個。
2. 1人当たり2個の差なので10人。7×10＋15＝85個。

(3) 余りのある割り算

答え：308

1. 700−7＝693、3300−66＝3234の共通の約数を探します。最大公約数は231。
2. 余り66より大きい231の約数は77と231で、和は308。

間違えやすい点：余りより小さい割る数は使えません。

(4) はじめの所持金の比

答え：10：21：13

1. 使った割合は3/5、2/7、6/13。同じ金額を使ったので、所持金は逆比5/3：7/2：13/6です。
2. 6倍して10：21：13。

(5) 15番目の整数

答え：214

1. 百の位が1の整数は、残る1・2・3・4から異なる2枚を並べて4×3＝12通り。
2. 次は211、213、214…と続くので、15番目は214。

間違えやすい点：同じ数字の1を、見分けて二重に数えません。

(6) 正五角形と正方形

答え：56°

1. 正五角形の外角は72°。Aのある辺から右上の頂点へ向かう線は水平より20°上です。
2. そこから2つの頂点で各72°曲がると、CからBへ向かう線は20−144＝−124°の向き。逆向きのBCは水平より56°上なので、x＝56°。

間違えやすい点：角度を符号付きで整理するのが難しい場合は、水平な補助線を各頂点に入れて20°→52°→56°と追います。

(1) 3番目に安いパン

答え：260円

1. 10通りの合計4840円では、各パンが4回ずつ登場するので、5種類の合計は1210円。
2. 最も安い組a＋b＝290円、最も高い組d＋e＝660円を引くと、c＝1210−290−660＝260円。

(2) 2番目に高いパン

答え：300円

1. 2番目に小さい組a＋c＝380円からa＝120円、b＝170円。
2. 2番目に大きい組c＋e＝620円からe＝360円。d＋e＝660円なのでd＝300円。

間違えやすい点：確かめると120・170・260・300・360の組の和が10個の条件に一致します。

(1) 三角形CDFと四角形AHFD

答え：5：6

1. BF：FC＝1：8なので、三角形CDFは全体の4/9。
2. HB：AB＝2：5から、三角形BHFは全体の1/45。四角形AHFDは残り1−4/9−1/45＝8/15。比は4/9：8/15＝5：6です。

(2) 太線の図形の面積

答え：39.6cm²

1. 四角形AHFDが14.4cm²なので、ABCDは14.4÷(8/15)＝27cm²。
2. 三角形AFDはABCDの半分であり、Aがもう一つの長方形の辺EG上にあるので、EFGDの半分でもあります。二つの長方形の面積はともに27cm²。
3. 和54から重なり14.4を一度引き、39.6cm²。

間違えやすい点：二つの長方形を足しただけでは、重なりを二重に数えます。

(1) 食べ尽くさない最大頭数

答え：17頭

1. 12日間に食べる量は52×12＝624、21日間では37×21＝777。
2. 差153は9日間に増えた草なので、1日17。17頭なら生える量と食べる量が等しく、草を食べ尽くしません。

(2) 32頭で食べ尽くす日数

答え：28日

1. 初めの草は624−17×12＝420。
2. 32頭では1日32−17＝15ずつ減るため、420÷15＝28日。

(1) 三角形APQの面積

答え：27cm²

1. CF＝6、AD＝4の差から、PA：AC＝4：2＝2：1、PC＝3AC。FEの延長ではBQ＝BC×2/(6−2)＝3cm。
2. 三角形ABCの面積は3×6÷2＝9cm²。CQ＝9cm、PからBCへの距離はAの3倍の9cmなので、三角形PQCは9×(9/6)×3＝40.5cm²。
3. 三角形AQCは9×(9/6)＝13.5cm²。差が三角形APQなので27cm²。

(2) PQとQRの比

答え：3：1

1. DEを延長すると、BR＝AB×2/(4−2)＝3cm。
2. Pの直線BCへの距離は9cm、Rの直線BCへの距離は3cm。Qを頂点とする相似からPQ：QR＝9：3＝3：1。

間違えやすい点：斜めの線分の長さそのものを求める必要はありません。

(1) 帰りの2モードの距離比

答え：2：3

1. 行きの消費10％から片道は45×0.1＝4.5km。帰りの消費は90−77＝13％。
2. 全部オートなら10％なので、追加の3％をパワーとの差1/30−1/45＝1/90で補います。パワーの距離は0.03÷(1/90)＝2.7km。
3. オートは1.8km。オート：パワー＝1.8：2.7＝2：3。

(2) 帰りのオートの距離

答え：7.5km

1. 片道は45×0.3＝13.5km。帰りは32％消費で、全部オートの場合の30％より2％多い状態です。
2. ロングの距離を7x、パワーを8xとします。オートとの差は、ロングで7x/180節約、パワーで8x/90増加。差は9x/180＝0.02なのでx＝0.4。
3. オートは13.5−7×0.4−8×0.4＝7.5km。