2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2018 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
巣鴨中学校・2018年度 第Ⅰ期 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。同じ数を同じ個数ずつ並べた積、3つのポンプと仕事算、時計の3本の針、半円形トラックのスタート位置と面積、回転軸が移る三角形を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜同じ数を同じ個数ずつ並べた積
この大問で学ぶこと
数の個数と素因数の個数を分ける
1から13までの個数は三角数91です。100番目までは14が9個入り、素数で何回割れるかは各因数の個数の合計になります。
解くときの着眼点：何番目まで入るかを先に決めます。
(1)
答え：13回
- 1＋2＋…＋13＝91なので、13は13個、14は9個あります。
- 13の倍数はこの範囲では13だけ。13で割れる回数は13回です。
間違えやすい点：13²以上の数はまだ現れません。
(2)
答え：16回
- 7を含むのは7が7個と14が9個です。
- 7＋9＝16回です。
間違えやすい点：14を14個入れず、100番目までの9個にします。
(3)
答え：83回
- 2・4・6・8・10・12・14に含まれる2を数えます。
- 寄与は2×1、4×2、6×1、8×3、10×1、12×2、9×1です。
- 合計2＋8＋6＋24＋10＋24＋9＝83回です。
間違えやすい点：最後の9は14の個数です。
第2問｜3つのポンプと仕事算
この大問で学ぶこと
同時使用の式と切り替えの式を組み合わせる
2つの満水条件の差からAとCの比を出し、Bは残量から求めます。途中で満水にならない設問も同じ毎分量で処理できます。
解くときの着眼点：満水を1として毎分の量を求めます。
(1)
答え：16分間
- 毎分の量をa・b・cとすると22a＋6c＝1、11a＋11c＝1です。
- 差から11a＝5c。後者へ戻すと16c＝1です。
- Cだけなら16分です。
間違えやすい点：Aは毎分5/176です。
(2)
答え：22分間
- Aを16分使うと16×5/176＝5/11入ります。
- Bの12分で残り6/11入るので、毎分1/22です。
- Bだけなら22分です。
間違えやすい点：16a＋12b＝1へ戻して確認します。
(3)
答え：7分間
- Cをt分、Aを18－t分とすると、5(18－t)/176＋t/16＝3/4です。
- 90＋6t＝132よりt＝7です。
間違えやすい点：A11分・C7分で55/176＋77/176＝3/4です。
第3問｜時計の3本の針
この大問で学ぶこと
直角は180度ごと、重なりは360度ごと
毎秒の進む角は秒針6度、長針1/10度、短針1/120度です。8時の角度240度から、どちらが追い付くかを判断します。
解くときの着眼点：角速度の差を使います。
(1)
答え：8時27分16と4/11秒
- 8時の長針と短針の角の差は240度。最初の直角は差が90度になるときです。
- 毎秒の差は1/10－1/120＝11/120度。時間は150÷(11/120)＝18000/11秒です。
- 27分16と4/11秒後です。
間違えやすい点：差が270度になる場合は8時より前です。
(2)
答え：8時4分49と49/59秒
- 長針と秒針は8時に重なっています。毎秒の差は6－1/10＝59/10度です。
- 直角は90・270・450…度の差で起き、10回目は90＋180×9＝1710度です。
- 1710÷(59/10)＝17100/59秒＝4分49と49/59秒です。
間違えやすい点：最初の重なりを直角の1回目に数えません。
(3)
答え：32と8/11度
- 長針が短針に追い付くのは240÷(11/120)＝28800/11秒後です。
- このとき長針は2880/11度。秒針は172800/11度から360度の43周分を引き2520/11度です。
- 小さい角は(2880－2520)/11＝360/11＝32と8/11度です。
間違えやすい点：秒針の周回分を引いて同じ1周内で比べます。
第4問｜半円形トラックのスタート位置と面積
この大問で学ぶこと
曲線の増加分を直線の短縮で補う
外へ1コース進むごとに半円の半径が1.2m増えます。面積には内側の線の長さだけでなく、帯の外側の広がりも入ります。
解くときの着眼点：内側の線を300mにそろえます。
(1)
答え：15m
- 1コース内側の半円は50×3.14＝157mです。
- 300－128－157＝15mがスタート直後の直線です。
間違えやすい点：左側の線が300mという条件を使います。
(2)
答え：4コースまで
- 1コース外へ進むごとに半円は1.2×3.14＝3.768m長くなります。
- 直線は1～4コースで15、11.232、7.464、3.696m。5コースでは負になるので曲線からのスタートです。
間違えやすい点：15÷3.768の商だけでコース数を答えず、1コース分を含めます。
(3)
答え：1449.0432m²
- 各コースの直線と半円を合わせると、面積は300×1.2＋3.14×1.2²÷2です。
- 半円の帯は内側の弧長×幅に、半径1.2mの半円の面積を加えるためです。
- 1コース362.2608m²なので、4コースで1449.0432m²です。
間違えやすい点：外側ほどスタートの直線が短くなり、各コースの面積は等しくなります。
第5問｜回転軸が移る三角形
この大問で学ぶこと
円柱・円すい・穴を分けて体積を出す
軸の左右が重なって回る部分は二重に数えません。図の相似からDE＝1.5cm、FG＝2.25cmを求めて区切ります。
解くときの着眼点：横に切って半径を比べます。
(1)
答え：50.24cm³
- BCを軸にすると半径4cm、高さ3cmの円すいです。
- 4²×3.14×3÷3＝50.24cm³です。
間違えやすい点：底面の半径はAC＝4cmです。
(2)
答え：31.4cm³
- DEを軸にすると半径2cm・高さ3cmの円柱から、上側の穴の円すいを除きます。
- 穴は高さ3－1.5＝1.5cm、半径2cmです。
- 2²×3.14×3－2²×3.14×1.5÷3＝31.4cm³です。
間違えやすい点：下側の左右の回転は重なります。
(3)
答え：24.335cm³
- 高さ0～1.5cmの外側は半径3cmから1cmへ減る円すい台、1.5～3cmは半径1cmの円柱です。
- 円すい台は、高さ2.25cm・半径3cmの円すいから高さ0.75cm・半径1cmの円すいを引くと6.5πcm³です。
- 円柱1.5πを足し、FGより上の穴（高さ0.75cm・半径1cm）の0.25πを引きます。7.75×3.14＝24.335cm³です。
間違えやすい点：外側の半径が左右で切り替わる高さ1.5cmが重要です。
解き直しの進め方
100番目の位置、針の角速度、回転する領域の重なりを順に説明しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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