2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2019 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
巣鴨中学校・2019年度 第Ⅰ期 算数
全4大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。分数の変換・年齢・比・整数・折り返し、100m走の記録と着差、正方形を動く2点と立方体の切断、偶奇と組み合わせる和を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜分数の変換・年齢・比・整数・折り返し
この大問で学ぶこと
基準量と整数条件を明確にする
分数の操作は1/(1+x)。年齢は差が一定、果物は共通のみかんをそろえ、余りの問題は1を足して倍数へ変えます。
解くときの着眼点：逆数では大小が逆になります。
(1)
答え：3/5
- 変換後は1/(1＋元の分数)です。元が小さいほど変換後は大きくなります。
- 元の4つは2/3、3/4、3/5、5/7。最小は3/5で、変換後は5/8です。
間違えやすい点：答えは元の分数3/5を選びます。
(2)
答え：22歳
- 4年前を3u歳・2u歳とすると、5年後はそれぞれ9歳増えます。
- 7(3u＋9)＝9(2u＋9)より3u＝18、u＝6です。
- Aの現在は18＋4＝22歳です。
間違えやすい点：5年後から4年前までは9年間です。
(3)
答え：60個
- 太郎のりんご：みかんを15：6、次郎のみかん：かきを6：14にします。
- 合計の比は15＋6＋6＋14＝41で205個なので、1は5個です。
- 2人のみかんは12×5＝60個です。
間違えやすい点：共通のみかん6を2人分数えます。
(4)
答え：519
- どの割り算も1だけ加えると割り切れるので、求める数＋1は5・8・13の公倍数です。
- 最小公倍数は520。1000以下で条件に合うのは520－1＝519です。
間違えやすい点：2倍の1040から1を引くと1000を超えます。
(5)
答え：36度
- 元のBをB₀、元の二等辺三角形の底角をθ、角アをaとします。折り返しからB₀D＝BD、AB₀＝AB＝ACです。
- DBとACが平行なので三角形FDBとFACは相似です。BD＝FCとAB＝ACよりAF＝FC＝BDとなります。AF＝FCなので∠FAC＝∠ACF＝θ。したがって2a＋3θ＝180度です。
- 残る等しい辺AD＝AFを、辺の長さでも確かめます（この段階では直角三角形の辺の2乗の関係を使います）。AF＝FC＝BDをt、FB＝FDをuとおくと、相似からt²＝u(t＋u)です。
- B₀C＝2t＋u、AB₀＝t＋u。B₀Cの中点をHとするとDH＝u/2です。AH²＝(t＋u)²－(t＋u/2)²なので、AD²＝AH²＋(u/2)²＝u(t＋u)＝t²。よってAD＝t＝AFです。
- 三角形ADFはAD＝AFで、∠AFD＝2θなのでa＋4θ＝180度です。これと2a＋3θ＝180度を合わせると5θ＝180度。θ＝36度、a＝36度です。
間違えやすい点：折り返し・相似・等しい辺の順で確定します。途中のAD＝AFの確認には、辺の2乗の関係を用いる別の方法も示しました。
(6)
答え：145ページ
- 2日目終了後が30ページなので、2日目の前は(30＋9)×2＝78ページです。
- 1日目終了後は全体の2/5より20ページ多いため、全体の2/5＝78－20＝58。
- 全体は58×5÷2＝145ページです。
間違えやすい点：「少なく読んだ」分、残りは多くなります。
第2問｜100m走の記録と着差
この大問で学ぶこと
着差を時間差と混同せず比へ直す
Aが100mの間にBは96m、Bが100mの間にCは95m進みます。記録は速さの逆比を使って出します。
解くときの着眼点：同じ時間の道のりで速さを比べます。
(1)
答え：15秒
- Aが14.4秒で100m進む間にBは96mです。
- Bの100mの時間は14.4×100÷96＝15秒です。
間違えやすい点：Bの速さは毎秒20/3mです。
(2)
答え：132/95秒後（1と37/95秒後）
- Bが15秒で100m進む間にCは95mなので、Cの記録は15×100÷95＝300/19秒です。
- Aとの差は300/19－72/5＝132/95秒です。
間違えやすい点：Bとの差ではなくAがゴールしてからの差です。
第3問｜正方形を動く2点と立方体の切断
この大問で学ぶこと
3回で繰り返す出会いの位置を使う
最初の間隔12cm、その後は1周24cmです。切断では、上面の交点だけでなく側面・底面での交点も確定します。
解くときの着眼点：出会う間隔は周の長さ÷速さの和です。
(1)
答え：12秒後
- 最初の出会いは12÷(1＋2)＝4秒後です。
- その後は24÷3＝8秒ごとなので、2回目は12秒後です。
間違えやすい点：Pが進む距離は12cmで、Tは頂点Dです。
(2)
答え：76cm³
- SはBA上でBS＝4cm、T＝Dです。切断面とBFの交点をRとするとFR＝2cmです。
- 上面の四角形BSDCの面積は36－6×2÷2＝30cm²。Gを頂点とするすい体の体積は30×6÷3＝60cm³です。
- これに、三角形BSRを底面としGを頂点とする三角すい（4×4÷2×6÷3＝16cm³）を足して76cm³です。
間違えやすい点：Rの高さは切断面の平行線から求めます。
(3)
答え：140cm³
- Pの出会う位置は4・12・20秒後の3か所を24秒ごとに繰り返します。2019は3の倍数なので、UはBC上でCU＝2cmです。
- Cを含まない部分は、下の直角三角形の2辺が6cm、上が4cm、高さ6cmの三角すい台です。
- 延長した大きな三角すいは高さ18cmで108cm³、小さい方は高さ12cmで32cm³。差76cm³を立方体216cm³から引き140cm³です。
間違えやすい点：出会いの回数の余りと、切断後の体積を別々に処理します。
第4問｜偶奇と組み合わせる和
この大問で学ぶこと
135に含まれる奇数を確定する
和100は偶数2個、和135は奇数Dと偶数2個です。A＋D、B＋Dが分かるので、含まれる組を変えて候補を絞れます。
解くときの着眼点：偶数3個と奇数1個の役割を分けます。
(1)
答え：A＝22、B＝36、C＝64、D＝49
- A＋D＝71とA＋C＋D＝135の差からC＝64です。
- B＋C＝100よりB＝36、B＋D＝85よりD＝49です。
- A＝71－49＝22です。
間違えやすい点：4つの条件を順に戻して確認します。
(2)
答え：21、35、49
- 135の組をABD・ACD・BCDに分け、100の組をAB・AC・BCに分けます。
- 2桁で異なる4個という条件まで満たす組は、(A,B,C,D)＝(50,64,36,21)、(36,50,64,35)、(22,36,64,49)です。
- Dは21・35・49です。
間違えやすい点：Dが偶数になる候補と、A・B・Cが同じになる候補は除きます。
解き直しの進め方
着差を同時刻の道のりへ、出会いを周期へ、和の条件を偶奇へ整理して解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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