2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
大宮開成中学校・2021年度 第1回 算数
全7大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。四則計算と逆算、和差・給水・部屋割り・代金、多角形・半円・回転体、くみ出して水で薄める食塩水、各桁を足す操作、格子道と斜めの抜け道、ルーローの三角形の転がりを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜四則計算と逆算
この大問で学ぶこと
同じ積と、先にまとめられるかっこを探す
小数点が動く項でも、掛ける数が逆に10倍なら積は変わりません。帯分数は仮分数に直してから割り算を整理します。
解くときの着眼点：小数の桁と、帯分数の形に注意します。
(1)
答え：96
- (13＋8)×7＝147、(35－80÷4)×17÷5＝15×17÷5＝51です。
- 147－51＝96です。
間違えやすい点：かっこの内側の割り算を先にします。
(2)
答え：1296
- 3つの積は全て432です。
- 432×3＝1296です。
間違えやすい点：小数の桁数だけで大小を判断しないようにします。
(3)
答え：8/3（2と2/3）
- 2と1/13－12/13＝15/13、2と1/2÷15/13＝13/6です。
- 11/2－13/6－2/3＝33/6－13/6－4/6＝16/6＝8/3です。
間違えやすい点：割る数は15/13です。
(4)
答え：19/24
- 右辺は2.8＋1/5＝3です。
- 8/3－□＝3×5/8＝15/8なので、□＝8/3－15/8＝19/24です。
間違えやすい点：外側の割り算を先に戻します。
第2問｜和差・給水・部屋割り・代金
この大問で学ぶこと
同じ量にそろえた2条件から未知数を求める
3人の金額は最少額からの差、部屋割りは部屋数からの差で表します。代金では同じ個数へそろえて引き、残金は逆の順に戻します。
解くときの着眼点：増減する差を、合計へ結びつけます。
(1)
答え：170円
- 最少額をx円とすると、他の2人はx＋30円、x＋180円です。
- 3x＋210＝720よりx＝170円です。
間違えやすい点：最多と最少の差は150円ではなく180円です。
(2)
答え：14分24秒
- 1分の給水量は満水の1/24＋1/36＝5/72です。
- 満水まで72/5＝14.4分、0.4分＝24秒です。
間違えやすい点：0.4分を40秒にしないようにします。
(3)
答え：160人
- 部屋数をrとすると、12人ずつでは人数12r＋4です。
- 13人ずつで1部屋余り、使ったうち4部屋が14人なので、人数は13(r－1)＋4です。
- 12r＋4＝13r－9よりr＝13、人数12×13＋4＝160人です。
間違えやすい点：14人の部屋は13人より1人多い部屋が4つという意味です。
(4)
答え：110円
- りんご5個・みかん4個の式を7倍、りんご3個・みかん7個の式を4倍します。
- りんご23個分の差が710×7－610×4＝2530円です。
- りんご1個は2530÷23＝110円です。
間違えやすい点：みかんの個数を28個にそろえて引きます。
(5)
答え：3000円
- 2回目の前は360÷0.3＝1200円です。
- これは最初の2/5なので、1200÷2/5＝3000円です。
間違えやすい点：70％使った後に残るのは30％です。
第3問｜多角形・半円・回転体
この大問で学ぶこと
複雑な形を、基本図形の和と差へ直す
多角形の外角で辺の向きを追います。半円は同じ半径の面積をまとめ、回転体は円すいと円すい台に分けます。
解くときの着眼点：角度の向きと、足す部分・引く部分をそろえます。
(1)
答え：66度
- 138度の反対側の小さい角は180－138＝42度です。
- 上側の正方形の辺と、右下へ向かう五角形の辺の角度を追います。正五角形の外角72度を1回分進むので、同じ向きで測った角は42＋72＝114度です。
- アはその隣の角なので、180－114＝66度です。
間違えやすい点：138度の位置で、正方形の辺と五角形の辺の延長方向を確認します。
(2)
答え：25.12cm²
- 斜線は半径3cmの半円2個から、半径1cmの半円2個を引いた面積です。
- (3²－1²)×3.14＝25.12cm²です。
間違えやすい点：外側の半径4cmの円全体を使う必要はありません。
(3)
答え：116.18cm³
- 上は高さ3cm・半径3cmの円すいで、体積9πcm³です。
- 下は高さ3cm、上半径2cm・下半径4cmの円すい台です。同じ傾きで上へ延ばすと大きい円すいの高さ6cm、小さいもの3cmになります。
- 下の体積は4²×6π÷3－2²×3π÷3＝28π。合計37π＝116.18cm³です。
間違えやすい点：上の円すいの底面半径は2＋1＝3cm、下の上面半径は2cmです。
第4問｜くみ出して水で薄める食塩水
この大問で学ぶこと
くみ出す前後の食塩の量を追う
同じ量の水を戻すと総重量は変わりません。濃度の比が、そのまま残った食塩の割合になることを使います。
解くときの着眼点：全体量は1000gに戻り、食塩だけが減ります。
(1)
答え：200g
- 食塩は110gから88gへ22g減ります。
- くみ出したのは11％の食塩水なので、22÷0.11＝200gです。
間違えやすい点：22gはくみ出した食塩の量で、食塩水の量ではありません。
(2)
答え：6.6％
- 次に250gくみ出すと、食塩は88×750/1000＝66g残ります。
- 水を戻して1000gなので、66÷1000×100＝6.6％です。
間違えやすい点：2回目は最初の11％ではなく、8.8％の食塩水からくみ出します。
第5問｜各桁を足す操作
この大問で学ぶこと
逆にたどって、元の数を全部挙げる
2桁の数の各桁の和は最大18です。2回あれば1桁に落ち着くため、3回後の値は9で割った余りの規則からも確認できます。
解くときの着眼点：1桁になった後は値が変わりません。
(1)
答え：10個
- 9自身と、各桁の和が9になる18・27・36・45・54・63・72・81・90です。
- 合計10個です。
間違えやすい点：9も操作後9のままです。
(2)
答え：11個
- 3回後に5となる元の数は、5・14・23・32・41・50・59・68・77・86・95です。
- 後半の59などは1回目に14、2回目に5となります。合計11個です。
間違えやすい点：1回で5になる数だけでなく、14を経て5になる数も含めます。
第6問｜格子道と斜めの抜け道
この大問で学ぶこと
短縮する距離から、必要な斜め移動数を決める
通常の最短距離は横5区間・縦4区間です。斜め1本は120mと90mを150mへ置き換え、60m短くします。
解くときの着眼点：道の長さと、並べる移動の回数を分けます。
(1)
答え：1.6倍
- 通常は120×5＋90×4＝960m、所要時間16分です。
- 6分遅れなら10分で進むので、速さは16÷10＝1.6倍です。
間違えやすい点：増やす割合0.6倍と、必要な速さ1.6倍を区別します。
(2)
答え：60通り
- 3分短縮するには60×3＝180m短くし、斜めを180÷60＝3本使います。
- 残る移動は右2回・上1回・斜め3回で、計6回です。
- 上1回の位置6通り、残り5位置から右2回を選ぶ10通りなので、6×10＝60通りです。
間違えやすい点：同じ向きの移動を入れ替えて、別の経路として数えません。
第7問｜ルーローの三角形の転がり
この大問で学ぶこと
通過範囲の外側と内側の境界を分ける
この図形は、平行な2本の接線の間隔が常に4cmです。固定した図形の外側へ4cm広げた範囲から、固定図形の内部を除くと通過部分を考えられます。
解くときの着眼点：図形の一定の幅4cmを使います。
(1)
答え：100.48cm²
- 固定円の半径は2cm、転がる図形の幅は4cmなので、外側の境界は中心から6cmです。
- 通過するのは半径2cmから6cmまでの輪です。
- (6²－2²)×3.14＝100.48cm²です。
間違えやすい点：図形Aの面積を1周の回数で掛けると、重なる部分を数えてしまいます。
(2)
答え：100.48cm²
- 固定図形Bの3つの弧は、それぞれ半径4cm・60度です。その外側の境界は、同じ中心で半径8cm・60度になります。
- 弧に沿う帯3つの面積は(8²－4²)×3.14×60/360×3＝24πです。
- 3つの頂点の周りには、半径4cm・60度の扇形が1つずつでき、合計8πです。
- 24π＋8π＝32π＝100.48cm²です。
間違えやすい点：3つの弧の帯だけでなく、頂点の周りを回る扇形も加えます。
解き直しの進め方
各桁の操作は逆向きに列挙し、経路は斜め1本で縮む距離、転がりは通過範囲の境界を確認して解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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