2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
淑徳与野中学校・2022年度 第1回 算数
全7大問を解説します。計算、垂線と影、点灯周期と群数列、六角形の軌跡、水そう、踏切の警報、三方向から見た積み木を、図の条件と途中式から整理します。
第1問｜逆算・連続する和・重さの単位
この大問で学ぶこと
大きな数の計算を、短い式へ変える
連続する和は項数と平均で求め、分子分母を先に約分します。重さは見かけの桁数で判断せず、同じ単位にそろえてから比べましょう。
解くときの着眼点：分子分母の共通因数と、kgへの換算を使います。
(1)
答え：6
- 4と3/5－1.6＝3、112÷1/3＝336なので、2022÷□＋3－336＝4です。
- 2022÷□＝337より、□＝2022÷337＝6です。
間違えやすい点：112÷1/3は112を3倍した336です。
(2)
答え：1012/2023
- 分子は2×(1＋2＋…＋1011)＝1011×1012です。
- 分母は1＋2＋…＋2022＝2022×2023÷2＝1011×2023です。
- 共通の1011を約分して1012/2023です。
間違えやすい点：分子の偶数は1011個で、2022個ではありません。
(3)
答え：ア→エ→ウ→イ
- kgへそろえると、ア20220000g＝20220kg、イ0.02022t＝20.22kg、ウ202.2kg、エ2.022t＝2022kgです。
- 重い順は20220＞2022＞202.2＞20.22なので、ア・エ・ウ・イです。
間違えやすい点：1t＝1000kg、1kg＝1000gです。
第2問｜垂線の角度・等脚台形・影
この大問で学ぶこと
高さを補って、角度・面積・相似をつなぐ
3本の高さの交点、15度傾いた等脚台形、街灯による影を扱います。図の見た目で測るのではなく、直角・二等辺・相似という条件から式を作りましょう。
解くときの着眼点：垂直な線の角度と、対称な三角形を使います。
(1)
答え：55度
- BEはACへ、CFはABへ垂直なので、2本の高さが作る鋭角80度は∠BACに等しく、Aは80度です。
- CFとBCの角25度から、Bは90－25＝65度。Cは180－80－65＝35度です。
- ADはBCに垂直なので、∠HAC＝90－35＝55度です。
間違えやすい点：25度はCの角全体ではなく、BCとCFの角です。
(2)
答え：208/3（69と1/3）cm²
- A・DからBCへ垂線を下ろし、片側の横のずれをx、高さをhとします。脚が共に8cmなので左右のずれは等しく、BC－AD＝2xです。
- AD：BC＝5：8なので、AD＝10x/3、BC＝16x/3。台形の面積は13xh/3です。
- 脚と底辺の角は75度。2本の脚の上端を重ねるように平行移動すると、等辺8cm・頂角30度の三角形ができ、その面積はxhです。8cmの一辺を底辺とした高さは8÷2＝4cmなので、xh＝8×4÷2＝16です。
- したがって面積は13×16÷3＝208/3cm²です。
間違えやすい点：105度を含む台形でも、脚の長さだけで高さ8cmとはできません。
(3)①
答え：9m
- 街灯の高さ3m、へいの高さ1mなので、光源からへい上端までの高さの差は2mです。
- 地面への投影は街灯の足を中心として、3：2＝1.5倍の相似になります。へいの長さ6mに対応するABは6×1.5＝9mです。
間違えやすい点：へいの上端から地面へ垂直に影が落ちるのではありません。
(3)②
答え：15m²
- 街灯の足からへいの近い端まで4mなので、その影の先までは4×1.5＝6m。へいから影の端までの距離は2mです。
- 図の直角の印から、この2mはへいとABの間の高さです。影は平行な2辺6mと9mの台形なので、(6＋9)×2÷2＝15m²です。
間違えやすい点：街灯からの距離6mを、そのまま影の台形の高さにしません。
第3問｜年齢・電球の点灯時間・グループ数列
この大問で学ぶこと
繰り返しをまとめて、端の条件を数える
年齢は8年前の合計、電球は15秒周期、数列はk番目にk個の群へ整理します。電球は点灯する瞬間の回数ではなく、同時に点いている時間を求めることに注意しましょう。
解くときの着眼点：同じ時間の経過と、周期・群を使います。
(1)
答え：姉18歳、妹13歳
- 8年前の合計は31－8×2＝15歳です。姉：妹＝2：1なので、8年前は姉10歳・妹5歳です。
- それぞれ8歳加えて、現在は姉18歳・妹13歳です。
間違えやすい点：合計から8を1回だけ引くのでなく、2人分の16を引きます。
(2)
答え：40秒間
- 赤は3秒、青は5秒周期なので、全体は15秒で繰り返します。最初の15秒で両方点くのは0〜2、6〜8、10〜11、12〜13秒の計6秒です。
- 100＝15×6＋10。最初の90秒で36秒、残る10秒では0〜2・6〜8に当たる4秒です。
- 合計36＋4＝40秒間です。
間違えやすい点：スイッチを入れた0秒から、2灯とも点き始める条件です。
(3)①
答え：26
- k番目の群はkから始まり、3ずつ増えるk個の数です。7番目までの個数は1＋…＋7＝28個です。
- 35番目は8番目の群の7個目なので、8＋3×6＝26です。
間違えやすい点：群内の7個目は、初項に3を6回加えます。
(3)②
答え：6回
- k番目の群に23があるなら、k＋3j＝23で0≦j≦k－1です。したがってkは23以下で、3で割って2余る数です。
- その群の最大はk＋3(k－1)＝4k－3なので、23以上になる必要があるので、k≧7が必要です。
- 条件を満たすkは8・11・14・17・20・23の6つなので、23は6回現れます。
間違えやすい点：23より小さい群番号でも、その群の最後までに23へ届くか確認します。
第4問｜正六角形が転がる点の軌跡
この大問で学ぶこと
一定の60度を、異なる半径の円弧へ分ける
正六角形の外角は60度です。点Pが再び地面へ来るまでは5回の回転で、中心からPまでの距離は3cm・短い対角線・長い対角線・短い対角線・3cmと変わります。
解くときの着眼点：接地点が変わるたびに、回転の中心も変わります。
(1)
答え：地面上の接地点を中心とする5本の60度の円弧
- 最初のPを地面上の0cmとし、進む方向へ3・6・9・12・15cmの点を順に回転の中心として取ります。
- 半径は順に3cm、PQ、6cm、PQ、3cmです。図の正六角形の配置を1段ずつ転がし、各中心から時計回りの60度の円弧でPの位置をつなぎます。
- 5つ目の円弧の終点は、元のPから18cm進んだ地面上です。Pがここで初めて再び直線へ重なるので、そこで止めます。
間違えやすい点：6回目はP自身が接地点となり、その場に止まります。軌跡の長さを追加しません。
(2)
答え：23.4244cm
- 各円弧は60度なので、全長は半径の和に2×3.14×60/360を掛けます。
- 半径の和は3＋5.19＋6＋5.19＋3＝22.38cmです。
- 22.38×3.14÷3＝23.4244cmです。PQは問題の指定どおり5.19cmを使っています。
間違えやすい点：全ての円弧の半径が3cmではありません。
第5問｜水そうへ直方体を立てて入れる
この大問で学ぶこと
水量一定から、有効な底面積を求める
重りが水面から出ている間、水が占める底面積は重り1本につき36cm²ずつ減ります。水面が21cmを超えた後は、重り全体の体積を使う式へ切り替えます。
解くときの着眼点：重りが水面より高い間と、完全に沈んだ後を分けます。
(1)
答え：12.5cm
- 水量は24×30×10＝7200cm³です。4本の底面積は4×6×6＝144cm²なので、水が占める底面積は720－144＝576cm²です。
- 水深は7200÷576＝12.5cm。重りの高さ21cmより低いので、この式を使えます。
間違えやすい点：重り全体の高さ21cm分を、最初から水中の体積へ加えません。
(2)
答え：11本目
- 水深がちょうど21cmになる本数の境目は、(720－36n)×21＝7200です。n＝220/21＝10と10/21本なので、整数では11本目に超えます。
- 10本では水深7200÷360＝20cm。11本では全て沈み、水深は{7200＋11×36×21}÷720＝21.55cmです。
- 10本で未満、11本で超えることを確かめ、答えは11本目です。
間違えやすい点：11本目は水面から重りが出ないため、底面積を減らす式をそのまま使いません。
第6問｜踏切の警報と2本の電車
この大問で学ぶこと
鳴る時間を、先頭の移動距離へ置き換える
警報地点は近い端の1500m手前です。警報時間には踏切12mと車体の長さも含まれます。2本の場合は、Bが警報を鳴らし始める時刻を逆算してから、両先頭の間隔を求めます。
解くときの着眼点：先頭が警報地点へ来てから、最後尾が渡り終わるまでです。
(1)
答え：67秒間
- Aの時速90kmは毎秒25mです。警報開始から終了まで先頭は1500＋12＋163＝1675m進みます。
- 1675÷25＝67秒間です。
間違えやすい点：車体163mに加えて、踏切の幅12mも必要です。
(2)
答え：228m
- Bの時速108kmは毎秒30mなので、58秒の警報中に先頭は1740m進みます。
- 車体の長さは1740－1500－12＝228mです。
間違えやすい点：警報地点から踏切までの1500mを、車体の長さへ含めません。
(3)
答え：2187m
- Bの警報開始から通過終了までは58秒なので、全体91秒のうちBが警報地点へ着くのはA開始の91－58＝33秒後です。
- この間にAは25×33＝825m進み、まだ踏切の近い端まで1500－825＝675mあります。
- Bの先頭は反対側の端から1500m手前です。両先頭の間隔は675＋12＋1500＝2187mです。
間違えやすい点：2本の開始地点の距離3000mに、踏切の12mも含めて考えます。
第7問｜三方向の見取り図と積み木の切断
この大問で学ぶこと
高さ表から体積・表面積・切り口を別々に求める
ま上の図は置かれている場所、正面と真横の図は高さと段差を表します。高さ表を作ると、体積は数字の和、表面積は隣同士の高さの差、切断面は切る線が通るマスの高さへ整理できます。
解くときの着眼点：上から見た各マスへ、高さを数字で書きます。
(1)
答え：23000cm³
- 上から見た5×5のマスに、奥から順に下表の高さを入れます。最下段は18個、2段目は3個、3段目は2個で、合計23個です。
- 1個は10³＝1000cm³なので、体積は23×1000＝23000cm³です。
| 行 | 左1 | 2 | 3 | 4 | 右5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 奥1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 手前5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
間違えやすい点：ま上の18マスだけでは、2・3段目の5個を数え落とします。
(2)
答え：7800cm²
- 上面と底面は各18枚で36枚です。側面は、外側を高さ0として、隣り合うマスの高さの差を全て足します。
- 左右方向の側面は、奥から各行で4・8・2・4・4枚、計22枚です。前後方向は、左から各列で2・6・4・6・2枚、計20枚です。
- 合計36＋22＋20＝78枚。1枚は100cm²なので7800cm²です。
間違えやすい点：底面も表面積へ含め、高さの段差に露出する面も数えます。
(3)
答え：980cm²
- アからイへの直線は5×5マスの対角線です。奥から順に対角線を通るマスの高さは1・3・1・1・1個です。
- 各マスを横切る幅は、問題指定の正方形の対角線14cmです。高さは10・30・10・10・10cmとなります。
- 切り口はこれらの長方形を並べたものなので、14×(10＋30＋10＋10＋10)＝980cm²です。
間違えやすい点：真ん中の高さ2のマスは切断線の通る位置と違うため、切り口の高さへ加えません。
解き直しの進め方
回転の軌跡は中心と半径、積み木は高さ表、警報は先頭の移動距離を先に書きます。水そうは求めた水深が重りを超えるかまで確認し、使う式を切り替えて解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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