2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2022 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
本郷中学校・2022年度 第1回 算数
全5大問を解説します。小問集合、リフトの待ち時間と道のりの差、4×4の数独、立方体内の四面体と切断について、途中の判断と全ての場合を整理します。
第1問｜逆算と分数・小数の計算
この大問で学ぶこと
計算の順番を戻し、約分できる形を作る
逆算では未知数を含む部分をひとまとまりにします。大きな分母の計算も、後ろに掛ける2022との関係を見れば、小さな整数へ整理できます。
解くときの着眼点：2022＝337×6の関係を使います。
(1)
答え：9/2（4.5）
- (7－□)÷4×3＝2＋1－9/8＝15/8です。
- 7－□＝15/8÷3×4＝5/2なので、□＝7－5/2＝9/2です。
間違えやすい点：÷4×3の逆算は、3で割って4を掛ける順です。
(2)
答え：5
- 2022＝6×337なので、(1/6－54/337)×2022＝337－324＝13です。
- 0.625÷1と9/16＋2.2＝5/8÷25/16＋11/5＝2/5＋11/5＝13/5です。
- 13÷13/5＝5です。
間違えやすい点：大きな分母で通分する前に、分配して約分できるか確認します。
第2問｜比・ページ・速さ・整数・移動図形
この大問で学ぶこと
小問ごとに、少ない手順で条件を整理する
比の差、隣り合う整数、同じ距離、余事象など、条件に合う道具を選ぶ問題です。図形では一辺を求める必要があるか、面積比や底面積の比だけで済むかも考えましょう。
解くときの着眼点：基準量と、全体から除く部分を決めます。
(1)
答え：27個
- Bの個数を2とするとAは1、Cは4より5個少ないので、全体は7より5個少ない量です。
- 51＋5＝56を7等分して1は8。Cは8×4－5＝27個です。
間違えやすい点：CはBの2倍そのものではなく、そこから5個少なくなります。
(2)
答え：34ページ
- 見開きの左右のページは連続する整数です。34×35＝1190なので、小さい方は34ページです。
- 左ページが偶数34、右ページが奇数35となり、本の見開きの条件にも合います。
間違えやすい点：積の組を求めるだけでなく、連続するページか確かめます。
(3)
答え：1200m
- 毎分80mから60mへ変えると所要時間は4：3の逆比で、80mのとき3、60mのとき4です。
- 遅れの差15－10＝5分が1に当たるので、毎分80mでは15分かかります。距離は80×15＝1200mです。
間違えやすい点：10分の遅れを、家から学校までの所要時間として使いません。
(4)
答え：3168個
- 4桁の整数は9000個。5を含まない数は千の位が0と5以外の8通り、残り3桁が5以外の9通りずつです。
- 9000－8×9³＝9000－5832＝3168個です。
間違えやすい点：5が2つ以上ある数を重複して数えるのを避けるため、含まない側を数えます。
(5)
答え：51/4（12.75）cm²
- 正方形の一辺をsとすると対角線が1cmなので、s²＝1/2です。三角形の斜辺ABは10cmで、直角を挟む一辺は10sとなります。三角形全体の面積は25cm²です。
- 通過しない部分は、底辺沿いの帯と斜辺沿いの帯の内側に残る直角二等辺三角形、およびA・B付近の小三角形です。
- 内側の三角形の直角を挟む辺は10s－2s－s＝7s。面積は(7s)²÷2＝49/4cm²です。A・B付近の小三角形は各s²÷2＝1/4cm²です。
- 合計49/4＋1/4＋1/4＝51/4cm²です。
間違えやすい点：正方形は向きを変えず、Pが斜辺上を進む段階でも辺PSはBCと平行です。
(6)
答え：1.57倍
- 回転によってできるのは、底面が正方形の外接円となる円すいです。元の四角すいと高さが同じなので、体積比は底面積比です。
- 正方形の一辺をa、中心から頂点までをrとすると、r²＝a²/2。円の面積は3.14×a²/2なので、正方形の面積a²の1.57倍です。
間違えやすい点：底面の円の半径は、正方形の一辺の半分ではなく対角線の半分です。
第3問｜リフトと距離の差のグラフ
この大問で学ぶこと
グラフの傾きを、移動と待ち時間へ翻訳する
差が増える・減る・一定になる理由を、2人の動きに対応させます。高速のAが最初から動いているとは限りません。待ち時間と乗り継ぎの1分をグラフ上へ置くことが出発点です。
解くときの着眼点：最初は弟が先行していると読みます。
(1)
答え：毎分40m
- 0〜2分は2人とも待ち、2〜5分は弟がBで進んで差が90mになるので、Bの速さは90÷3＝毎分30mです。
- 5〜6分は兄がAで追い、差が90→80mと1分で10m減ります。AはBより毎分10m速いので30＋10＝毎分40mです。
間違えやすい点：グラフの縦軸は進んだ道のりそのものではなく、2人の差です。
(2)
答え：60m
- 弟のB→Cの乗り継ぎは6〜7分の1分間です。6〜6.5分は弟が止まり、兄だけが進むので差の減り方が急になります。
- 6.5〜7分は両者とも停止し差が一定になるため、Aが止まり始めたのは6.5分です。
- 兄は5分から6.5分まで1.5分進んだので、ふもとから40×1.5＝60mです。
間違えやすい点：差が水平な区間だけで停止位置を決めず、その前に兄が動いた時間を求めます。
(3)
答え：毎分20m
- 6分時点の差80mは、兄が0.5分で40×0.5＝20m縮め、6.5〜7分の差は60mです。
- 7〜10分はAとCが同時に進み、3分で差60mがなくなるので、AとCの速さの差は毎分20mです。
- CはAより遅く、40－20＝毎分20mです。
間違えやすい点：60÷3＝20はCの速度そのものではなく、AとCの速度の差です。
第4問｜4×4の数独と場合の数
この大問で学ぶこと
仮定した数字の影響を、行・列・ブロックへ追う
各行・列・2×2ブロックで1〜4を一度ずつ使います。候補を順に仮定し、矛盾を除いた完成形を数える方法です。C＝4では分岐が残るため、決めつけずに列挙しましょう。
解くときの着眼点：確定する3を置いてから、Cで場合分けします。
(1)
答え：D＝4、E＝2
- C＝2とすると、右下ブロックのA＝3、既知の4と合わせてB＝1です。4列目は2・1・3があるのでD＝4です。
- 3行目は既知の3・4とB＝1から、1列目が2です。1列目の上には2を置けません。
- C＝2の2行目は3と2を含み、右上ブロックの残りは1なので2行3列＝1、2行2列＝4。1行目の残りは1・2で、1行1列には2を置けないため1、E＝2となります。
間違えやすい点：Eを行だけで決めず、右上ブロックから2行目を先に埋めます。
(2)
答え：2
- C＝1、A＝3とすると右下ブロックでB＝2です。4列目の残りは4なのでD＝4です。
- 右上ブロックから2行3列＝2、2行目の残りは4なので2行2列＝4。3行目の残りは1なので3行1列＝1。1行目の残り1・2は、1列目に既に1があるため1行1列＝2、E＝1です。
- 3行目は1・3・4・2となるので、左下ブロックの残り2・4を使います。1列目の2・3・1から4行1列＝4となり、F＝2です。
間違えやすい点：FはC＝1という今回の仮定の下で決めます。
(3)
答え：6通り
- C＝1では1通り、C＝2でも1通りです。残るC＝4を調べます。
- C＝4の場合、DとBは1・2を1つずつ使うので2通り。Dを決めると2行目と3行目の残りも決まり、1行1列とEに残った数字を置く方法が2通りずつあります。
- C＝4は2×2＝4通り。全体は1＋1＋4＝6通りです。下の表は完成形を上の行から順に記したものです。
| C | 完成形 |
|---|---|
| 1 | 2134 / 3421 / 1342 / 4213 |
| 2 | 1234 / 3412 / 2341 / 4123 |
| 4 | 1432 / 3214 / 2341 / 4123 |
| 4 | 2431 / 3124 / 1342 / 4213 |
| 4 | 4132 / 3214 / 2341 / 1423 |
| 4 | 4231 / 3124 / 1342 / 2413 |
間違えやすい点：C＝4を1ケースだけ試して終わらず、残る2つの分岐を両方数えます。
第5問｜立方体から作る四面体と切断
この大問で学ぶこと
切り取る部分を見つけ、体積比で引き算する
立方体の一角を切る三角すいは、底面積と高さがすぐ求まります。4頂点を結んだ四面体は周りの4つの三角すいを引いて求め、さらに切るときは切断点が中点であることを使います。
解くときの着眼点：角の三角すいと、相似な小四面体を使います。
(1)
答え：125/6cm³
- Eを含む立体Sは三角すいE-AFHです。底面を三角形EFHとすると面積は5×5÷2＝25/2cm²、高さはEA＝5cmです。
- 体積は25/2×5÷3＝125/6cm³です。
間違えやすい点：三角すいなので、底面積×高さの後に3で割ります。
(2)
答え：125/3cm³
- 四面体Tの外側には、E・B・D・Gを頂点とする合同な角の三角すいが4個あります。各体積は(1)と同じ125/6cm³です。
- 立方体125cm³から除くと、125－4×125/6＝125/3cm³です。
間違えやすい点：外側の三角すいは4個で、立方体の頂点8個全てを引くのではありません。
(3)
答え：875/24cm³
- 平面BGDは、上面の対角線BD、右面の対角線BG、奥の面の対角線DGを通ります。四面体Tの辺CA・CF・CHとの交点は、それぞれ面の対角線の交点なので中点です。
- 切り取られるC側の小四面体はTと相似で、相似比1：2、体積比1：8です。Aを含むUは残り7/8です。
- 125/3×7/8＝875/24cm³です。
間違えやすい点：長さが1/2なら体積は1/8です。1/2だけ引かないようにします。
解き直しの進め方
距離の差のグラフは「差が何mか」と「どちらが動くか」を分けて整理します。数独では仮定ごとの完成形、切断では交点が中点になる理由まで、自分で再現しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
志望校の過去問を、次の学習計画へ
点数だけでは、次に何を直すべきかは決まりません。進塾では、解き方・途中式・つまずいた箇所を確かめ、授業と家庭で取り組む内容を整理します。集団コース・個別指導のご相談を承ります。
赤羽で学習塾をお探しなら
- 会社名
- 進塾
- 住所
- 〒115-0055 東京都北区赤羽西1‐39‐1伊藤ビル3階
- 電話番号
- 03-5924-7747