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武蔵中学校2023年 算数全問解説｜兄弟の部屋分け・行列・重なる正方形・周期

2026年10月28日

SUSUMU JUKU / 2023 EXAM REVIEW

答えの先に、解ける理由を。

武蔵中学校・2023年度 入学試験 算数

全4大問を解説します。約数・部屋分けから、途中で受付能力が変わる行列、正方形の相似、2つの周期の重なりまで、式の理由を整理します。

このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。

第1問｜2023の約数と兄弟の部屋分け

この大問で学ぶこと

条件を分解して、数え落としと重複をなくす

約数は素因数の組み合わせ、部屋分けは人の組と部屋名を分けて数えます。同じ兄弟を同室にしない条件を、残る部屋の定員と結び付けましょう。

解き直しの到達点人・部屋・兄弟の組を区別して、積の式の各数の意味を言えるか。

解くときの着眼点：素因数の選び方と、区別する対象を整理します。

(1) A・B

答え：A＝7、B＝17

  1. 2023÷7＝289＝17×17なので、2023＝7×17×17です。
  2. A×B×Bという形からAは7、Bは17です。

間違えやすい点：繰り返し使われる素数がBです。

(1) 約数の和

答え：2149

  1. 7の倍数の約数には7を使い、17は0個・1個・2個のいずれかを使います。
  2. 7、119、2023の3個なので、和は7＋119＋2023＝2149です。

間違えやすい点：7を使わない約数1・17・289を加えません。

(2) 3人兄弟が2組

答え：36通り

  1. 一方の3人兄弟を松・竹・梅へ1人ずつ入れる方法は3×2×1＝6通りです。
  2. もう一方も各部屋に1人ずつ入れればよく、こちらも6通り。6×6＝36通りです。

間違えやすい点：部屋名は区別されるため、できた組を部屋へ入れる順番も数えます。

(2) 2人兄弟が3組

答え：48通り

  1. 最初の兄弟2人を別の部屋に入れる方法は3×2＝6通り。残る定員は1人・1人・2人です。
  2. 定員2人の部屋には残る各兄弟組から1人ずつ必要です。その2人の選び方は2×2＝4通りです。
  3. 残った2人を定員1人の2部屋へ入れる方法は2通り。6×4×2＝48通りです。

間違えやすい点：定員2人の部屋へ同じ兄弟を2人入れないようにします。

第2問｜途中で窓口が切り替わる行列

この大問で学ぶこと

切り替え前後の減り方の差を使う

処理人数を足すだけでは、途中で加わる前売券の客を落としてしまいます。列の人数が実際に減る速さを考え、切り替えが遅れるほど何人分の差ができるかに注目します。

解き直しの到達点受付能力と列の減少人数を区別し、求めた時刻を両方の列で確かめられるか。

解くときの着眼点：1分の受付人数と、新しく列に加わる人数を分けます。

当日券で入場した人数

答え：420人

  1. 初めは前売券が毎分4×8＝32人、当日券が6×2＝12人。毎分30人加わるので、全体の列は毎分32＋12－30＝14人減ります。
  2. 全部を前売券窓口にすると、毎分10×8－30＝50人減ります。初めからこの速さなら50×50＝2500人減りますが、実際は1240人。差は1260人です。
  3. 切り替え前の1分につき50－14＝36人分だけ減り方が小さいので、前半は1260÷36＝35分。当日券は12×35＝420人です。
  4. 検算：初めの前売券820人は35分間で70人減って750人。残る15分で50×15＝750人が減り、12時50分に全員いなくなります。
列の減り方を比較する
時間帯毎分の受付人数毎分加わる人数列の減少
切り替え前32＋12＝44人30人14人
切り替え後80人30人50人

間違えやすい点：毎分の追加30人は、窓口を切り替えた後も続きます。

第3問｜重なる2つの正方形

この大問で学ぶこと

傾いた辺を、横と縦の長さへ分解する

正方形が傾いていても、直角三角形の対応を見つければ長さの比が決まります。面積は傾いた正方形を囲む大きな正方形から三角形を引いて求め、重なりを別に整理します。

解き直しの到達点相似の対応と、面積を引く範囲を原図で示せるか。

解くときの着眼点：辺の直交から相似を作り、共通部分を引きます。

(1)

答え：7.5cm

  1. 三角形BFCとCGHは直角三角形で、BCとCHが直角なので相似です。BF：CF＝CG：GHです。
  2. BFをx cmとすると、CG＝x－3cm。x：3＝(x－3)：1.8より、1.8x＝3x－9です。
  3. 1.2x＝9、x＝7.5cmです。

間違えやすい点：BFとCGをそのまま同じ長さとせず、CFの3cmを引きます。

(2)

答え：24.3cm²

  1. 傾いた正方形ABCDの1辺は横7.5cm・縦3cm進む向きです。これを囲む1辺10.5cmの正方形から、直角三角形4つを引くと、面積は10.5×10.5－4×7.5×3÷2＝65.25cm²です。
  2. 重なる四角形BEHCは正方形EBFGから三角形BFCとCGHを引いた部分です。面積は7.5×7.5－7.5×3÷2－4.5×1.8÷2＝40.95cm²です。
  3. 斜線部分は65.25－40.95＝24.3cm²です。

間違えやすい点：重なりを求めず、2つの正方形の面積差だけを使うと答えが変わります。

第4問｜キッカーとキーパーの周期

この大問で学ぶこと

両方を経験することと、同回数になることを分ける

キッカーが一周する球数は人数N、キーパーがAからAへ戻る球数は交代球数dの2倍です。両方の並びが元へ戻る最小公倍数まで表を書き、各人がA・Bに何回当たるかを数えます。

解き直しの到達点全員が両方に当たっても、回数が偏ると終了できないことを説明できるか。

解くときの着眼点：人数の周期と、A・Bの交代周期を重ねます。

(1)

答え：3、5、6、7

  1. 人数8とキーパーの周期2dの最小公倍数まで、各キッカーの列を調べます。
  2. d＝1・2・4では、毎回同じキーパーに固定されます。d＝3・5・6・7では、各人の列にAとBの両方が現れます。
  3. この設問は同じ回数を求めていないため、A・Bの回数が違っても両方が現れれば条件を満たします。
キッカー8人の周期表
交代球数一巡の1人当たりの球数Aと当たる回数全員の対戦相手同回数の条件
110〜1片方に固定終了できない
210〜1片方に固定終了できない
331〜2両方終了できない
410〜1片方に固定終了できない
552〜3両方終了できない
631〜2両方終了できない
773〜4両方終了できない

間違えやすい点：dは人数8より小さいので、候補は1〜7です。

(2)Ⅰ

答え：イ、エ

  1. ア（3人・1球交代）は6球で、各人がA・Bに1回ずつ当たって終了できます。ウ（7人・2球交代）は28球で各人が2回ずつ当たります。
  2. イ（4人・1球交代）は各人の相手が固定されます。エ（8人・3球交代）は24球で一巡し、各人は3回蹴ってA・Bの回数が2対1か1対2になります。
  3. 終了時には全員の球数とA・B全体の球数がそろうため、総球数は人数と2dの公倍数です。エは一巡を重ねても各人の回数差が広がり、同回数になりません。

間違えやすい点：エでは全員が両方と対戦できますが、同じ回数にはできません。

(2)Ⅱ あ

答え：2、4

  1. 6人の場合、d＝1・3では相手が固定され、d＝5では一巡の1人当たり5球でA・Bが3対2または2対3です。
  2. d＝2は12球で各人が1回ずつ、d＝4は24球で各人が2回ずつA・Bと当たり、終了できます。
キッカー6人の周期表
交代球数一巡の1人当たりの球数Aと当たる回数全員の対戦相手同回数の条件
110〜1片方に固定終了できない
221両方終了できる
310〜1片方に固定終了できない
442両方終了できる
552〜3両方終了できない

間違えやすい点：一巡で回数差がある候補は、繰り返しても差が消えません。

(2)Ⅱ い

答え：4、8

  1. 12人の場合、d＝1・2・3・6は片方に固定されます。残る候補は下の周期表で回数を調べます。
  2. d＝4は24球で各人1回ずつ、d＝8は48球で各人2回ずつ当たります。他の候補は一巡の回数が奇数で、A・Bの回数が等しくなりません。
キッカー12人の周期表
交代球数一巡の1人当たりの球数Aと当たる回数全員の対戦相手同回数の条件
110〜1片方に固定終了できない
210〜1片方に固定終了できない
310〜1片方に固定終了できない
421両方終了できる
552〜3両方終了できない
610〜1片方に固定終了できない
773〜4両方終了できない
842両方終了できる
931〜2両方終了できない
1052〜3両方終了できない
11115〜6両方終了できない

間違えやすい点：A・B全体の交代回数だけでなく、キッカーごとの回数を確認します。

解き直しの進め方

部屋分けは何を区別するか、行列は毎分の増減、図形は相似の対応、周期は各人の対戦回数を確認しましょう。答えが合うだけでなく、候補を落とさず調べた理由まで説明することを目標にします。

段階取り組むこと確認すること
1｜原因を分ける間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分けるどこで手が止まったかを言葉にする
2｜解説を閉じる自分で図や式を作り直す同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか
3｜時間を空ける日を改め、類題と合わせて再挑戦する条件が変わっても使える考え方になったか

志望校の過去問を、次の学習計画へ

点数だけでは、次に何を直すべきかは決まりません。進塾では、解き方・途中式・つまずいた箇所を確かめ、授業と家庭で取り組む内容を整理します。集団コース・個別指導のご相談を承ります。

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記事カテゴリ： 中学校別対策武蔵中学校対策

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