2026年10月27日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
開智中学校・2025年度 第1回入試（開智・開智所沢共通） 算数
計算と文章題の小問8題、周回コースの速さ、平行四辺形の線分比・面積比、タイルの数え上げを扱う4大問です。問題に添付された訂正票に従い、第2問のDE：FGは図の見た目によらず3：4として解きます。
第1問｜計算・仕事算・通過算・数の並び
この大問で学ぶこと
小問ごとに、使える量を選ぶ
計算は分数へ、仕事算は1時間の仕事量へ、通過算は相対的な距離へ置き換えます。規則性や筆算では、求めた数を元の並びやけた数へ戻して確かめることが重要です。
解くときの着眼点：式の基準と単位をそろえ、余りや範囲の条件を最後まで使います。
(1)
答え：27/26（1と1/26）
- 2.25＝9/4、3.25＝13/4、1と11/16＝27/16です。引かれた量は81/16－27/16＝27/8です。
- □＝27/8÷13/4＝27/26です。
間違えやすい点：小数と帯分数を分数へそろえてから逆算します。
(2)
答え：260円
- ノート4冊は消しゴム12個分より80円高いので、全体は消しゴム17個分と80円です。消しゴムは(1440－80)÷17＝80円です。
- ノートは80×3＋20＝260円。260×4＋80×5＝1440円と確かめられます。
間違えやすい点：20円多いのはノート1冊ごとなので、4冊では80円です。
(3)
答え：26時間15分
- 仕事全体を1とすると、Bの1時間分は1/14－1/30＝4/105です。
- Bだけの時間は1÷4/105＝105/4時間。1/4時間＝15分なので26時間15分です。
間違えやすい点：時間そのものを引くのでなく、1時間の仕事量を引きます。
(4)
答え：秒速33m
- 急行は120m、普通は100mで、完全通過の相対距離はいずれも220mです。速さの和は220÷4＝55、差は220÷20＝11m毎秒です。
- 急行の速さは(55＋11)÷2＝秒速33mです。
間違えやすい点：すれ違いは和、追い越しは差を使います。訂正票のとおりの文で解きます。
(5)
答え：2025
- 九九の和は(1＋2＋…＋9)×(1＋2＋…＋9)とまとめられます。
- 1＋2＋…＋9＝45なので、45×45＝2025です。
間違えやすい点：81個を別々に足す前に、行と列の共通の和を考えます。
(6)
答え：17
- 16までの個数は1＋2＋…＋16＝136個、17まででは136＋17＝153個です。
- 137～153番目は17なので、150番目も17です。
間違えやすい点：求めるのは段の中の位置ではなく、その位置に書かれた数です。
(7)
答え：161
- 最後に引く積が1けた、余りが6なので、割る数は7・8・9の候補です。最後の商は1となり、その直前の数は13・14・15。前段の余りはいずれも1です。
- 中央の積の一の位は8なので、候補は7×4＝28、8×6＝48、9×2＝18です。その直前の数は29・49・19でなければなりません。
- 最初の2けたは12です。12から7・8・9を引いた余りは5・4・3。次の数が29・49・19の候補と一致するのは割る数8の場合だけです。
- 1294÷8＝161余り6。筆算は12－8＝4、49－48＝1、14－8＝6となります。
間違えやすい点：丸の位置に指定されたけた数も使います。最後の商だけを探して終わらないようにします。
(8)
答え：138.08cm³
- 四角すいの体積は9×9×20÷3＝540cm³です。完全に沈めると同じ体積の水を押しのけます。
- 上端までの空きは2cmで、体積は8×8×3.14×2＝401.92cm³。あふれる量は540－401.92＝138.08cm³です。
間違えやすい点：押しのけた水全部があふれるわけではなく、上部の空きを引きます。
第2問｜異なる周回コースと加速
この大問で学ぶこと
コースが違っても、同じ時間で比べる
同じコースを回る時間から速さの比を求め、異なるコースで同時に帰着する条件から距離の比を作ります。加速後は、それまでに進んだ距離を引き、残る道のりを同じ時間で比べます。
解くときの着眼点：同じ時間の距離比と、長方形の辺の関係を組み合わせます。
(1)
答え：太郎：次郎＝13：10
- 同じコースXを1周する時間は10：13です。
- 同じ距離の速さの比は時間の逆比なので13：10です。
間違えやすい点：コースXとYの時間を比べた条件ではありません。
(2)
答え：AB：BC＝7：6
- 太郎がCに着く時間に、次郎はBCの中点に着きます。進んだ距離の比は(AB＋BC)：(AB＋BC/2)＝13：10です。
- 差の3部分がBCの半分なのでBC＝6部分。次郎の10部分から3部分を引きAB＝7部分です。
間違えやすい点：次郎が進んだ距離にはABも含まれます。
(3)
答え：AG：FE＝20：13
- 太郎を毎分13、次郎を毎分10と仮に置くと、X＝130、Y＝100です。XとYの差は、長方形の辺の関係からEFの2倍なのでFE＝15です。
- DE：FG＝3：4より、AB＝7k。前問からBC＝AG＝6kです。Yは2(AB＋BC)＝26k＝100なのでk＝50/13です。
- AG＝300/13、FE＝15＝195/13なので比は20：13です。問題・解答用紙の指定はAGとFEです。
間違えやすい点：訂正票どおりDE：FG＝3：4を使います。図の見た目や保管解答例のCE表記で読み替えません。
(4)
答え：加速後の太郎：次郎＝7：4
- 長さを13分の1の単位で置くと、AB＝350/13、BC＝AG＝300/13、DE＝CF＝150/13、FG＝200/13、FE＝195/13です。
- 次郎がFに着くまで800/13÷10＝80/13分。この間の太郎の距離は80で、コースXのAからFまでの距離1190/13より150/13手前です。
- Gまで太郎は(150＋200)/13＝350/13、次郎は200/13残ります。同時にGに着くので速さの比は350：200＝7：4です。
間違えやすい点：加速前の太郎がどこまで進んだかを先に確かめます。
第3問｜平行四辺形の交点と面積の二等分
この大問で学ぶこと
補助線1本で、線分比を面積へ渡す
平行四辺形の中で交わる線分は、辺の比をそのまま使えません。延長線に相似な三角形を作り、共通する全体で比をそろえてから面積へ進みます。二等分する直線も面積条件から位置を求めます。
解くときの着眼点：PQを延長し、平行な辺で相似な三角形を作ります。
(1)
答え：AR：RC＝5：2
- PQをQの先へ延長し、ADの延長との交点をTとします。CQ＝QD、PCとDTが平行なので、三角形CQPとDQTは合同です。DT＝PCとなります。
- BP＝1、PC＝2とするとAD＝BC＝3なのでAT＝5。三角形ATRとCPRは相似で、AR：RC＝AT：PC＝5：2です。
間違えやすい点：TはADの外側の延長上です。AT＝AD＋DTと足します。
(2)
答え：PR：RQ＝4：3
- 前問の相似からPR：RT＝PC：AT＝2：5なので、PRはPTの2/7です。
- QはPTの中点なのでPQはPTの1/2。PR：PQ＝(2/7)：(1/2)＝4：7よりPR：RQ＝4：3です。
間違えやすい点：RTとRQを取り違えず、同じPT全体へ比をそろえます。
(3)
答え：四角形ABPR：四角形ARQD＝17：18
- 全体の面積を42とすると、対角線で分かれるABCとACDは21ずつです。AR：AC＝5：7より三角形ABR＝15、BCR＝6です。
- BP：BC＝1：3なので三角形BPR＝2、四角形ABPR＝15＋2＝17です。
- 三角形RCDはACDの2/7で6、QはCDの中点なのでRCQ＝3。四角形ARQD＝21－3＝18です。
間違えやすい点：2つの四角形だけで全体を分けているわけではありません。
(4)
答え：AS：SD＝17：8
- BSとACの交点をUとします。四角形ABPRを二等分するため、三角形ABU＝17/2。ABC＝21なので、同じ高さからAU：AC＝17：42、AU：UC＝17：25です。
- 三角形ASUとCBUは相似なのでAS：BC＝AU：UC＝17：25。BC＝ADよりAS：AD＝17：25です。
- ADを25とするとSD＝8となり、AS：SD＝17：8です。
間違えやすい点：求めたAS：ADを、AS：SDへ直してから答えます。
第4問｜対角線が通らないタイルの枚数
この大問で学ぶこと
面積の倍率と、タイルの個数を分ける
図形を拡大しても、斜めの境界にかかるタイルの枚数は面積と同じ割合では増えません。対角線が通るタイルを全体から除き、残る部分を二等分することで、長方形の大きさが変わっても数えられます。
解くときの着眼点：対角線の両側の対称性と、格子点を通る回数を利用します。
(1)
答え：6枚
- 4×4の正方形では、対角線が4枚のタイルを通ります。残りは対角線の両側に等しく分かれます。
- (16－4)÷2＝6枚。段ごとに3＋2＋1とも確かめられます。
間違えやすい点：対角線に頂点が触れるだけで内部を横切らないタイルは残します。
(2)
答え：120枚
- 16×16＝256枚のうち、対角線が16枚を通ります。
- (256－16)÷2＝120枚。15＋14＋…＋1の和でも同じです。
間違えやすい点：4×4の答えを面積の倍率だけで増やすのではなく、境界の枚数を求め直します。
(3)
答え：9枚
- 4と7は互いに素なので、対角線は途中の格子点を通りません。縦方向の境界3本、横方向の境界6本を別々に越え、最初の1枚を合わせ10枚の内部を通ります。
- (4×7－10)÷2＝9枚です。列ごとに3・2・2・1・1・0・0とも確認できます。
間違えやすい点：斜めにかかるタイルを、三角形の面積として半分だけ数えないようにします。
(4)
答え：204枚
- 16と28の最大公約数は4で、対角線は4×7の同じ配置を4回繰り返します。対角線が内部を通るタイルは10×4＝40枚です。
- 全体448枚から40枚を除いて両側へ分けると(448－40)÷2＝204枚です。
間違えやすい点：対角線が途中の格子点を通るところでは、縦横の境界を同時に越えます。
解き直しの進め方
第1問で基準・単位の取り違えを整理してから、第2問はコースX・Yと加速時の位置を描き直します。第3問はPQの延長から相似を作る一手、第4問は対角線が通るタイルの数え方を、解説を閉じて説明できるか確認しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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