2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2020 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
淑徳与野中学校・2020年度 第1回 算数
全6大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。計算・時間の単位・同じ数の空欄、仕事・2個ずつの重さ・円のすき間、円すい台と転がした跡、昼食費とバスの台数、正多角形・内接円・面積比、巻き付けた紙の厚さを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜計算・時間の単位・同じ数の空欄
この大問で学ぶこと
分数の差と、積のまとまりを見つける
連続する整数の積の逆数は分数の差へ直せます。時間は1日86400秒を基準に商と余りを順番に出し、同じ数の空欄は二乗をひとまとまりにします。
解くときの着眼点：単位をそろえ、式を順にほどきます。
(1)
答え：6.4
- 15.2－4と1/5＝11、0.2×11＝2.2です。
- 1と1/5×2÷0.8＝3なので、3×2.2－0.2＝6.4です。
間違えやすい点：掛け算・割り算は左から順に処理します。
(2)
答え：4/21
- 1/(n(n＋1))＝1/n－1/(n＋1)を使います。
- 1/3－1/4＋1/4－1/5＋1/5－1/6＋1/6－1/7＝1/3－1/7＝4/21です。
間違えやすい点：途中の分数が打ち消し合います。
(3)
答え：23日9時間8分33秒
- 2020113秒から23日分1987200秒を引くと32913秒です。
- 9時間分32400秒を引いて513秒。8分分480秒を引いて33秒です。
間違えやすい点：時間の換算は100進法ではありません。
(4)
答え：5
- 空欄をxとすると、(x＋2)(x－2)－5＝x²－9です。
- x²×(x²－9)＝400。25×16＝400なのでx²＝25、空欄の正の数は5です。
間違えやすい点：25は空欄そのものではなく、その二乗です。
第2問｜仕事・2個ずつの重さ・円のすき間
この大問で学ぶこと
同じ量を二重に数えた式と、面積の差を整理する
2個ずつの重さの合計は全体の2倍です。円のすき間は中心を結んだ三角形から扇形を引き、使った水は最後の量から逆算します。
解くときの着眼点：合計や一定量に戻して考えます。
(1)
答え：1時間15分
- 淑子と徳子の1時間の能率は1/12＋1/6＝1/4です。1.5時間で3/8終わります。
- 残り5/8を、1時間に1/2進む花子がするので、5/8÷1/2＝5/4時間＝1時間15分です。
間違えやすい点：求めるのは花子が残りをする時間です。最初の1時間30分を足した総時間は2時間45分になります。
(2)
答え：48g
- 3個全部は(82＋87＋91)÷2＝130gです。
- 最も軽い2個の合計82gを引き、最重は130－82＝48gです。
間違えやすい点：91gから差を引くより、全体の重さを出すと簡単です。
(3)
答え：258.64cm²
- 円5個の面積は4²×3.14×5＝251.2cm²です。
- 円の中心を結んだ1辺8cm・高さ14.9－8＝6.9cmの三角形から、60度の扇形3個を引いたすき間が3個あります。
- すき間1個は8×6.9÷2－4²×3.14÷2＝2.48cm²です。
- 合計251.2＋2.48×3＝258.64cm²です。
間違えやすい点：斜線には円の間の小さいすき間3個も含まれます。
(4)
答え：150L
- 最初x Lとすると、最後は(0.8x－20)×0.8＝0.64x－16です。
- これが0.5x＋5なので0.14x＝21、x＝150Lです。
間違えやすい点：2回の20％は、それぞれその時点で残っている量に対する割合です。
第3問｜円すい台と転がした跡
この大問で学ぶこと
相似な円すいの差と、側面の展開をつなぐ
上面半径5cm、下面半径10cmなので、延長した円すいの相似比は1：2です。転がしたときに机へ付くのは、円すい台の側面を開いた輪の扇形です。
解くときの着眼点：側面を延長して元の円すいを作ります。
(1)
答え：2198cm³
- 上の小円すいは高さ12cm、下までの大円すいは高さ24cmです。
- 体積は10²×24π÷3－5²×12π÷3＝700π＝2198cm³です。
間違えやすい点：図の12cmは円すい台の高さです。
(2)
答え：外半径26cm・内半径13cmの輪の扇形
- 母線を延長して頂点Oを作り、OQ＝26cm、OP＝13cmとします。
- 机の上ではOを中心に、半径26cmと13cmの同心円の一部を描き、最初と最後のPQの位置で区切ります。
- 外側の弧は底面の円周20πcm、中心角は360×10/26＝1800/13度です。その輪の扇形の内部をぬります。
間違えやすい点：半円や円全体ではありません。内側にも半径13cmの穴があります。
(3)
答え：612.3cm²
- 輪の扇形の面積は(26²－13²)π×10/26です。
- 507×5/13×3.14＝195×3.14＝612.3cm²です。
間違えやすい点：円すい台の側面積π(10＋5)×13でも同じ値になります。
第4問｜昼食費とバスの台数
この大問で学ぶこと
段階的に増える固定費を含めて最小人数を求める
この設問の税率を使い、1人につき安くなる額からバス1台ごとの処分費を引きます。50人を超えるたび台数が増えるため、人数の境目も確認します。
解くときの着眼点：1人当たりと1台当たりを分けます。
(1)
答え：レストラン495000円、バス488475円
- レストランは1人1800×1.1＝1980円で、250人なら495000円です。
- 弁当は1人1800×1.08＝1944円。5台分の処分費495×5＝2475円を加え、1944×250＋2475＝488475円です。
間違えやすい点：処分費495円は税込みで、バス1台当たりです。
(2)
答え：388人
- 1人の差は1980－1944＝36円です。参加人数n、バス台数kなら差は36n－495kです。
- k台に最大50k人乗せた場合の差は1305k円なので、7台以下では最大9135円で足りません。
- 8台の場合、36n－3960≧10000よりn≧387と7/9。最小の整数388人です。
- 388人は8台に乗れ、差は10008円。387人では9972円なので条件を満たしません。
間違えやすい点：最初に台数の下限を調べてから、人数を求めます。
第5問｜正多角形・内接円・面積比
この大問で学ぶこと
高さ比と対角線から面積比を求める
正三角形では中心から頂点までと辺までの距離が2：1です。正方形では対角線が円の直径になり、正六角形は6個の正三角形へ分けて考えます。
解くときの着眼点：同じ円の半径を基準に比べます。
(1)ア
答え：1/4倍
- 大きい正三角形の内接円半径は、頂点までの距離の半分です。
- 小三角形の外接円がその円なので、三角形同士の相似比は1：2、面積比は1：4です。
間違えやすい点：円の面積を経由せず、三角形の相似で比べられます。
(1)イ
答え：1/2倍
- 大きい正方形の1辺が円の直径で、小さい正方形の対角線が同じ直径です。
- 小さい正方形の面積は対角線²÷2なので、大きい正方形の半分です。
間違えやすい点：小さい正方形の1辺と円の直径は等しくありません。
(2)
答え：3/8倍
- 円の半径をrとします。正六角形の中心から各辺へ垂線を下ろすと、30度・60度・90度の直角三角形12個に分かれ、短い辺がr/√3、長い辺がrです。
- 内接する正三角形を中心から6個の同じ形の直角三角形へ分けると、短い辺はr/2、長い辺は√3r/2です。1個の面積は、六角形側の1個の3/4です。
- 個数は6：12なので、面積比は3/4×1/2＝3/8です。
間違えやすい点：ここで外接三角形の角を落とす小三角形は、元の各辺を3等分した形ではありません。
第6問｜巻き付けた紙の厚さ
この大問で学ぶこと
体積から厚さを求め、半径の増加へ戻す
芯の直径8cm、外側の直径18cmなので、紙は半径4～9cmの部分です。紙を全部伸ばした直方体の体積と等しいことを使います。
解くときの着眼点：中空の円柱の体積を紙の体積とみなします。
(1)
答え：4082cm³
- 紙の体積は(9²－4²)×3.14×20＝4082cm³です。
間違えやすい点：紙の幅20cmが円柱の高さです。
(2)
答え：0.02041cm
- 伸ばした紙は長さ10000cm、幅20cmです。
- 厚さは4082÷(10000×20)＝0.02041cmです。
間違えやすい点：100mは10000cmです。
(3)
答え：244回
- 1回巻くと半径が紙の厚さだけ増えます。半径の増加は9－4＝5cmです。
- 5÷0.02041＝約244.98回なので、指定どおり小数第1位以下を切り捨てて244回です。
間違えやすい点：四捨五入して245回にしないようにします。
解き直しの進め方
転がりは側面の展開、費用は人数と台数、図形は同じ円の半径、巻数は紙の厚さに戻して確認しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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