2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
開智中学校・2021年度 先端A 算数
全4大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。整数・順位・得点・交点、燃料切れの船と流水、台形を分ける線と交点、回転・裏返しを同一視するタイルを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜整数・順位・得点・交点
この大問で学ぶこと
同じものの重複と、整数の境界に注意する
同じ数字4を含む並べ替えでは重複を除きます。最高・最低点のある平均は、7点からの増減で考えます。交点は平行な辺の長さを利用します。
解くときの着眼点：条件を式に直し、数える順を決めます。
(1)
答え：1/32
- 2.8÷3.2－5/24＝7/8－5/24＝2/3。これに0.375＝3/8を掛けると1/4です。
- 1/4－□＝1/8×7/4＝7/32なので、□＝1/32です。
間違えやすい点：外側の割り算を先に戻します。
(2)
答え：936枚
- 全体x枚とすると、太郎はx/3＋72、次郎はx/4＋30、三郎は5x/12－102です。
- 三郎＝太郎の3/4より、5x/12－102＝x/4＋54。x/6＝156なのでx＝936枚です。
間違えやすい点：全体の3/4ではなく、太郎の枚数の3/4です。
(3)
答え：150個
- 同じ3つの余りを持つ数の差は、6・15・20の最小公倍数60の倍数です。
- 2021と同じ余りの4桁の数は1001から9941まで60ずつ並びます。
- (9941－1001)÷60＋1＝150個です。
間違えやすい点：両端を含めるので最後に1を足します。
(4)
答え：13分20秒
- 通常の速さをv、時間をt分とすると、10t＝4(v＋10)/3、10t＝5(v－10)/3です。
- 4v＋40＝5v－50よりv＝90。10t＝400/3なのでt＝40/3分です。
- 13分20秒です。
間違えやすい点：1分20秒は4/3分、1分40秒は5/3分です。
(5)
答え：53個
- 先頭5の次が2・3なら、残り4桁に同じ4が2個あるので各12個です。次が4なら残りは1・2・3・4の異なる数字で24個です。ここまで48個です。
- 51で始まる場合、3桁目は4でなければ514234を超えません。514の後ろで234より大きい並びは243・324・342・423・432の5個です。
- 48＋5＝53個です。
間違えやすい点：同じ4が2枚あるため、残る数字の並べ方はその都度重複を除きます。
(6)
答え：27人
- 総得点は32×7.25＝232点で、全員7点の224点より8点多くなります。
- 最低4点の人で3点減るので、他の人で合計11点増やす必要があります。1人の増分は最大3点なので、7点以外が少なくとも5人必要です。
- 27人が7点、残りが4・9・10・10・10点なら232点になるため、最大27人です。
間違えやすい点：最高点と最低点の人を、7点の人に含めません。
(7)
答え：224回
- 10の因数は2と5の組です。2は十分にあるので、100～999の積に含まれる5を数えます。
- 5の倍数180個、25の倍数36個、125の倍数7個、625の倍数1個です。
- 180＋36＋7＋1＝224回です。
間違えやすい点：25や125には5が複数あるので、重ねて数えます。
(8)
答え：4：1：5
- AD＝BCを3とするとED＝2です。EDとBCが平行なので、三角形EDHとCBHの相似よりEH：HC＝2：3です。
- EBCFは平行四辺形なので、対角線ECとBFの交点IはECの中点です。
- ECを10とするとEH＝4、EI＝5、IC＝5なので、EH：HI：IC＝4：1：5です。
間違えやすい点：HIはEI－EHです。
第2問｜燃料切れの船と流水
この大問で学ぶこと
流される時間から、流速を基準に速さをそろえる
すれ違い後、Bが流れだけでQまで進む時間と、AがQから戻った時間を比べます。停泊5分と出発差10分を、移動時間へ混ぜないようにします。
解くときの着眼点：予定と実際の時刻を一本の時間軸に置きます。
(1)
答え：2：1
- AがQへ着いた時刻をd分後とすると、Aはd＋5分後に出発し、d＋13分後にBとすれ違います。
- BがQへ着くのはd＋29分後なので、すれ違いから16分間、流れに乗ります。
- 同じQからの距離をAは8分、流れは16分で進むので、Aの上りの速さ：流速＝2：1です。
間違えやすい点：すれ違いまでの8分は、5分の停泊後から数えます。
(2)
答え：21：29
- 流速を1とすると、Aの上りは2、静水は3、下りは4です。移動時間135分は下り45分・上り90分となり、PQの長さは180です。
- Bは10分遅れて出発し45分後に着く予定なので、予定の下りは35分。速さは180/35＝36/7、静水は29/7です。
- A：B＝3：29/7＝21：29です。
間違えやすい点：2時間20分から停泊5分を引いた135分を使います。
(3)
答え：36分後
- RからQへの距離をxとすると、流された時間はx、エンジンが動く場合は7x/36です。
- その差29分からx－7x/36＝29、x＝36です。
- PからRは180－36＝144。Aの下りの速さ4で割ると36分後です。
間違えやすい点：求めるのはBの燃料が切れた時刻ではなく、AがRを通過した時刻です。
第3問｜台形を分ける線と交点
この大問で学ぶこと
面積を、平行線の相似と差で求める
台形の全体面積は18cm²です。斜辺上の点の高さはCDを分ける比から求め、交点を含む五角形は下側の四角形と小さい三角形へ分けます。
解くときの着眼点：直角な辺を高さの基準にします。
(1)
答え：8.25cm²
- Qの高さはCQ/CD＝1/4より1cmです。QからABに平行な線を下ろすと、横の位置は6－3/4＝5.25cmです。
- PBCQの面積は、幅5.25cm・高さ2cmと1cmの台形7.875cm²に、底辺0.75cm・高さ1cmの三角形0.375cm²を足して8.25cm²です。
間違えやすい点：CQ＝1.25cmを、そのまま垂直な高さにしません。
(2)
答え：4：3
- CS/CDをtとすると、Sの高さは4t、Bからの横の位置は6－3tです。
- RBCSの面積は、対角線BSで分けて、三角形BCSの12tと三角形BRSの(6－3t)/2の和です。
- 全体18の半分9なので、3＋10.5t＝9、t＝4/7です。よってCS：SD＝4：3です。
間違えやすい点：分割線RSで台形を2つの台形とみなすことはできません。
(3)
答え：183/26（7と1/26）cm²
- RとQの高さはともに1cm、RQ＝5.25cmです。Tの高さは4×2/5＝1.6cm、横の位置は6－3×2/5＝4.8cmです。
- RTをADの直線まで延ばしVとすると、横4.8で高さ0.6増すので、高さ3増すAV＝24cmです。
- AVとRQが平行なのでAU：UQ＝24：5.25＝32：7。三角形ARQの面積63/8cm²の7/39がRQUで、147/104cm²です。
- RBCQの面積は(6＋5.25)×1÷2＝45/8。これにRQUを足して183/26cm²です。
間違えやすい点：五角形はRBCQとRQUの和です。Qより下側だけで計算を終えないようにします。
第4問｜回転・裏返しを同一視するタイル
この大問で学ぶこと
対称性を使って、同じ並べ方をまとめる
中心・角・辺の中央など、位置の種類で場合分けします。黒が2枚のときは位置を交換しても同じ配置なので、最初の1枚の選び方で重複しないようにします。
解くときの着眼点：黒の位置の種類から分類します。
(1)
答え：3通り
- 黒1枚の位置は中心、角、辺の中央の3種類です。
間違えやすい点：4つの角は回転で一致します。
(2)
答え：8通り
- 黒2枚の位置を、中心を含むもの・角同士・辺中央同士・角と辺中央に分けます。
- 中心を含むもの2通り、角同士2通り、辺中央同士2通り、角と辺中央2通りです。
- 合計8通りです。
間違えやすい点：角と辺中央の組は、その辺が角に接するかどうかで分けます。
(3)
答え：21通り
- 4×4では位置を角4個、角以外の外周8個、内側4個に分けます。
- 黒2枚の組を回転・裏返しでまとめると、角同士2、角と外周4、角と内側3、外周同士6、外周と内側4、内側同士2通りです。
- 合計2＋4＋3＋6＋4＋2＝21通りです。
| 位置の組 | 種類 |
|---|---|
| 角・角 | 2 |
| 角・外周（角以外） | 4 |
| 角・内側 | 3 |
| 外周・外周（角以外） | 6 |
| 外周・内側 | 4 |
| 内側・内側 | 2 |
間違えやすい点：左右対称に見えるだけでなく、黒2枚の組全体が重なるか確認します。
解き直しの進め方
時間軸、台形内の高さ、回転と裏返しを区別して、途中式や場合分けを再現できるか確かめましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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