2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2019 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
本郷中学校・2019年度 第1回 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。小数・分数の計算と逆算、流水算・平均・折り返し・回転移動、動く2点と三角形の面積グラフ、正方形を並べて求める角、各位の数字の和で作る数列を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜小数・分数の計算と逆算
この大問で学ぶこと
大きな数の割り算を比として処理する
小数のまま筆算せず分数の積に変えます。逆算では割る数を先に求めてから、かっこへ戻ります。
解くときの着眼点：分数にそろえて約分します。
(1)
答え：41
- 1と1/20×8＝42/5、2.25＋2/3＝35/12。差は329/60です。
- 329/60÷7/60＝47。1.125÷3/16＝9/8×16/3＝6です。
- 47－6＝41です。
間違えやすい点：引き算はかっこを処理した後に行います。
(2)
答え：14/3（4と2/3）
- 2019÷1346＝3/2なので、大きなかっこ内は3/2です。
- 7÷□＋5＝8－3/2＝13/2より7÷□＝3/2。
- □＝7÷3/2＝14/3です。
間違えやすい点：2019÷(3/2)＝1346で確認します。
第2問｜流水算・平均・折り返し・回転移動
この大問で学ぶこと
図の段差と、面積が保存される折り返し
ボールの落下は15cmの段差を含みます。正方形の転がりは、各頂点を中心とする四分円の区間に分解して面積を求めます。
解くときの着眼点：比べる基準をそろえます。
(1)
答え：時速6km
- 下りは18÷2＝時速9km、上りは18÷6＝時速3kmです。
- 静水時は(9＋3)÷2＝時速6kmです。
間違えやすい点：流速は(9－3)÷2＝時速3kmです。
(2)
答え：9人
- 全得点は40×3.2＝128点。既知の得点合計は4×2＋15×3＋7×5＝88点です。
- 1点と4点の人数の合計は13人、得点合計は40点。全員1点なら13点です。
- (40－13)÷(4－1)＝9人が4点です。
間違えやすい点：1点は4人で、人数も40人に戻ります。
(3)
答え：70円
- 2組の購入の差より、ガム・アメ・チョコ1個ずつで90円です。
- 初めの組からその2倍を引くと、アメ1個・チョコ2個になります。
- 250－90×2＝70円です。
間違えやすい点：各品物の単価をすべて出す必要はありません。
(4)
答え：54
- 最初に落ちた距離の2/5が30cmなので、その距離は75cmです。
- 1回目のはね上がりは45cm。低い地面まで15cmあるので、次の落下は60cmです。
- 2回目のはね上がりは36cm。Aは低い地面から90cmなので、x＝90－36＝54です。
間違えやすい点：15cmの段差を最初の落下距離に含めません。
(5)
答え：4.8cm
- 三角形ABDの面積は3×4÷2＝6cm²です。
- 底辺BD＝5cmに対するAの高さは6×2÷5＝2.4cm。
- 折り返しで高さが反対側へ同じだけ移るのでAA′＝2.4×2＝4.8cmです。
間違えやすい点：折り目BDはAA′を垂直に二等分します。
(6)
答え：1009cm³
- Bの1辺をbとすると、Aはb－3、Cはb－5。合計の高さは3b－8＝19です。
- B＝9cm、A＝6cm、C＝4cmです。
- 9³＋6³＋4³＝729＋216＋64＝1009cm³です。
間違えやすい点：短い長さはどちらもBを基準にしています。
(7)
答え：66.24cm²
- 最初と最後の四分円の半径は4cmで、面積は合計8πcm²です。
- 中央は対角線を半径とする90度の扇形と、底辺4cm・高さ4cmの直角三角形2枚に分けられます。
- 対角線の2乗は32なので中央は8π＋16。全体は16π＋16＝66.24cm²です。
間違えやすい点：軌跡の長さではなく、軌跡と床で囲む面積を求めます。
第3問｜動く2点と三角形の面積グラフ
この大問で学ぶこと
折れ曲がりの時刻と、頂点へ着く時刻を対応させる
底辺ABは一定なので、面積の変化はPとQの高さの差そのものです。2点が同じ上辺を進む間は面積0になります。
解くときの着眼点：面積は2点の高さの差で決まります。
(1)
答え：毎秒5cm
- PがDへ着く時刻は4秒です。AD＝20cmなので20÷4＝毎秒5cmです。
間違えやすい点：Qが上辺へ着く5秒と取り違えません。
(2)
答え：30cm
- Pが上辺DCを進むのは4秒から10秒までの6秒です。
- DC＝5×6＝30cm。長方形なのでABも30cmです。
間違えやすい点：10秒で面積が増え始めるのはPがCから下がり始めるためです。
(3)
答え：187.5
- Qは5秒で20cm進むので毎秒4cm。Dへ着くのは5＋30÷4＝12.5秒です。
- このときPはCから2.5秒下がり、高さ20－5×2.5＝7.5cm。Qとの高さの差は12.5cmです。
- 面積は30×12.5÷2＝187.5cm²です。
間違えやすい点：折れ曲がる点はQがDから下がり始める時刻です。
第4問｜正方形を並べて求める角
この大問で学ぶこと
等しい角を移し、直角二等辺三角形を発見する
並べた正方形の端まで直線を延長すると、同じ傾きの角が別の位置へ移ります。さらに下へ並べ、辺の比1：2と2：1を利用します。
解くときの着眼点：辺の比1：2と1：3を対応させます。
(1)
答え：図Ⅱの∠SPUと、UでPUと水平な下辺が作る角
- 横3個の正方形で、右端の下角をU、2個目の下角をVとします。
- 図Ⅰの角イは横3・縦1の傾きに対応します。図Ⅱでは∠SPUと、Uでの水平な下辺とUPの角が等しい角です。
- 平行な辺の同位角・錯角として印を付けます。
間違えやすい点：図Ⅱの浅い方の直線PUに対応する2か所を選びます。
(2)
答え：45度
- 下側の左1個の右下をTとします。1辺を1とするとPからUへは横3・下1、PからTへは横1・下2です。
- TUは横2・上1なのでPTと直角に交わり、PT＝TU。三角形PTUは直角二等辺で∠TPU＝45度です。
- ∠SPT＝90度－角ア、∠SPU＝角イより45度＝90度－角ア－角イ。したがって角ア＋角イ＝45度です。
間違えやすい点：三角形PTUを使うと角度の数値を個別に求めずに済みます。
第5問｜各位の数字の和で作る数列
この大問で学ぶこと
桁ごとに場合を整理し、順序を保つ
数字の和が小さい場合は十の位と一の位の組を並べ、大きい31は四桁から探します。総和は各桁の出現回数を利用します。
解くときの着眼点：Bの位置は元の整数と同じです。
(1)
答え：107番目
- 数字の和8になる整数は8・17・26・35・44・53・62・71・80・107…です。
- 9番目が80、10番目が107なので107番目です。
間違えやすい点：数字の和17をさらに8へ変える操作ではありません。
(2)
答え：901
- 1～99では十の位も一の位も0～9が10回ずつ出ます。0は和に影響しません。
- (0＋1＋…＋9)×20＝45×20＝900。
- 100の各位の和1を足し、901です。
間違えやすい点：99までと100を分けます。
(3)
答え：6997番目
- 3桁の数字の和は最大27なので4桁を調べます。
- 千の位4は4999の1個、5は5899・5989・5998の3個。6では残る3桁の和25を小さい順に並べます。
- 6799・6889・6898・6979・6988・6997の6個で累計10個。答えは6997番目です。
間違えやすい点：9999からの各桁の不足の和が5になることでも整理できます。
解き直しの進め方
グラフを点の動きへ読み替え、角の補助線と各位の和の列挙を再現しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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