2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2020 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
開智中学校・2020年度 先端A 算数
全4大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。逆算・整数・配り方・仕事・面積、流れる円形プール、円弧タイルでできる輪、平均と人数の最大値を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜逆算・整数・配り方・仕事・面積
この大問で学ぶこと
短問ごとに、一定の量と重複の扱いを決める
同じ文字の並べ替え、増やした配分、角の二等分など、条件の違いが数え方を変えます。仕事算は2人ずつの能率を足すと全員を2回ずつ数える点を使います。
解くときの着眼点：余りと配り方を、そろった条件に直します。
(1)
答え：1/2
- 3と2/11÷1.75＝20/11、2.8－3/5＝11/5です。
- 中かっこは20/11－37/44＝43/44なので、□÷11/5＝43/44－3/4＝5/22です。
- □＝5/22×11/5＝1/2です。
間違えやすい点：外側の引き算から逆に戻します。
(2)
答え：50g
- 初めの量をx gとすると、食塩の増分を含めて0.04x＋10＝0.2(x＋10)です。
- 0.16x＝8よりx＝50gです。
間違えやすい点：加えた10gは全体量にも含めます。
(3)
答え：6910
- 3桁以下では、2、20、22、200、202、220、222で、和は888です。
- 4桁で2020以下なのは2000、2002、2020。和は6022です。
- 888＋6022＝6910です。
間違えやすい点：2022は2020を超えるので含めません。
(4)
答え：2098
- 5と7の条件を満たす数は33＋35kです。これを11で割って8余る条件に合わせると173＋385nとなります。
- 2020の前後の候補は1713と2098。差は307と78なので、最も近いのは2098です。
間違えやすい点：2020以下だけを探す条件ではありません。
(5)
答え：240通り
- 全並べ方は6!÷2!＝360通りです。
- NNを1つの組とする隣接の並べ方は5!＝120通り。360－120＝240通りです。
間違えやすい点：2つのNを区別して数えません。
(6)
答え：15人
- 成人をa人、子どもをb人とすると、2つの配り方の差から3(a＋b)＝31＋38＝69、合計23人です。
- ちょうど配れた条件と最初の条件の差より、2a＋b＝31です。
- a＝8、b＝23－8＝15人です。
間違えやすい点：不足38個と余り31個を合わせて、増やした総数を出します。
(7)
答え：3時間20分
- 2人組の能率は全体の1/4、3/20、1/5です。合計は3/5で、各人を2回ずつ数えています。
- 3人の能率は3/10なので、時間は10/3時間＝3時間20分です。
間違えやすい点：6時間40分を20/3時間へ直します。
(8)
答え：75/16（4と11/16）cm²
- ABCはAが直角なので面積3×5÷2＝7.5cm²です。
- ADは角の二等分線。DからAB・ACへ下ろす垂線の長さが等しいので、ABD：ACD＝AB：AC＝3：5です。
- ACD＝7.5×5/8＝75/16cm²です。
間違えやすい点：角が等しいだけで、2つの三角形の面積が等しいとは限りません。
第2問｜流れる円形プール
この大問で学ぶこと
流れ込みの速さと、泳力そのものを分ける
逆方向に泳ぐときの出会いの和、同じ方向に泳ぐときの追いつきの差を使います。最後に流れを足し引きして、静水での速さへ戻します。
解くときの着眼点：出会いと追いつきから、実際の速さを求めます。
(1)
答え：7分30秒
- Aは20秒で180→200mへ進むので、実際の速さは毎秒1mです。最初の出会いは180秒後です。
- 最初の出会いまでに、BはAと反対向きに300－180＝120m進みます。
- Bの速さは120÷180＝2/3m/秒。1周300÷2/3＝450秒＝7分30秒です。
間違えやすい点：最初はAとBが逆向きなので、出会いまでの進んだ距離の和が300mです。
(2)
答え：3：4
- Cとの出会いは200秒後。Cは反対向きに100m進むので毎秒0.5mです。
- 1周の時間比B：Cは速さの逆比で、(1÷2/3)：(1÷1/2)＝3：4です。
間違えやすい点：比べるのは1周の時間であり、速さの比4：3とは逆です。
(3)
答え：4：6：5
- 翌日はBが同じ流れ方向で、150m先の位置から450秒でAへ追いつきます。Bの静水の速さはAより150/450＝1/3m/秒速いことになります。
- 流速をfとするとAの静水は1－f、Bの静水は2/3＋fです。差より(2/3＋f)－(1－f)＝1/3なのでf＝1/3です。
- A・B・Cの静水の速さは2/3、1、5/6。比は4：6：5です。
間違えやすい点：翌日のBは流れと同じ向きなので、前日と実際の速さが異なります。
第3問｜円弧タイルでできる輪
この大問で学ぶこと
形の違いと面積の違いを別に分類する
1枚の弧は、対角線から1/4円と直角三角形の差だけ膨らんだりへこんだりします。輪の端点を追うと4本または6本の弧に分かれ、面積を漏れなく整理できます。
解くときの着眼点：円弧の端点を結ぶ多角形から考えます。
(1)
答え：6本の弧を全て外側にふくらませた輪
- 3×3の格子点を左下(0,0)として、(0,1)→(1,0)→(2,1)→(3,2)→(2,3)→(1,2)→(0,1)を順に結ぶ各タイルに、外側へふくらむ円弧を置きます。
- 端点を直線で結んだ六角形の面積は4cm²です。各弧でπ/4－1/2ずつ加わるので、最大面積は4＋6(π/4－1/2)＝1＋3π/2cm²です。
間違えやすい点：同じ点を途中で2回通る形や、閉じない線は輪ではありません。
(2)
答え：12通り
- 4本の弧の輪は、端点の四角形の面積が2cm²です。外向きの弧の本数により、4－π、3－π/2、2、1＋π/2、πの5種類です。
- 6本の弧の輪は、端点の六角形の面積が4cm²です。外向きの本数により7－3π/2、6－π、5－π/2、4、3＋π/2、2＋π、1＋3π/2の7種類です。
- この12個は全て異なるので12通りです。
| 弧 | 端点の多角形 | 面積の種類 |
|---|---|---|
| 4本 | 面積2cm²の四角形 | 5種類 |
| 6本 | 面積4cm²の六角形 | 7種類 |
間違えやすい点：輪が置かれる位置や向きが違っても、面積が同じなら1種類と数えます。
(3)
答え：6通り
- 図4の輪は6本の弧のうち外向き4本、内向き2本で、面積は3＋π/2cm²です。
- 6本の位置から内向き2本を選び、回転・裏返しで一致する組をまとめます。
- 隣り合う2本、間に1本ある2本、向かい合う2本の3分類で、それぞれ六角形に対する置き方が2種類ずつあります。合計2＋2＋2＝6通りです。
間違えやすい点：弧の本数が同じでも、六角形に対する位置関係が違えば別の形です。
第4問｜平均と人数の最大値
この大問で学ぶこと
上限の証明と、実現する配点を両方示す
平均を超える整数点は76点以上、国語は61点以上です。人数を増やしたときの最小合計が総得点を超えるかを調べ、可能な人数は実例でも確かめます。
解くときの着眼点：整数の得点から、最低限必要な合計点を出します。
(1)
答え：32人
- 人数をnとすると75.5n＝400＋72(n－4)です。
- 3.5n＝112よりn＝32人です。
間違えやすい点：100点の4人を除いた人数はn－4です。
(2)
答え：30人
- 総得点は75.5×32＝2416点です。平均を超える人が31人なら、100点4人と76点27人だけで2452点となり多すぎます。
- 30人なら100点4人、76点26人、残り40点と0点で合計2416点を作れます。
- したがって最大30人です。
間違えやすい点：平均75.5点より高い整数点の最小は76点です。
(3)
答え：29人
- 両方で平均を超える人が30人なら、国語61点以上の人が30人います。国語が算数以上の10人のうち、少なくとも8人はこの30人に入ります。
- その8人は算数76点以上なので国語も76点以上。国語合計は少なくとも30×61＋8×15＝1950点となり、実際の60.5×32＝1936点を超えます。
- 29人は実現できます。下表の配点なら算数合計2416点、国語合計1936点、国語が算数以上の人がちょうど10人です。
- よって最大29人です。
| 人数 | 算数 | 国語 |
|---|---|---|
| 3人 | 100 | 61 |
| 1人 | 100 | 78 |
| 10人 | 76 | 76 |
| 15人 | 76 | 61 |
| 2人 | 40 | 0 |
| 1人 | 36 | 0 |
間違えやすい点：両方で高得点という条件と、国語が算数以上という条件は別です。
解き直しの進め方
流れの足し引き、輪の端点の多角形、整数得点の下限を確認し、数え漏れや最大値の実現例まで解き直しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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