2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
栄東中学校・2021年度 A日程（第1回） 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。計算・平均・比・正五角形・展開図、値下げと売れ残りのある売買、さいころで扇形を切り分ける、合同な直角三角形と平行線、仕切りと漏水のある水そうを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜計算・平均・比・正五角形・展開図
この大問で学ぶこと
図に隠れた単位の面積と長さを見つける
計算では共通因数、平均では人数の比、図形では合同な部分を利用します。展開図は、組み立てた底面の形と柱の高さを分けて考えましょう。
解くときの着眼点：条件を一つずつ計算に置き換えます。
(1)
答え：605
- 11²×(1²＋2²＋3²＋4²－5²)＝121×5＝605です。
間違えやすい点：大きい積を全て計算する前に共通因数121を外します。
(2)
答え：1978
- 3＋1.1×40＝47なので、2021－□＝2021÷47＝43です。
- □＝2021－43＝1978です。
間違えやすい点：掛け算の内側の差を先に逆算します。
(3)
答え：180人
- 全員55点なら合計16500点ですが、実際は64×300＝19200点で2700点多いです。
- 合格者1人につき70－55＝15点多くなるので、2700÷15＝180人です。
間違えやすい点：平均64点からの距離9：6を人数へ使う場合、人数比は逆比です。
(4)
答え：15個
- 栄×3/5＝東×1/4なので、栄：東＝5：12です。
- 差7に当たる21個から、1は3個。栄は5×3＝15個です。
間違えやすい点：同じ量になる割合の分母を、そのまま個数の比にしないようにします。
(5)
答え：35本
- 正方形1周の植える位置は60÷5×4＝48か所です。
- 既に植えられた1辺には両端を含め60÷5＋1＝13本あります。
- 残りは48－13＝35本です。
間違えやすい点：残り3辺の両端を、それぞれ重ねて数えません。
(6)
答え：84度
- 正五角形の内角は108度、正三角形OCDの角は60度です。DE＝DOなので、三角形DEOは二等辺三角形です。
- 角ODE＝108－60＝48度より、角DOE＝(180－48)÷2＝66度です。
- AOはCDに垂直なので、角AOD＝90＋60＝150度です。ア＝角AOE＝150－66＝84度です。
間違えやすい点：BOはBEそのものではありません。正三角形の60度を正五角形の108度から引く角を確認します。
(7)
答え：9cm²
- 小正方形の1辺をaとすると、ABの横の差はa、縦の差は3aです。
- ABを斜辺とする直角三角形の関係より、AB²＝a²＋(3a)²＝10a²＝36、a²＝3.6です。
- 斜線は縦3個の長方形の右半分と右側の正方形1個で、計2.5個分。3.6×2.5＝9cm²です。
間違えやすい点：斜めの線ABは縦3個分の長方形を二等分します。
(8)
答え：42.84cm³
- 底面は長方形と半円を合わせた形です。直線の両側は各2cmなので、曲線部分の長さは10.28－2×2＝6.28cmです。
- 半円の弧6.28＝半径×3.14より、半径2cm、直径4cmです。
- 底面積は4×2＋2²×3.14÷2＝14.28cm²、柱の高さは3cmなので14.28×3＝42.84cm³です。
間違えやすい点：展開図の2cmは柱の高さではなく、底面の直線部分の長さです。
第2問｜値下げと売れ残りのある売買
この大問で学ぶこと
売れた個数を固定して、価格の差で求める
売れ残りも仕入れ代金に含まれます。先に総売り上げを確定し、全部を値下げ価格で売った場合との差から定価で売れた個数を求めます。
解くときの着眼点：売り上げと利益の違いを整理します。
(1)
答え：135円
- 定価は125×1.2＝150円です。
- 夕方はその1割引きなので150×0.9＝135円です。
間違えやすい点：原価125円の1割引きではありません。
(2)
答え：39675円
- 仕入れ総額は125×300＝37500円です。
- 売り上げは原価＋利益なので37500＋2175＝39675円です。
間違えやすい点：利益2175円が売り上げ全体ではありません。
(3)
答え：170個
- 売れたのは300－25＝275個です。全部135円なら売り上げは37125円です。
- 実際との差39675－37125＝2550円は、定価1個につき15円ずつ増えた分です。
- 2550÷15＝170個です。
間違えやすい点：値下げ後に売れたのは275－170＝105個で、売れ残りは別です。
第3問｜さいころで扇形を切り分ける
この大問で学ぶこと
切り取る角度と、残りの角度を区別する
出た目がnなら、切り取るのは残りの1/n、次へ持ち越すのは(n－1)/nです。順序が違っても残る割合の積は同じなので、まず出目の組を探します。
解くときの着眼点：残る割合を掛け合わせます。
(1)
答え：30度
- 6→5→4→2までで残る角度は360×5/6×4/5×3/4×1/2＝90度です。
- 5回目は3なので、⑤の角度は90÷3＝30度です。
間違えやすい点：⑤は残り全部90度ではなく、その3分の1です。
(2)
答え：2→3、3→4、6→5
- 最初の目をa、次をbとすると、②は360×(a－1)/a÷b＝60度です。
- b＝6(a－1)/aです。a＝2～6を調べると、bが整数の目になるのは(2,3)、(3,4)、(6,5)です。
間違えやすい点：1が出ると操作が終わるので、最初の目1は除きます。
(3)
答え：9通り
- 残りの割合は120/360＝1/3なので、3つの(a－1)/aの積が1/3になる組を探します。
- 順序を除く組は(2,5,6)と(3,3,4)の2種類です。
- 前者は6通り、後者は3通り。合計9通りです。
| 組 | 並べ方 |
|---|---|
| 2・5・6 | 6通り |
| 3・3・4 | 3通り |
間違えやすい点：同じ目3が2個ある組は、6通りと数えません。
第4問｜合同な直角三角形と平行線
この大問で学ぶこと
合同から作った大きな三角形を、相似で縮める
三角形ABCとEDAの対応はA↔E、B↔D、C↔Aです。大きなACEが直角二等辺三角形になることを見つけると、平行線を引いた面積も整理できます。
解くときの着眼点：対応する辺から、等しい辺と直角を見つけます。
(1)
答え：45度
- 合同よりAD＝BC＝3cm、DE＝AB＝4cm、AE＝AC＝5cmです。
- 角CADと角DAEの和は90度なので、角CAE＝90度です。
- ACEは直角二等辺三角形。角ACE＝45度です。
間違えやすい点：等しい辺AC＝AEと、その間の直角を合わせて使います。
(2)
答え：4/7cm
- BD＝AB－AD＝1cmです。三角形CBFとEDFは相似でCB：DE＝3：4です。
- BF：DF＝3：4で、合計BD＝1cmなのでDF＝4/7cmです。
間違えやすい点：BD＝1cmを3：4に分けます。
(3)
答え：8.82cm²
- AF＝AD＋DF＝3＋4/7＝25/7cmです。
- GHとCEが平行なので、AGHとACEの相似比はAD：AF＝3：25/7＝21：25です。
- ACEの面積は5×5÷2＝12.5cm²なので、AGHは12.5×(21/25)²＝8.82cm²です。
間違えやすい点：面積には相似比の2乗を掛けます。
第5問｜仕切りと漏水のある水そう
この大問で学ぶこと
グラフの水平部分を、区画ごとの水量へ直す
水面の高さが変わらなくても給水は続きます。最後の上昇から給水量、初期の区間から各底面積を求め、漏水時は同じ水量に余分にかかった時間を調べます。
解くときの着眼点：水面が止まる間に、別の区画が満たされます。
(1)
答え：毎秒80cm³
- 仕切りを越えた後は全底面30×60＝1800cm²に水が広がります。
- 540～900秒の360秒間で24→40cmへ16cm上がるので、1800×16÷360＝毎秒80cm³です。
間違えやすい点：最後の区間は全区画で同じ水面になります。
(2)
答え：405
- Aの底面積は80×150÷16＝750cm²です。Bの底面積は80×(270－150)÷16＝600cm²です。
- A＋Bの水面が16→24cmへ上がる時間は(750＋600)×8÷80＝135秒です。
- ア＝270＋135＝405です。
間違えやすい点：水平部分120秒の間にBの高さが16cmまで上がります。
(3)
答え：8cm
- Cの底面積は1800－750－600＝450cm²です。
- 漏水時の600～1200秒は、全底面の水面が16cm上がります。実際に増えた量は毎秒1800×16÷600＝48cm³なので、漏れる量は80－48＝32cm³/秒です。
- Cを24cmまで満たす405～600秒の給水は80×195＝15600cm³。Cに残る水10800cm³との差4800cm³が漏れたので、漏水時間は4800÷32＝150秒です。
- 漏水開始は600－150＝450秒。Cには405～450秒の45秒間、漏れずに水が入ったので、穴の高さは80×45÷450＝8cmです。
間違えやすい点：Cへ流れ込む前の時間は、穴があっても水は漏れません。
解き直しの進め方
扇形は残る割合、合同は対応する辺、水そうは水平部分の水量を図や表へ戻して確認しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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