2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2021 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
本郷中学校・2021年度 第1回 算数
全5大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。分数の逆算と小数計算、流水算・濃度・整数・場合の数と回転体、上がる仕切りと水位グラフ、円に内接・外接する正三角形、動く点と3つの三角形の面積和を扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜分数の逆算と小数計算
この大問で学ぶこと
分数で正確に戻し、最後まで約分する
逆算はかっこの中を先に確定します。小数が多くても、割り切れるまとまりを作ると少ない計算で解けます。
解くときの着眼点：外側の計算と、かっこの値を分離します。
(1)
答え：191/21（9と2/21）
- 4/7－1/3＝5/21です。8×(□－9)÷5/21＝2＋6/5＝16/5となります。
- □－9＝16/5×5/21÷8＝2/21なので、□＝191/21です。
間違えやすい点：5/21で割った計算を戻すときは5/21を掛けます。
(2)
答え：13
- 前半は(1.125－0.25)×32＝0.875×32＝28です。
- 3.14－7/50＝3、2.8÷3＝14/15なので後半は14÷14/15＝15です。
- 28－15＝13です。
間違えやすい点：2.8÷3を途中で四捨五入しません。
第2問｜流水算・濃度・整数・場合の数と回転体
この大問で学ぶこと
式だけでなく、数える範囲と回転半径を確かめる
数列の積は3の因数の個数へ、組み合わせは1本以上という条件へ、回転体は横の段ごとの円環へ置き換えます。
解くときの着眼点：量の比と、残った条件を最後まで使います。
(1)
答え：21.6km
- 上りと下りの速さの比は時間の逆で6：9＝2：3です。速さの差は流れの2倍で1.2km/時なので、上りは2.4km/時です。
- 距離は2.4×9＝21.6kmです。
間違えやすい点：上りと下りの差を、流れ0.6km/時だけとしません。
(2)
答え：150g
- 4％と12％を混ぜて7％にする量の比は(12－7)：(7－4)＝5：3です。
- 4％の250gが5に当たるので、12％は250×3/5＝150gです。
間違えやすい点：濃度の差の比と、量の比は逆です。
(3)
答え：21回
- 8までの数字は1＋…＋8＝36個。42番目までは、9が6個入っています。
- 3が3個で因数3は3個、6が6個で6個、9が6個で12個です。合計3＋6＋12＝21回割れます。
間違えやすい点：9は1個ごとに3を2個含みます。
(4)
答え：14通り
- 100円・150円・200円の本数をa・b・cとすると、2a＋3b＋4c＝32です。a・b・cは全て1以上です。
- bは偶数なので2・4・6・8です。各場合のcの選択肢は順に6・4・3・1通りで、そのたびにaは1つに決まります。
- 6＋4＋3＋1＝14通りです。
間違えやすい点：0本の種類がある買い方を含めません。
(5)
答え：126個
- Aは全体の4/13＝40/130、Bは残り9/13の3/10なので27/130です。差13/130＝1/10が26個なので全体260個です。
- Cは残り9/13×7/10＝63/130。260×63/130＝126個です。
間違えやすい点：Bの3/10は全体に対する割合ではありません。
(6)
答え：210.38cm³
- 1cmの高さごとに、回転軸から最も遠い半径と近い半径を調べます。
- 上からの円環の面積は3.14を除いて25・1・1・4・8・12・16cm²で、合計67です。
- 高さが各1cmなので、体積は67×3.14＝210.38cm³です。
| 段 | 外半径 | 内半径 | 面積÷3.14 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 0 | 25 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 2 | 0 | 4 |
| 5 | 3 | 1 | 8 |
| 6 | 4 | 2 | 12 |
| 7 | 5 | 3 | 16 |
間違えやすい点：段の途中で軸から離れると円柱に穴が開きます。小さい円の面積を引きます。
第3問｜上がる仕切りと水位グラフ
この大問で学ぶこと
水面が仕切りを越える間の傾きを読み解く
仕切りが動き始めると、水はアにたまりながらイにも流れます。全体の水量から流入量を決めると、初めの幅と動く仕切りの速さを計算できます。
解くときの着眼点：全水量、初めの底面積、仕切りの上昇を順に求めます。
(1)
答え：毎分500cm³
- 水そう全体の容量は40×20×20＝16000cm³です。
- 32分で満水になるため16000÷32＝毎分500cm³です。
間違えやすい点：仕切りは厚さがなく、水そうの容量を減らしません。
(2)
答え：25
- 初めの10分でアが高さ10cmになるので、アの体積は500×10＝5000cm³です。
- 底面積は5000÷10＝500cm²、奥行20cmよりx＝500÷20＝25です。
間違えやすい点：初めの10分はアだけに水が入ります。
(3)
答え：毎分0.25cm
- 20分時点の水量は500×20＝10000cm³。ここで両方の水面がそろうため、水深は10000÷(40×20)＝12.5cmです。
- 仕切りは10分後に高さ10cmから動き始め、20分後には12.5cmなので、(12.5－10)÷10＝毎分0.25cmです。
間違えやすい点：10～20分の水位上昇を、そのまま毎分の給水量としません。
第4問｜円に内接・外接する正三角形
この大問で学ぶこと
合同な小三角形から、面積比をつなぐ
小円に内接する正六角形はOPQの6個分です。同じ円に外接する正三角形はこの六角形の2倍、さらに円を間にはさむ相似な正三角形の面積比を使います。
解くときの着眼点：同じ円でも、内接と外接で三角形の大きさが変わります。
(1)
答え：30
- OPQと合同な正三角形を中心の周りへ6個並べると、図Ⅱの正六角形になります。
- 面積は5×6＝30cm²なのでx＝30です。
間違えやすい点：円そのものの面積を求める設問ではありません。
(2)
答え：60
- DEFの各頂点とO、接点を結ぶと、合同な30度・60度・90度の三角形が6個できます。
- OPQを高さで2等分した直角三角形と比べると、DEF内の直角三角形は対応する2辺が2倍なので面積4倍です。したがってDEFはOPQの半分の三角形6×4＝24個分、つまりOPQの12個分です。5×12＝60cm²、y＝60です。
間違えやすい点：内接する六角形と外接する三角形は、面積が等しいわけではありません。
(3)
答え：240
- 同じ中間の円に、ABCは外接しDEFは内接します。正三角形の中心から頂点までの長さは、中心から辺までの長さの2倍です。
- ABCとDEFの対応する長さは2：1なので面積は4：1です。
- ABCは60×4＝240cm²、z＝240です。
間違えやすい点：長さの比2：1を、そのまま面積比にしません。
第5問｜動く点と3つの三角形の面積和
この大問で学ぶこと
面積和が一定の位置を、平行線でつなぐ
XがABCの内側なら3つの三角形の和は1です。外側へ出ると重なった分も足されるため、距離の条件へ直して同じ面積和の境界を作ります。
解くときの着眼点：三角形の外側では、足される面積を調べます。
(1)
答え：3cm²
- 図ⅠのBCに平行な下の線は、BCからAまでと同じ高さだけ外にあるため、BCX＝ABC＝1cm²です。
- ABX＋CAXはABC＋BCX＝2cm²。したがって3つの和は2＋1＝3cm²です。
間違えやすい点：Xが外側にあるため、3つを足してABCの面積1とすることはできません。
(2)
答え：ア・イ・エ・カ
- BCの延長上で、BよりBC1個分だけ外のカ、CよりBC1個分外のイは、面積和が3です。
- アとエも、対応する辺の外側で同じ高さ・同じ面積和の線上にあります。
- ウ・オ・キはさらに遠い位置にあり、面積和が3より大きくなるので除きます。
間違えやすい点：図の等しい長さの印を使います。見た目の距離で選びません。
(3)
答え：13cm²
- 各辺から、その向かいの頂点と同じ距離だけ外へ平行線を引きます。ABCの重心から元の各辺までの距離は対応する高さの1/3、外側の平行線までは4/3なので、この3直線でできる三角形は長さが4倍、面積は16倍です。
- ただし大きな三角形の3つの角の近くでは、面積和が3を超えます。それぞれABCと合同な大きさの三角形1個分を取り除くと、条件を満たす点が動く六角形の境界が残ります。
- 囲まれる面積は16×1－3×1＝13cm²です。
間違えやすい点：「点が動いたあと」は境界の六角形です。求めるのはその囲む面積で、三角形の面積和3ではありません。
解き直しの進め方
円環は段別の表、動く仕切りは折れ点の水量、面積和は内側と外側の違いを説明して解き直します。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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