2026年10月29日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
早稲田中学校・2024年度 第1回 算数
第1回算数の全5大問・16項目を扱います。道順、回転容器、列車、勝者が残る対戦、2段階の立体切断を、条件の整理から説明します。立体の線を描く設問は問題冊子の展開図を使って確認してください。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜分数・読書量・道順
この大問で学ぶこと
同じ形への変形と、場合分けを使う
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)｜分数の和
3と2/3
- 各分数は1−1/(n×(n＋1))の形です。例えば5/(2×3)＝1−1/6です。
- 全体は4−(1/6＋1/12＋1/20＋1/30)。括弧内を(1/2−1/3)＋…＋(1/5−1/6)と直すと1/3なので、4−1/3＝3と2/3です。
(2)｜1冊のページ数
222ページ
- 旅行中に1日dページ読んだとします。最初の5日は毎日d＋6ページ、旅行後は毎日4dページです。旅行後3日までの合計は20d＋30、4日までの合計は24d＋30になります。
- 3日までは200ページ以下、4日目に初めて200ページを超えるので、20d＋30≦200、24d＋30＞200です。整数dは8だけ。全体は24×8＋30＝222ページです。
(3)｜南へ進まない道順
258通り
- 同じ横の道上では、行き戻りをすると通った道を再使用します。したがって各段では東か西へ一方向に進み、上へ抜ける縦の道を6本から選びます。
- 北ゴールへは3回上の段へ進むので6³＝216通り。西ゴールへは2回上がるので6²＝36通り、東ゴールへは1回上がるので6通りです。合計216＋36＋6＝258通りです。
第2問｜角度比・ひし形・回転容器
この大問で学ぶこと
共通の高さと、引き算で求める
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)｜角度の比
24度
- 角アをx度とすると、イ＝2x、ウ＝3xです。上の頂点・左下の頂点・右辺上の交点でできる三角形から、オ＝180−5xです。
- 2本の線の交点まわりでは対頂角と三角形の内角の和を使い、エ＝180−6xです。エ：オ＝3：5より5(180−6x)＝3(180−5x)。x＝24です。
(2)｜四隅と中央の面積差
1.8cm²
- ひし形を1頂点の対角線で半分にすると45cm²です。同じ角をはさむ2辺上の長さがa・bの三角形は、45×a×b÷100で求められます。
- 四隅の三角形は45×(4×6＋4×3＋7×2＋8×6)÷100＝44.1cm²。中央は90−44.1＝45.9cm²です。差は45.9−44.1＝1.8cm²です。
(3)｜W字形を回してできる容器の水量
678.24m³
- 水が入る断面は、上で回転軸から1mと7m、9m下で4mに集まる三角形です。外側の円すい台から内側の円すい台を引きます。
- 外側を円すいへ延長すると高さ21m・半径7mで、下の高さ12m・半径4mを引きます。外側は(7²×21−4²×12)×π÷3＝279πです。
- 内側は高さ12m・半径4mの円すいから、高さ3m・半径1mを引き、(4²×12−1²×3)×π÷3＝63πです。水量は216π＝678.24m³です。
第3問｜列車の長さと所要時間
この大問で学ぶこと
通過距離と、走行時間だけを比べる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)｜停車中の列車を追い抜く
120m
- 21.6km/時は6m/秒です。33秒で進む距離198mはAとBの長さの和です。
- BはAより42m長いので、B＝(198＋42)÷2＝120m、A＝78mです。
(2)｜列車の速さの比
2.2倍
- トンネルを完全に通り抜ける距離はAが342＋78＝420m、Bが342＋120＝462mです。Aの所要時間はBの2倍です。
- Bの速さ÷Aの速さ＝462÷420×2＝2.2です。トンネルの長さだけを速さの比にしません。
(3)｜列車Bの時速
118.8km/時
- Aは15分早く出発しますが、途中5駅で合計5分停車します。走行時間だけならAはBより10分長くなります。
- 同じ16.5kmなので走行時間の比はA：B＝2.2：1。差1.2に当たる10分から、Bの走行時間は10÷1.2＝8と1/3分です。16.5÷(8と1/3÷60)＝118.8km/時です。
第4問｜勝者が残る対戦
この大問で学ぶこと
対戦数と待機数から勝敗へ戻す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)｜Aの対戦回数
28回
- 1ゲームに2人参加するので、対戦回数の合計は36×2＝72回。A：B：C＝7：6：5よりA＝72×7/18＝28回です。
(2)｜最終戦でAが勝つ場合
20回
- Aは36回中8回待機しています。Aは最初に対戦し、負けた直後の1ゲームだけ待つので、最終戦で勝つときは待機数8回と負け数が一致します。
- 28回対戦して8敗だから20勝です。
(3)｜最終戦でCが勝つ場合
5回
- Cの対戦数は72×5/18＝20回、待機数は16回です。Cは最初に待機しているため、負けによって生じる待機は15回です。
- 最後にCが勝っている場合、待機にまだ反映されていない負けはありません。20−15＝5勝です。
(4)｜最後の6ゲーム
イ・カ
- 31回目はB対CでAが待機。各ゲームで、勝者を残し、敗者と待機者を交代する表を作ります。A3勝・B2勝・C1勝になる枝だけを残します。
- 6ゲームの勝敗を最後まで追うと、最終戦はBがCに勝つ場合か、AがCに勝つ場合です。勝ち数だけでなく、直前の勝者が次にも参加していることを確かめます。
第5問｜立方体を2回切る
この大問で学ぶこと
底面への投影と、各点の高さを対応させる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)｜A・P・Qを通る切り口
A、BF上の点、P、Q、HD上の点を順に結ぶ五角形
- BF・HDでの切断点は、それぞれF・Hから2cm上です。同じ面にある点を結ぶと、A→BF上の点→P→Q→HD上の点→Aとなります。
- 展開図では立体上の同じ辺が離れて描かれています。6等分の点を使って2cmの位置を移し、各面上の線だけを描きます。
(2)｜Eを含む切断立体
75cm³
- 底面FEHGへ投影して三角形FEH・FPH・PQHに分けます。底面積は順に18・9・4.5cm²、切断面までの高さはF・Hが2cm、Eが6cm、P・Qが0cmです。
- 三角形の底面の3頂点上にある高さがa・b・cのとき、その上を平面で切った体積は底面積×(a＋b＋c)÷3です。三角すいへ分けて確かめられます。
- よって18×(2＋6＋2)÷3＋9×(2＋0＋2)÷3＋4.5×(0＋0＋2)÷3＝60＋12＋3＝75cm³です。
(3)｜さらにB・F・Hを通る面で切る
15cm³
- 面BFHは、底面の対角線FHを通る縦の面です。前問で分けた三角形FEHの上が一方、三角形FPH・PQHの上がもう一方となります。
- 体積は60cm³と12＋3＝15cm³に分かれます。小さい方は15cm³で、和が75cm³になることも確認します。
解き直しの進め方
場合の数は行き先で分け、対戦は待機、立体は底面上の位置と高さを対応させます。数値だけでなく、どの条件を使ったかを説明して解き直します。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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