2025年3月9日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
武蔵中学校・2025年度 2月1日入試 算数
食塩水とコイン、乗り物を乗り継ぐ速さ、台形の面積比、長方形の図式を扱う4大問です。答えだけでなく、比の置き方や候補の絞り方を説明できるように解き直しましょう。図式を答える設問は、作図に必要な全ての辺の寸法も示します。
第1問｜食塩水とコインの反転
この大問で学ぶこと
食塩量と奇偶を、変わらない軸にする
食塩水は濃度だけを比べず、混ぜる前後の食塩量をそろえます。コインの反転は操作の順を追うより、各コインが何回裏返されるかに注目すると整理できます。見かけの変化から、計算に使える量を選ぶ大問です。
解くときの着眼点：混ぜる問題では食塩量、反転では裏返した回数の奇偶に注目します。
(1)ア
答え：72g
- 120gをすべて5.5％とすると食塩は6.6gですが、実際の4％では4.8gです。差は1.8gです。
- 5.5％を3％へ置き換えると、1gあたり0.025g食塩が減ります。1.8÷0.025＝72gが3％の食塩水です。
間違えやすい点：求めるのは濃さではなく、初めに用意した3％食塩水の重さです。
(1)イ
答え：14％
- 初めの濃さをx％とすると、食塩量は80×x/100g。追加した食塩は160×0.035＝5.6gです。混合後の濃さはx/2％になります。
- 80x/100＋5.6＝240×x/200より、0.4x＝5.6。x＝14です。混合後は7％になり、半分という条件にも合います。
間違えやすい点：半分になるのは濃さで、食塩そのものが半分になるわけではありません。
(2)・2と3の倍数を反転した後
答え：100枚
- 2回とも反転した6の倍数は表に戻ります。裏になるのは2の倍数100枚と3の倍数66枚のうち、重なり33枚を2回分引いた100＋66－2×33＝100枚です。
- 全部200枚なので、表は200－100＝100枚です。
間違えやすい点：6の倍数は2回裏返しているので、裏のままにはなりません。
(2)・さらに5の倍数を反転した後
答え：102枚
- 5の倍数は40枚。この中で、2または3の一方だけの倍数だったものは、10の倍数20枚＋15の倍数13枚－30の倍数6枚×2＝21枚で、反転前は裏です。
- 21枚は表へ、残り19枚は裏へ変わります。表の数は100＋21－19＝102枚です。
間違えやすい点：5の倍数40枚を単純に足すのではなく、反転前の向きを分けます。
第2問｜自転車・電車・バスの速さ
この大問で学ぶこと
乗り継ぎを、区間ごとの距離へ分ける
乗り物の速さと使った時間は、それぞれ別の比で示されます。その積から区間ごとの距離の比を作り、予定どおりに進む場合とバスが遅くなる場合を比較します。待ち時間は移動時間へ混ぜず、到着時刻の差として扱います。
解くときの着眼点：移動時間の比と速さの比を掛けると、各区間の道のりの比になります。待ち時間は別に置きます。
(1)
答え：1.4km
- 自転車・電車・バスの時間比は1：3：2、速さの比は1：6：3です。道のりの比は1×1：3×6：2×3＝1：18：6になります。
- 全体35kmは25等分に当たるので、家からA駅は35÷25＝1.4kmです。
間違えやすい点：待ち時間を、乗り物に乗っている時間の比へ入れないようにします。
(2)Ⅰ
答え：10時16分
- バス区間は1.4×6＝8.4kmで、速度低下後の残りは8.4－1.2＝7.2kmです。速さが自転車の3倍から2.4倍になるので、残り区間の時間は元の3÷2.4＝1.25倍。増加3分が元の時間の0.25倍だから、元の残り時間は12分です。
- 元のバスの速さは7.2÷12＝分速0.6km。バス全区間は8.4÷0.6＝14分なので、10時30分から14分戻り、出発は10時16分です。
間違えやすい点：元は約束時刻ちょうどに着いています。遅れの差は3分です。
(2)Ⅱア
答え：5分間
- 自転車はバスの3分の1の速さで、分速0.2km。自転車に1.4÷0.2＝7分、電車に21分、バスに14分乗ります。移動時間は42分です。
- 9時40分から10時30分までの50分との差8分が待ち時間の合計です。A駅の待ち時間がB駅より2分短いので、B駅は（8＋2）÷2＝5分です。
間違えやすい点：速度が変わらない元の予定について、移動と待ちを分けて計算します。
(2)Ⅱイ
答え：19.4km
- 自転車で9時47分にA駅へ着き、3分待つので電車の出発は9時50分。10時5分には15分間電車に乗っています。
- 電車の速さは分速0.2×6＝1.2km。家からの距離は1.4＋1.2×15＝19.4kmです。
間違えやすい点：10時5分がどの交通機関の時間内かを先に確認します。
第3問｜台形の面積と交わる線分
この大問で学ぶこと
同じ高さの三角形で、台形を読み解く
台形の上下の辺の比から、同じ高さをもつ三角形の面積比を作れます。交わる線分の比も、相似な三角形を介して面積へつながります。求めたい部分を直接計算する前に、既知の面積を使える形へ分けます。
解くときの着眼点：AD：BC＝2：5とAD＝ECからBE：EC＝3：2。まず三角形ABEの面積を出します。
(1)
答え：12cm²
- AD＝2k、BC＝5k、高さをhとすると台形70cm²＝7k×h÷2よりkh＝20です。BE＝3kなので、三角形ABEは3kh÷2＝30cm²です。
- AG＝GEより、三角形AFGとFGEの面積は等しく、これをxとします。四角形FBEGは30－xで、差が6だから30－2x＝6。x＝12cm²です。
間違えやすい点：四角形と三角形のどちらが大きいかは、FがAB上にあることからも確認します。
(2)
答え：FG：GH＝6：5、DH：HC＝1：3
- 三角形AFEは12×2＝24cm²なので、AF：AB＝24：30＝4：5、BF：FA＝1：4です。Gを通りBCに平行な線とABの交点をIとすると、IはABの中点。IG＝BE÷2＝1.5kです。
- 直線FGをBCの左の延長へ伸ばした交点をP、ADの右の延長との交点をTとします。三角形FPBとFGIの相似からPB：IG＝BF：FI＝2：3なのでPB＝k。さらにFPBとFTAの相似からAT＝4PB＝4k。したがってDT＝2k、PC＝6kです。
- 三角形TDHとPCHは相似なのでDH：HC＝DT：PC＝1：3。Hの高さはhの3/4、Gはhの1/2、Fはhの1/5です。同一直線上の長さの比は高さの差の比と等しく、FG：GH＝（1/2－1/5）：（3/4－1/2）＝6：5です。
間違えやすい点：補助点P・T・Iを原図に書き足し、延長線上の長さも含めて比を確認します。
第4問｜長方形の図式と整数条件
この大問で学ぶこと
面積条件を、整数の辺へ戻す
長方形を組み合わせた図式では、共通する辺を文字や仮の単位で置くと面積の関係が見えます。面積が合うだけでなく、辺が整数になることや、指定された配置を作れることまで確認します。
解くときの着眼点：上の長方形を縦a・横b＋c、下の2つを共通の縦d、横b・cとします。A＝a(b＋c)、B＝db、C＝dcです。
(1)
答え：2図式：上は縦1・横11。下は縦3または5で、左の横9・右の横2（単位cm）
- A＝11、BとAが奇数なので下の縦dと左の横bは奇数。b＋c＝11だから右の横cは偶数です。B＞11＞Cよりdb＞11＞dcとなります。
- c＝2ならb＝9で、dは11/9より大きく11/2より小さい奇数、すなわち3と5です。c＝4ならb＝7ですが該当する奇数dはなく、cが6以上ではb＜cとなりB＞A＞Cに合いません。よってこの2図式です。
間違えやすい点：横9・2は共通で、下段の縦だけを3・5に変えます。図式では数値を5か所へ記入します。
(2)
答え：2図式：①上の縦3・横13／下の縦7・横9と4、②上の縦17・横13／下の縦35・横7と6（単位cm）
- 条件B＋C＝2A＋13から（d－2a）(b＋c)＝13。横幅は2以上なのでb＋c＝13、d－2a＝1です。もう一つの条件はd(b－c)＝35です。
- dは35の約数1、5、7、35を調べます。d＝1はb－c＝35となり幅13を超えるので不可。d＝5ではb＝10でBが偶数になるため不可。d＝7ではb＝9、c＝4、a＝3。d＝35ではb＝7、c＝6、a＝17となり、2図式を得ます。
間違えやすい点：各図式について、B＞A＞C、AとBが奇数という元のルールも検算します。
(3)
答え：上の縦7・横5／下の縦17・左の横3・右の横2（単位cm）
- この設問は1図式を示せばよいので、A＝35、B＝51、C＝34となる組を作ります。下段を縦17、横3と2にすると、B＝17×3＝51、C＝17×2＝34です。
- 上段の横は3＋2＝5、縦を7とすればA＝35。B＝1.2×35＋9＝51、C＝35－1＝34で、51＞35＞34、AとBが奇数という全条件を満たします。
間違えやすい点：全ての面積が合うだけでなく、上下の横幅がそろうことも図式の条件です。
解き直しの進め方
解き終えたら、各大問の「解き直しの到達点」を使って確認しましょう。答えだけを直す前に、条件を取り違えたのか、最初の一手が決まらなかったのか、計算で崩れたのかを分けます。解説を閉じて途中式を再現し、日を空けて同じ考え方を使えるか確かめてください。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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