2026年11月4日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
駒場東邦中学校・2025年度 2月1日入試 算数
小問集合、円の内側での回転、立方数の余り、三方向の図からの立体復元を扱います。図の中で何が動き、何が固定されているかを確かめてから、式や場合分けへつなげます。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜逆算・相似・数え上げ・時計算
この大問で学ぶこと
一つの操作を一段ずつ戻す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 空欄の数
72
- 最初の括弧は3.56−1と47/50＝1.62。大括弧は20.25÷1.62＝12.5なので、25から引いた部分も12.5です。
- 1.11＋9と11/50−1/4＝10.08。したがって(空欄−2)÷5は12.5÷9×10.08＝14となり、空欄は14×5＋2＝72です。
(2) BG：GI：ID
9：1：5
- AD：BE＝2：3なので、平行なAD・BEを使う相似からBG：GD＝3：2です。BGはBDの3/5になります。
- FはCDの中点です。AD＝BC、CF＝FDという条件で三角形の面積を比べるとBI：ID＝2：1。BIはBDの2/3です。
- GI/BD＝2/3−3/5＝1/15、ID/BD＝1/3。BG：GI：ID＝9：1：5です。
(3) 3桁の整数と3の倍数
ア100通り、イ40通り
- 3枚は異なるカードです。百の位は0以外の5通り、十の位は残り5通り、一の位は残り4通りなので100通りです。
- 3の倍数は各桁の和が3の倍数になります。0を含む組は012・015・024・045の4組で、各組の並べ方は6−2＝4通り。0を含まない組は123・135・234・345の4組で各6通りです。
- 4×4＋4×6＝40通り。0を百の位にした場合だけを除き、0そのものを使えないと考えないようにします。
(4) 時計Aの針の角度
30度
- 時計Bで0時からx分進んだとすると、短針は0.5x度、長針は6x度進みます。1時の図では12の線を挟んで等角なので0.5x＋6x＝360、x＝720/13分です。
- 実際の60分でBは720/13分進むので、Bの進み方は正しい時計の12/13倍です。Bで最初に針が重なるのは720/11分後、実際は(720/11)×13/12＝780/11分後です。
- 時計Aの長短針の差は毎分5.5度。5.5×780/11＝390度なので、一周を除いた小さい角は30度です。
第2問｜円の内側でのおうぎ形の回転
この大問で学ぶこと
点の軌跡と図形が通る範囲を分ける
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 点Aの軌跡と長さ
188.4cm
- おうぎ形の中心角は60度です。円周上のB・Cを支点として動くときだけAが移動し、弧BCが外の円と重なって回る間はAが円の中心にとどまります。
- 軌跡は、円の中心と円周上の点を結ぶ半径45cm・中心角60度の弧が4本で、二つの葉の形になります。両端の円周上の点は直径の両端です。
- 全長は45×2×3.14×(60×4)/360＝188.4cm。円全体の周の長さではないことに注意します。
(2) 二つの部分の面積と通過面積の和
6358.5平方cm
- (1)の軌跡で囲まれた二つの葉の内側は、おうぎ形が通らない部分です。回転の各段階を元の図へ重ねると、残りの部分をおうぎ形が通ることを確かめられます。
- したがって、あ＋いは半径45cmの円全体の面積と等しくなり、45×45×3.14＝6358.5平方cm。葉の面積を別々に複雑な式で求める必要はありません。
第3問｜立方数と9で割った余り
この大問で学ぶこと
大きな整数を小さな余りへ置き換える
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 1〜12の立方数と余り
立方数：1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728／余り：1,8,0,1,8,0,1,8,0,1,8,0
- aを3で割った余りが0・1・2の順に、立方数を9で割った余りは0・1・8になります。表で3個ごとの繰り返しを確認します。
(2) 三つの立方数の和が1111にならない理由
9で割った余り4を、三つの立方数の和では作れないため
- 立方数の余り0・1・8は、9を基準に0・＋1・−1と考えられます。三つを足した結果は−3〜3なので、9で割った余りは6・7・8・0・1・2・3のいずれかです。
- 1111＝9×123＋4で余り4。この余りは作れないので、立方数三つの和にはなりません。表の1〜12だけでなく、余りの周期が続くことが根拠です。
(3) 四つの立方数の和が2025
(1,8,8,10)、(2,7,7,11)
- 13の3乗が2197なので、すべての数は1〜12です。小さい順にa≦b≦c≦dとして調べます。
- 二つずつの立方数の和を作り、2025から引いた値が残り二つの和になるかを調べると、(1＋512)＋(512＋1000)、(8＋343)＋(343＋1331)が見つかります。
- 1＋512＋512＋1000＝2025、8＋343＋343＋1331＝2025です。各ペアを小さい順に並べ、b≦cを満たすものだけにすると重複を除けます。
第4問｜立体の三方向の図
この大問で学ぶこと
高さと見える辺を対応させて復元する
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)① 真上から見た図
イ
- P・F・Rを通る切断面は、上面にPとRを結ぶ線、底面にFから底面の反対側へ延びる線を作ります。Aを含む側を残すと上からの輪郭は大きい三角形になり、上面の小さい三角形との境の線も実線で見えます。
- 単に上面に残る三角形だけを投影図としないことが重要です。高さが異なっていても、下にある部分は真上から見えることがあります。
(1)② 体積
18と2/3立方cm
- AからAB方向・AD方向にそれぞれ4cm、高さ方向に8cm延長した三角すいを考えます。切断面は、この三角すいを立方体の高さ4cmで切り取った形です。
- 大きい三角すいは底面積4×4÷2＝8平方cm、高さ8cmなので64/3立方cm。上にはみ出す小さい三角すいは底面積2×2÷2＝2平方cm、高さ4cmなので8/3立方cmです。
- 差は56/3＝18と2/3立方cm。高さ4cmをそのまま大きい三角すいの高さに使わないようにします。
(2)① 見取図の完成の手順
三方向の図の折れ線を同じ位置へ対応させ、5枚の新しい面の境界を結ぶ
- 真上図の左右をx、奥から手前をy、高さをzとし、各辺を0〜4の4目盛りで表します。奥側y＝0〜2は高さ4です。手前側では、左半分x＝0〜2の上端がz＝4−xに傾きます。
- 右半分x＝2〜4では、y＝2〜3が高さ2の水平面、y＝3〜4が高さ2から0へ下がる斜面です。中央のx＝2で、左側の高さ2と右側の低い斜面との段差も結びます。
- 奥の高さ4の部分との境y＝2にも縦の面があります。外形だけでなく、斜面・水平面・段差の境を結んだ後、手前から見える辺を実線にします。
(2)② 面の数
11面
- 元の立方体の6面に残る部分がそれぞれ1面ずつあります。新しく現れる面は、奥との縦の境、左側の斜面、右側の水平面、右手前の斜面、中央の段差の5面です。
- 同じ平面上の部分を不用意に分割せず、6＋5＝11面と数えます。
(2)③ 体積
50立方cm
- 奥半分は4×2×4＝32立方cm。手前左半分は、上端の高さが4から2に変わる台形を奥行き2cmだけ伸ばした形なので、(4＋2)÷2×2×2＝12立方cmです。
- 手前右半分の奥側は2×1×2＝4立方cm、最も手前の斜面の下は(1×2÷2)×2＝2立方cm。合計32＋12＋4＋2＝50立方cmです。
解き直しの進め方
数字の条件は表に整理し、図形は原問題の図へ補助線や高さを書き込みましょう。立体は三方向の図で同じ辺・同じ高さを照合し、部分に分けた体積で確かめてください。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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