開成中学校 2024年度 2月1日入試 算数入試解説｜大問別の考え方と解き直し

（1）2024を作る式

（1＋4×7×9）×8

1. 2024÷8＝253で、253−1＝252＝4×7×9と分解できます。したがって（1＋4×7×9）×8＝2024です。
2. 使った数字は1・4・7・8・9の5個で、同じ数字は繰り返さず、2桁以上の数も作っていません。5個を使う解答例として示しています。

（2）ア｜星印の部分の長さ

11.5cm

1. 左からの切り取り量を増やすと、Pは最初1cm当たり8gなのでOの10gより軽く、中間の11gの部分で差が縮まり、その後また8gとなって差が広がります。
2. 同じ重さになる切り取り長さが1回だけという条件から、Pの11gの部分を切り終わる位置が34.5cmだと分かります。そこより前に追い付けば、後で再び軽くなる途中にも同じ重さになる点ができてしまうためです。
3. 星印の長さをa cmとすると、8a＋11（34.5−a）＝10×34.5。整理すると3a＝34.5なのでa＝11.5cmです。

（2）イ｜金属棒1本の重さ

425g

1. Pの重い部分は34.5−11.5＝23cm。Oの全長をL cmとすると、PはL＋2cmなので、Pの全質量は8（L＋2）＋3×23です。
2. 2本は同じ重さだから10L＝8（L＋2）＋69。2L＝85よりL＝42.5cm、重さは42.5×10＝425gです。

（3）ア｜スタート位置のPの向き

ゴールの文字Pを、反時計回りに120度回した向き

1. 三角形の頂点を1つずつ区別し、接点を支点として順に転がします。大きな三角形の辺の途中では120度、角を回り込むときは240度回転します。
2. スタートからゴールまでは途中の回転6回と角の回転2回。合計6×120＋2×240＝1200度、時計回りに3周と120度です。
3. したがってスタートの文字は、ゴールの文字を逆向きへ120度戻した向きになります。三角形の形だけでなく、文字の上方向も追ってください。

（3）イ｜頂点Aが動く距離

43.96cm

1. A自身が支点になる回は動かず、それ以外では半径3cmの円弧を描きます。三角形の頂点を色分けして追うと、Aが動く回転は120度が3回、240度が2回です。
2. 動く円弧の中心角は3×120＋2×240＝840度。長さは2×3×3.14×840/360＝43.96cmです。

（3）ウ｜通過部分の面積の分け方

X＝14、Y＝7

1. 動いている各位置の正三角形を、1辺3cmの三角形の網目に沿って描き込みます。円弧を描く部分は半径3cmで、60度の扇形に分けて数えます。
2. 角の近くで重なる領域を二重に数えないよう塗り分けると、扇形は14個分、直線の辺で囲まれる部分は正三角形7個分に整理できます。
3. 求めるのは頂点Aの軌跡で囲まれる面積ではなく、正三角形P全体が一度でも通った部分の面積です。移動途中の位置を重ねて確認しましょう。

（1）【7463125】の結果

《7431》

1. 最初の7を机へ置き、4は7より小さいので机へ。6は4より大きく箱へ入れます。
2. 3は最小値4を更新するので机へ、1も更新するので机へ。2と5は1より大きいので箱へ入り、机の結果は7・4・3・1です。

（2）ア｜3枚で結果《21》になる並び

【213】、【231】

1. 最初のカードは必ず机に置かれるため2です。1はどこか後ろへ来れば机に置かれます。
2. 3が2より後ろにあれば机に置かれないので、残り2枚の並べ方2通り、213と231です。

（2）イ｜4枚で結果《21》になる並び

【2134】、【2143】、【2314】、【2341】、【2413】、【2431】

1. 最初を2に固定すると、残り1・3・4はどんな順でも、1だけが最小値を更新します。
2. したがって残り3枚の並べ方3×2×1＝6通りです。先頭2で整理すれば、書き落としを防げます。

（2）ウ①｜5枚で結果《21》になる数

24通り

1. 最初を2に固定します。残りの1・3・4・5は、どの順に並べても3以上は机に置かれず、1だけが更新します。
2. よって4×3×2×1＝24通りです。

（2）ウ②｜5枚で結果《521》になる数

6通り

1. 最初は5です。次の机のカードを2にするには、残りの中では2が最初に来なければなりません。1が先なら1、3・4が先ならそれも机へ置かれてしまうからです。
2. 最初の2枚を5・2に固定し、残り1・3・4を自由に並べて3×2×1＝6通りです。

（2）エ｜6枚で結果《521》になる数

30通り

1. 1〜5の6通りの並びへ6を追加します。6が5より前に来ると最初に机へ置かれてしまうので、必ず5より後ろです。
2. 5枚の並びの最初の5の後から最後の後まで、挿入場所は5か所。6×5＝30通りです。

（3）9枚で結果《75421》になる数

560通り

1. まず1〜7で考えます。7・5が最初の2枚となり、その後は4→2→1の順です。3は2より後、6は5より後なら、どちらも新しい最小値になりません。
2. 6を除いた並びは754213、754231の2通り。ここへ6を5より後の5か所に挿入して、2×5＝10通りです。
3. 8を7より後へ入れる場所は7か所、続けて9を7より後へ入れる場所は8か所。10×7×8＝560通りです。

間違えやすい点：8・9は机に出さないため、先頭7より前へは入れられません。

（1）元の直方体の面だったもの

②、③、④

1. ABとBCを含む②は背面、FCDEの③は底面、BCを含む④は右側面に戻ります。
2. ①と⑤は切断で新しく生じた面です。展開図の形が長方形かどうかだけでなく、A・B・Cと元の辺の対応を使って判断します。

（2）D・E・Fの位置

Dは右下の奥行き方向の辺の中点。E・Fは手前・奥の下辺を左から1：2に分ける点

1. 展開図の目盛りからAB＝6、BC＝5、FC＝4、FE＝4、CD＝2です。直方体の横幅は6、奥行きは4、高さは5と分かります。
2. Fは背面の下辺でCから4、つまり左から2の位置。Eは同じ位置の手前の下辺です。Dは右下の奥行き4の辺で、Cから2の中点になります。

（3）3つの切断面

上面の奥の辺ABを通る面、左上の奥行きの辺を通る面、DEを通る縦の面

1. ①の面はABを含む切断面です。手前の左右の縦辺では、底から3/5の高さに当たる点を結び、それらをA・Bへ結ぶ四角形を描きます。
2. 左側の切断面は、元の左上の奥行き方向の辺と、下辺上のF・Eを結ぶ四角形です。奥の上端はA、手前も元の左上の頂点を通ります。
3. ⑤の面はD・Eを通る縦の切断面です。D・Eの真上の上面へ点を取り、上面の2点と底面のD・Eを結びます。指定の3平面は、直方体全体を切った断面として描きます。

（4）辺あ・いにつながる面の描き方

あ：四角形、い：直角三角形

1. あは左側の切断面です。展開図でFEを共通辺とし、Fから左へ長方形2×5の対角線と同じ長さ、Eから左へその3/5の長さを取ります。2本はFEへ垂直に取り、その先を結ぶ四角形です。
2. いは手前の元の面に残った直角三角形です。辺いの上端から右へ1.2目盛り取り、その点を辺いの下端へ結びます。辺いの長さは3目盛りです。
3. あのF側の辺の長さは√29、E側は3√29/5です。平方根を計算する必要はなく、2×5の長方形の対角線を定規で移し、その3/5を取れば作図できます。

（5）いにつながる面の面積

1.8cm²

1. 直方体の高さは5cm。左側の切断面は、底面では左から2cm、上面では左端を通るため、手前の面でも高さ3cmの位置では、横方向のずれが2×3/5＝1.2cmです。
2. いに付くのは、縦3cm、横1.2cmを直角の2辺とする三角形。面積は3×1.2÷2＝1.8cm²です。