麻布中学校 2026年度 入試 算数入試解説｜大問別の考え方と解き直し

第1問｜三角形ABP

3.375cm²

1. 正方形BCDEの面積は3×3＝9。直角二等辺三角形ABEではBEが斜辺なので、面積はBE²÷4＝9÷4＝2.25。五角形全体は11.25cm²です。
2. Pから辺BC・DEまでの距離の和は正方形の幅3cm。したがって三角形BCPとDEPの面積の和は、3×3÷2＝4.5cm²で一定です。
3. 残るABP・APE・CPDの面積の和は11.25−4.5＝6.75。条件からABP＝APE＋CPDなので、ABPは6.75÷2＝3.375cm²です。

間違えやすい点：図の見た目でPの位置を決めず、向かい合う辺を底辺にした面積の和を使います。

第2問｜はじめのBの濃さ

4％

1. 最後のAは、残った50gとCから戻した200gで250g。食塩量は250×0.097＝24.25gです。残った50gの食塩は50×0.15＝7.5gなので、戻した200gには16.75g含まれます。
2. 移す直前のCは320g。同じ濃さのまま200gを移すため、C全体の食塩は16.75×320÷200＝26.8g。もとのCの食塩7gを引くと、Bから移した220gの食塩は19.8gです。
3. 混合後Bの濃さは19.8÷220＝0.09。B全体550gの食塩は49.5gで、そのうちAからの分は250×0.15＝37.5g。したがって、もとのBの食塩は12g、濃さは12÷300×100＝4％です。

（1）AとBの速さの比

8：5

1. B同士の反対向きの走行では、3秒間に先頭が相手の列車1本分を進みます。Bの速さをvとすると、Bの長さは2v×3＝6v。
2. 追い越しの条件では、10秒間の相対移動距離がB1本分です。したがってAとBの速さの差は6v÷10＝0.6v。Aの速さは1.6vとなり、比は8：5です。

間違えやすい点：最初の条件は、Aの先頭がBの最後尾から先頭へ進む場面です。列車2本分の長さにしません。

（2）AとBの長さの比

83：60

1. 速さをA＝8、B＝5と置くと、Bの長さは（5＋5）×3＝30。
2. 出会ってから完全にすれ違う5.5秒では、2本の長さの和を進むため、和は（8＋5）×5.5＝71.5。Aの長さは71.5−30＝41.5で、41.5：30＝83：60です。

（3）Aの長さ

103.75m

1. 鉄橋の両端から先頭が同時に入り、4秒で出会います。速さの和は130÷4＝32.5m/秒。速さの比8：5の1に当たる速さは32.5÷13＝2.5m/秒です。
2. （2）でAの長さは速さ比の1を基準に41.5倍だったので、41.5×2.5＝103.75m。Bは30×2.5＝75mで、合計178.75mを32.5m/秒で割ると5.5秒になり、条件も確認できます。

（1）7両の列車

5通り

1. 両端がYになるにはAの台数は偶数です。Aを2台ずつの組として考えると、各組の内側はX同士、組と組の境目はY同士になります。Bは各組の内側にだけ入れられます。
2. Aが2台ならB5台を入れる場所は1つで1通り。Aが4台ならB3台を2か所へ分け、逆順を同一にすると（0,3）と（1,2）の2通り。
3. Aが6台ならB1台の位置は端側の組または中央の組で2通り。合計は1＋2＋2＝5通りです。

（2）9両の列車

12通り

1. Aの台数を2・4・6・8に分けます。Bの台数は順に7・5・3・1。
2. A2台は1通り。A4台ではB5台を2か所へ分け、逆順を除くと（0,5）・（1,4）・（2,3）の3通り。
3. A6台では3個のBを3か所に分ける順序付きの分け方が10通りです。そのうち逆順でも同じものは（0,3,0）と（1,1,1）の2通りなので、（10＋2）÷2＝6通り。
4. A8台では1個のBの位置4か所を逆順でまとめて2通り。合計1＋3＋6＋2＝12通りです。

間違えやすい点：逆順で自分自身に戻る並びもあるので、すべてを単純に2で割ると数え落とします。

（1）図形ケの周

12.28cm

1. 外側の3つの図形の円弧の長さの合計をa、切り口の長さの合計をcとします。外側3つの周の和はa＋c、中央の周は12.56−a＋cです。両者が等しいのでa＝6.28cm。
2. 外側3つの周は等しく、円弧が長いほどその切り口も長くなるため、3つの円弧は等しい長さです。1つの円弧は全周の6分の1で、中心角60度。対応する弦は半径と同じ2cmです。
3. 中央の周は、残った半周6.28cmと3本の切り口6cmを合わせて12.28cmです。

（2）斜線の面積

5.14cm²

1. 上下の端の図形の周が等しいので、切り口は中心に関して対称になります。中の2つも等しい周であるため、真ん中の切り口は直径です。
2. 一番上の円弧PQの長さをa、弦PQをcとします。上の図形の周はa＋c。その下の帯の周は半周6.28−aに弦cと直径4を足したものなので、a＋c＝6.28−a＋c＋4。これよりa＝5.14cmです。
3. 斜線は扇形OPQです。扇形の面積は「円弧の長さ×半径÷2」で、5.14×2÷2＝5.14cm²になります。

（1）325からの変化

325 → 109 → 37 → 13 → 5

1. （325＋2）÷3＝109、（109＋2）÷3＝37、（37＋2）÷3＝13、（13＋2）÷3＝5。
2. 5を3で割った余りは2なので、ここで操作を終えます。

（2）ちょうど4回で2になる数

82

1. 逆操作は「3倍して2を引く」です。2から逆に4回たどると、2 → 4 → 10 → 28 → 82。
2. 順に確かめると82 → 28 → 10 → 4 → 2。途中の82・28・10・4はすべて3で割ると1余り、4回目の2で止まります。

（3）操作回数が最も多い数

730、1459

1. 数nから1を引いた量に注目します。操作後の数から1を引くと、（n＋2）÷3−1＝（n−1）÷3。つまり毎回n−1が3分の1になります。
2. 6回行うにはn−1が3⁶＝729の倍数であればよく、2026以下ではn＝730、1459です。7回にはn−1が2187の倍数である必要があり、範囲外になります。
3. 実際に730は730 → 244 → 82 → 28 → 10 → 4 → 2、1459は1459 → 487 → 163 → 55 → 19 → 7 → 3となり、どちらも6回で止まります。

（4）最後まで変わらない一の位｜6以外

1

1. 1回の前後で一の位が同じなら、前後の数の差が10の倍数です。n−（n＋2）÷3＝2（n−1）÷3より、n−1は15の倍数になります。
2. したがってnの一の位は1か6に限られます。1の例は271 → 91 → 31 → 11で、いずれも一の位が1のまま止まります。6以外では1だけです。

（5）ちょうど3回、一の位が変わらない数

10個

1. 3回後に止まる数をtとすると、逆操作を3回行ったはじめの数は27t−26です。範囲条件から2≦t≦76。また、止まるためにはtを3で割った余りが0または2であることが必要です。
2. 逆操作で一の位を変えない条件は、（3t−2）−t＝2（t−1）が10の倍数、すなわちtを5で割ると1余ることです。この条件は逆操作後も保たれます。
3. 2〜76で5で割ると1余る数は6、11、16、…、76の15個。このうち3で割ると1余る16・31・46・61・76の5個を除き、15−5＝10個です。

間違えやすい点：最後のtが3で割ると1余る場合は、操作がもう1回続くので除きます。