麻布中学校 2025年度 入試 算数入試解説｜大問別の考え方と解き直し

（1）1辺3cmの正三角形の周り

18.84cm

1. 転がるとき、支点がPならPは動かず、別の頂点が支点ならPは半径1cmの円弧を描きます。辺の途中での回転角は120度、外側の頂点を回るときは240度です。
2. 3つの頂点に印を付けて順に追うと、この図ではPが動く回転は120度が3回、240度が3回。中心角の合計は1080度で、円3周分です。
3. 求める曲線の長さは2×1×3.14×3＝18.84cm。Pが止まる回を長さに加えないことが大切です。

（2）1辺50cmの正三角形の周り

213.52cm

1. 辺の途中の回転は各辺49回で147回、角での回転は3回です。支点となる頂点は3回で一巡するので、150回の回転のうち各頂点が支点になる回数は50回ずつです。
2. 50を3で割った余りは2なので、3つの角の支点は異なる頂点になり、そのうち1回はPです。Pが支点になる途中の回転は残り49回。したがってPが動く回数は、120度が147−49＝98回、240度が3−1＝2回です。
3. 中心角の合計は120×98＋240×2＝12240度、円34周分。長さは2×1×3.14×34＝213.52cmです。

間違えやすい点：移動距離を大きな三角形の周の長さで代用しません。求めるのは頂点Pが描く曲線です。

第2問｜AF：BC

5：16

1. AE＝2＋3＋3＝8cmなのでAH：HE＝1：3。三角形ABEの面積は、平行なABとCDの間にあるため、平行四辺形ABCDの半分です。
2. 三角形ABHはABEのAH÷AE＝1/4倍だから、全体の1/8です。Eの高さは全体の1/5、HはAEを1：3に分けるため、その高さは全体の4/5。よってBH：BF＝4：5です。
3. 三角形ABFはABHの5/4倍で、全体の5/32。これを底辺AFと高さBからADまでの距離で表すと、平行四辺形の面積に対する割合はAF÷BC÷2です。したがってAF÷BC＝5/16になります。

第2問｜四角形BGIHの面積

平行四辺形ABCDの27/64倍

1. IはAEを5：3に分けるので、Iの高さは全体の1/2。FI：FG＝1：2、FH：FB＝1：5です。
2. 面積比と直線上の比を変えずに、平行四辺形を長方形へ移して考えます。B＝（0,0）、C＝（16,0）、A＝（0,16）、D＝（16,16）とすれば、E＝（16,3.2）、I＝（10,8）、F＝（5,16）です。IはFGの中点なので、G＝（15,0）。よってBG：BC＝15：16です。
3. 三角形BGFは全体の15/32。三角形FHIはFBGの（FH÷FB）×（FI÷FG）＝1/10なので、求める四角形は15/32×9/10＝27/64倍です。

（1）兄が1周するまでの弟の道のり

408m

1. 兄の1周目の速さは分速165mなので、所要時間は1020÷165＝68/11分。
2. 弟は分速66mで動くため、66×68/11＝408mです。

（2）兄が2周するまでの弟の道のり

918m

1. 兄の2周目の速さは165−33＝132m/分。弟がその間に進む道のりは1020÷132×66＝510mです。
2. 1周目の間の408mも含め、408＋510＝918mです。

（3）兄が止まるまでのすれ違い

9回

1. 兄の各周の速さは165・132・99・66・33m/分。その各周の間に弟が進む距離は408・510・680・1020・2040mで、合計4658mです。
2. 兄は5周で5100m進み、2人は反対向きなので、2人の道のりの和が1020m増えるごとに1回すれ違います。和は5100＋4658＝9758m。
3. 1020×9＝9180、1020×10＝10200なので、すれ違いは9回です。出発時はすれ違いに数えません。

（1）7％になるコップ数の組

81組

1. 17％と3％を混ぜて7％にする液量比は（7−3）：（17−7）＝2：5。Aは1個50g、Bは1個70gなので、コップ数a：b＝（2÷50）：（5÷70）＝14：25です。
2. a＝14k、b＝25kと置きます。どちらも2025個以下で、より厳しい条件は25k≦2025。k＝1〜81の81組です。

（2）さらにAを加えて9％にする組

19組

1. 7％の段階では、A＝14k個、B＝25k個で、液量は50×14k＋70×25k＝2450k gです。17％を加えて9％にするには、加える液量がもとの（9−7）÷（17−9）＝1/4倍なので、Aの追加数o＝2450k÷4÷50＝49k/4。
2. oが整数になるにはkが4の倍数。k＝4mと置くと、最初のAは56m個、Bは100m個、追加Aは49m個です。
3. Aは合わせて105m個使うので105m≦2025、Bは100m≦2025。m＝1〜19となり、19組です。

間違えやすい点：追加のAも、最初の2025個の中から取ります。最初と追加のAを合計して上限を確認します。

（1）3段・各段5個の図形

60本

1. 15個を別々に作ると6×15＝90本。同じ辺を共有する部分を1本ずつ引きます。
2. 横の共有辺は各段4本で12本。段と段の間はそれぞれ9本で18本。合計30本が重なるので、90−30＝60本です。

（2）2段のほうが100本多いときの六角形の数

306個

1. 3段・各段n個なら、横の共有辺が3（n−1）、段の間が2（2n−1）。棒の数は18n−3（n−1）−2（2n−1）＝11n＋5です。六角形の総数N＝3nを使うと11N/3＋5。
2. 2段・各段m個なら棒は12m−2（m−1）−（2m−1）＝8m＋3。総数N＝2mでは4N＋3です。
3. 差は（4N＋3）−（11N/3＋5）＝N/3−2。これが100なのでN＝306個です。

（3）棒が同数となる総数の組

（54，50）、（78，72）、（102，94）

1. 3段の総数をイ＝3n、2段の総数をウ＝2mとすると、棒が等しい条件は11n＋5＝8m＋3、すなわち11n−8m＝−2です。
2. これよりnは8で割ると2余るのでn＝8t＋2、m＝11t＋3。総数はイ＝24t＋6、ウ＝22t＋6になります。
3. 両方が40〜120個となるのはt＝2・3・4。順に（54，50）、（78，72）、（102，94）です。