渋谷教育学園幕張中学校 2026年度 一次 算数入試解説｜大問別の考え方と解き直し

（1）①｜カード32が入る箱

3個

1. 積32になる正の整数の組は、1×32・2×16・4×8です。順番だけ違う組は同じ箱になります。
2. 和は33・18・12なので、三つの箱に入ります。

（1）②｜カード56が入る箱

4個

1. 積56になる組は、1×56・2×28・4×14・7×8です。
2. 和は57・30・18・15なので、四つです。

（2）｜箱13と箱14の共通カード

40

1. 和13になる組の積は、1×12＝12、2×11＝22、3×10＝30、4×9＝36、5×8＝40、6×7＝42です。
2. 和14では、13・24・33・40・45・48・49です。共通するのは40で、5×8と4×10を使います。

（3）｜ちょうど五つの箱に入るカード

36・48・80

1. 積の組を小さい方の数から並べます。36は（1,36）（2,18）（3,12）（4,9）（6,6）、48は（1,48）（2,24）（3,16）（4,12）（6,8）、80は（1,80）（2,40）（4,20）（5,16）（8,10）です。
2. それぞれ和が異なる五つの箱になります。組の数が五つになるには約数の個数が9個または10個で、100以下では36・48・80・100が候補です。
3. ただし100は1＋100＝101の箱が存在しないため、入るのは四つです。したがって36・48・80の三枚です。

間違えやすい点：箱は2〜100、カードは1〜100です。「積を作れる組」と「実在する箱」を区別します。

（1）｜三段の和を等しくする

11通り

1. カの数は1〜4です。一段目は三つの正の整数の和なので、共通の和は3か4だけです。
2. 和3では一段目は（1,1,1）の一通り、二段目は（1,2）（2,1）の二通りで、2通りです。
3. 和4では一段目は（2,1,1）の並べ替え三通り、二段目は（1,3）（2,2）（3,1）の三通りで、9通り。合計11通りです。

（2）｜三段の積を等しくする

31通り

1. 共通の積をカの1・2・3・4で分けます。積1は一段目も二段目も全て1で、一通りです。
2. 積2は一段目で2の場所が三通り、二段目で2の場所が二通りなので6通り。積3も同様に6通りです。
3. 積4は一段目が（4,1,1）と（2,2,1）の並べ替えで計六通り、二段目が（4,1）（1,4）（2,2）の三通りなので18通りです。合計1＋6＋6＋18＝31通りです。

（3）｜三辺の和を4にする

4通り

1. 角のマスはア・ウ・カです。それぞれの角二つの和は、間のマスに1以上残すため3以下でなければなりません。
2. 角が全て1なら、間は全て2となり一通りです。角の一つだけが2、残りが1なら、2を置く角は三通りです。角に2が二つあると、その間に0が必要になるので不適です。合計4通りです。

（4）｜三辺の和を5にする

11通り

1. 角二つの和は4以下です。角を1・2だけで作る場合は、全て1が一通り、2が一つなら三通り、2が二つなら三通り、全て2なら一通りで計八通りです。
2. 角に3を使う場合、他の二角は1でなければならず、3の場所は三通りです。4を角に置くことはできません。間の数は角を決めれば一意に決まるので、8＋3＝11通りです。

（1）｜仕切りの高さと満水時刻

あ＝24cm、い＝180分

1. P・Q・Rの底面積をp・q・r、仕切りX・Yの高さをx・yとします。Aだけで最初の16分にPがXへ達し、その後24分でQがXへ達するので、q：p＝24：16＝3：2です。40〜60分の20分でPとQがYまで上がるため、（p＋q）（y−x）＝900×20です。これとpx＝900×16からy＝1.5xです。
2. Bだけのグラフでは、最初の27分でRがYへ達し、次の33.75分でPとQがYへ達します。r：（p＋q）＝27：33.75＝4：5なので、p：q：r＝2：3：4です。Bの給水量はry÷27＝2p×1.5x÷27＝1600cm³/分です。
3. 満水量は1600×101.25＝162000cm³。高さ60cmなので底面積合計は2700cm²、P600・Q900・R1200cm²です。x＝900×16÷600＝24cm、y＝36cm。Aだけで満水にする時間は162000÷900＝180分です。

（2）｜PとQの水位が初めて等しい時刻

33.6分後

1. Aを入れ始めて16分後、Pは24cmでXからQへ水が流れ始めます。Bは3分遅れているので、Rが36cmへ達するのは3＋27＝30分後です。
2. 30分後のQの水量は900×（30−16）＝12600cm³、深さは14cmです。ここからはAとBの合計2500cm³/分がQへ入ります。
3. Qを14cmから24cmへ上げるには900×10＝9000cm³必要なので3.6分。初めてPとQが等しくなるのは30＋3.6＝33.6分後です。

（3）｜最高と最低の差が22cmになる時刻

14と2/3分後・18分後・30分後

1. 16分より前はQが空で、最高はPです。Pの上昇は毎分900÷600＝1.5cmなので、22÷1.5＝14と2/3分後です。
2. 16〜21分ではPが24cmで最高、Qは毎分1cm上がります。差は24−（t−16）＝40−tなので、差22cmは18分後です。
3. 21〜30分ではRが最高、Qが最低です。Rは毎分4/3cmで、深さは（t−3）×4/3。Qはt−16なので、差はt/3＋12です。これが22になるのは30分後です。
4. 30分以降はRが36cmで止まりQが上がるため、差は22cmから小さくなります。P・Qが24cmでそろった後も差は縮まり、全て36cmでそろえば差0です。従って他の時刻はありません。

（1）｜四隅を引く面積

20cm²

1. 正方形ABCDの面積は6×6＝36cm²です。四隅は、直角をはさむ二辺が2cmと4cmの合同な三角形です。
2. 一つの面積は2×4÷2＝4cm²。36−4×4＝20cm²です。

（2）①｜扇形全体が通る面積

28.26cm²

1. PとBを結び、元の扇形をPBで二つに分けます。Pを中心に90度回すと、外側の境界はBが描く90度の弧になります。PBの一方の部分を回転後の位置へ移し、もう一方を元の位置に残すと、その間にBの通る扇形が挟まる形に分けられます。
2. 移した二つの部分の合計面積は、元の扇形と同じ4²×3.14÷4＝12.56cm²です。PB²＝OB²＋OP²＝16＋4＝20なので、間の90度の扇形は20×3.14÷4＝15.7cm²です。
3. 足して12.56＋15.7＝28.26cm²です。PはOAの中点であり、OA全体を半径として回る問題ではありません。

（2）②｜弧ABだけが通る面積

9.42cm²

1. 回転の中心はQです。QB＝3cm、QA²＝OQ²＋OA²＝1＋16＝17です。元の弧ABでは、Qからの距離が3cmから√17 cmまで、一度ずつ現れます。
2. それぞれの距離の点が135度ずつ回るので、同じ半径の細い輪ごとに見ると、全周の135/360が塗られます。従って面積は、半径の二乗が17と9の二円の差の135/360です。
3. （17−9）×3.14×135/360＝9.42cm²です。扇形の内側全体を動かす①と異なり、ここでは曲線部分だけを動かします。

（1）｜四個の直方体を切る

1/12cm³

1. 全体の大きさは2×2×1cmです。平面ACFでB側にできる角すいの体積は2×2÷2×1÷3＝2/3cm³です。
2. この角すいを元の1cm立方体の境目で見ると、Bに接する部分が1/2cm³、その両隣が1/12cm³ずつです。両隣の小片は、底面の直角三角形の二辺が1cm、高さが1/2cmなので、1×1÷2×1/2÷3＝1/12です。
3. 問題では切断後に三つに分かれるため、両隣の小片の一つが接着から離れます。一番小さい立体は1/12cm³です。切った平面の両側という二分類だけで考えないことが要点です。

（2）｜八個の立方体を切る

1と1/6 cm³

1. 2cm角の立方体のB側にできる角すいは、直角をはさむ三辺が2cmで、体積2×2÷2×2÷3＝4/3cm³です。元の小立方体ごとに分けると、Bを含む部分は5/6cm³、その隣の三つは各1/6cm³です。
2. 三つに分かれたうち小さい方の小片は1/6cm³です。その分を4/3cm³から除いた残りが、二番目に小さい立体で、4/3−1/6＝7/6＝1と1/6 cm³です。
3. もう一方の大きな立体は8−4/3＝20/3cm³です。三つの体積の合計が8cm³になることも確かめます。

（3）①｜のりを外した後の個数

15個

1. この設問は、切断後にのりを全て外します。したがって元の小立方体を一個ずつ見て、平面が内部を横切れば二個、横切らなければ一個と数えます。
2. 平面DPQは、八個のうち七個の内部を通り、一個だけを切りません。よって7×2＋1＝15個です。面の一部に触れるだけの場合と、内部を横切る場合を区別します。

（3）②｜最小の切断片

1/72cm³

1. Eを原点、EFの向きをx、奥行きの向きをy、高さをzとすると、D＝（0,2,2）、P＝（1,0,0）、Q＝（2,1,0）です。この三点を通る切断面は2x−2y＋3z＝2と表せます。
2. これを1cmの格子の各頂点へ当てはめると、最も小さい角すいは、直角に交わる三辺が1/2cm・1/2cm・1/3cmになります。奥行き1〜2cm、高さ0〜1cm、横0〜1cmの小立方体では、頂点（1,1,1）の付近にできます。この頂点から左へ1/2cm、奥へ1/2cm、下へ1/3cmの三点が切断面上です。
3. 体積は1/2×1/2÷2×1/3÷3＝1/72cm³です。他の切断片と比べてもこれが最小です。座標式は格子上の切断位置を確かめる補助として使い、三辺の長さを元の立体へ書き戻して確認しましょう。