2026年11月1日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
渋谷教育学園幕張中学校・2025年度 一次 算数
5大問を全問解説。タイルの重複、数字の大小関係、最少値のグラフ、45度の長さ、切断後の体積を、計算の根拠と対応させて説明します。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜タイルを切る直線
この大問で学ぶこと
同じマスを二度数えず、境界だけの接触を除く
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）①｜対角線一本で切る
44枚
- 縦5・横12の格子の対角線は、5と12が互いに素なので途中の格子点を通りません。切るマスは5＋12−1＝16枚です。
- 全部60枚から引き、60−16＝44枚です。縦線・横線を越えるたびに新しいマスへ入ることから、最初の一枚と境界を越える回数を数えます。
（1）②｜対角線二本で切る
32枚
- 一本につき16枚ですが、二本とも通るマスは重複して数えられています。中央の一段で、横方向の4枚が重複します。
- 切られる枚数は16×2−4＝28枚、切られない枚数は60−28＝32枚です。各段の切られる枚数は6・6・4・6・6となります。
（2）｜四本の直線で切る
92枚
- 全部のマスは21×7＝147枚です。TQとSUは、それぞれ横2・縦7で8枚ずつを切ります。TUは横17・縦7で23枚、SQは横21・縦7で、途中の格子点を通るため21＋7−7＝21枚を切ります。
- これらをそのまま足すと重複があります。段ごとに四本が通るマスをまとめると、下から7・8・9・7・9・8・7枚、合計55枚です。
- 従って切られないのは147−55＝92枚です。マスの角に触れるだけの場合は、そのマスの内部を切った数には入れません。
| 下からの段 | 切られる枚数 |
|---|---|
| 1 | 7 |
| 2 | 8 |
| 3 | 9 |
| 4 | 7 |
| 5 | 9 |
| 6 | 8 |
| 7 | 7 |
第2問｜数字を並べ替えて引く
この大問で学ぶこと
7より小さい数字と大きい数字を分ける
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜差が最大
5994
- A＞7＞Bなら、昇順ではB77Aとなり、差は999×（A−B）です。A＝9・B＝3で差が最も大きく、元は9773、昇順では3779となります。
- 9773−3779＝5994です。A＜7＜Bなら元が昇順なので差0。二つとも7より大きい場合の最大は1989、二つとも7より小さい場合はA＝6・B＝3の3096です。従って5994が全体の最大です。AとBを同じ数字にはできない条件も確認します。
（2）｜差が二桁になる組
3通り
- A＜B＜7なら、元はA77B、昇順はAB77です。差は693−99B＝99×（7−B）となり、Aにはよらなくなります。
- 二桁になるのはB＝6で差99のときです。Aは3・4・5の三つです。他の大小関係では差が0・三桁・四桁になるので、三通りです。
（3）｜差が三桁になる組
4通り
- A＜B＜7では、B＝4のときA＝3で差297、B＝5のときA＝3・4で差198です。ここまで三通りです。
- AとBがともに7より大きい場合は、A＝8・B＝9で8779−7789＝990となり、もう一通りです。A＝9・B＝8では差1989です。
- A＜7＜Bでは元がすでに昇順で差0、A＞7＞Bや、7未満でA＞Bの組は差が四桁です。従って合計四通りです。
| A | B | 元の数 | 昇順の数 | 差 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 3774 | 3477 | 297 |
| 3 | 5 | 3775 | 3577 | 198 |
| 4 | 5 | 4775 | 4577 | 198 |
| 8 | 9 | 8779 | 7789 | 990 |
第3問｜三台のカメラの残量グラフ
この大問で学ぶこと
各人の直線と、その中で最も低い線を分ける
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜最初に5％へ達する時刻
132分
- 太郎のカメラは60％から、毎分5/12％ずつ減ります。5％まで55％減るので、55÷（5/12）＝132分です。
- 花子は150分間撮れることから最初50％で、25分遅れて開始します。5％に達するのは25＋（50−5）÷（1/3）＝160分後です。先生も132分時点では33.2％残るので、最初の谷は太郎の132分です。
（2）｜最初の山の時刻
135と25/29分
- 132分後から太郎は、12分で5％から30％へ充電するので、毎分25/12％ずつ増えます。この間の残量は5＋（t−132）×25/12です。
- 一方、花子の残量は50−（t−25）/3です。グラフは三台の最少値なので、充電中の太郎の線と減少中の花子の線が交わると、最少の担当が入れ替わって山になります。
- 5＋（t−132）×25/12＝50−（t−25）/3を解くと、29t＝3940。t＝3940/29＝135と25/29分です。この時先生は約31.66％で、二人の約13.05％より多いため、最少線にはなりません。
第4問｜正方形と直角二等辺三角形の敷き詰め
この大問で学ぶこと
45度の辺から、横と縦の長さをそろえる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜底辺を分ける比
BD：CD＝5：7
- 左の上下二個の正方形の一辺をa、右の二個の正方形をc、上の小さい正方形をbとします。段差からb＝2a−cです。Aから底辺へ下ろした高さは、横へ数えて3a＋b＝5a−cです。
- 全体が直角二等辺三角形なので、底辺は高さの二倍で10a−2cです。一方、左から数えると、BD＝3a、右の正方形二個で2c、右端の直角二等辺三角形の底辺でcなので、全体は3a＋3cです。
- 10a−2c＝3a＋3cより7a＝5c、a：c＝5：7です。BD：CD＝3a：3c＝5：7となります。
（2）｜長方形の縦横比
PQ：QR＝13：11
- 傾いた同じ大きさの二個の正方形について、一辺の水平・鉛直方向の長さをa、上の小正方形ではb、右の大正方形ではcとします。すべて45度なので、一辺の横と縦への進みは同じ長さです。下側のつながりからc＝2a−bです。
- 各頂点から横線・縦線を補い、Pまでの高さを数えるとPQ＝4a＋2bです。上側の小正方形からSへ続く45度の線で横幅を数えるとQR＝2a＋4b、右の大正方形の右端まで別の経路で数えるとQR＝a＋b＋2c＝5a−bです。
- 2a＋4b＝5a−bより5b＝3aなので、a：b：c＝5：3：7です。従ってPQ：QR＝（4×5＋2×3）：（2×5＋4×3）＝26：22＝13：11です。実際の辺長と、その水平・鉛直方向への長さを混ぜないようにします。
第5問｜四角すいを中点三つで切る
この大問で学ぶこと
対角線の断面と、二つの三角すいを使う
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜切断点が辺OBを分ける比
OP：PB＝3：1
- 底面の対角線の交点をE、LMとACの交点をK、切断面とODの交点をP′とします。L・Mが中点なので、KはAEの中点、つまりACをAから1/4進んだ点です。
- 断面AOCで見ると、NはOCの中点なので、底面からの高さがOの半分で、AC方向の位置はAから3/4です。KとNを結ぶ線は、ACの中央Eの真上ではその半分の高さ、つまりOの高さの1/4を通ります。この点をJとします。
- LMはBDと平行なので、切断面と三角形OBDの交線PP′もBDと平行です。OJ：JE＝3：1が、OB上でもOP：PB＝3：1となります。
（2）｜Oを含む立体の体積比
元の四角すいの1/2倍
- 底面の対角線BDで、元の四角すいを同体積の三角すいOABDとOBCDへ分けます。OBCDの中でO側に残る三角すいOPP′Nは、Oからの三辺の比が3/4・3/4・1/2なので、この半分の立体の9/32です。
- OABDでは、Oを含まない側の立体BDLMPP′を、三角すいBDLP′・BLMP・BLPP′の三つに分けます。元のOABDに対する体積比は、それぞれ1/8・1/16・3/32で、合計9/32です。
- 最初の二つは、底面BDLがABDの1/2、底面BLMがABDの1/4で、PとP′の高さがOの1/4と考えます。三つ目は、底面BPP′がBODの（1/4×3/4）＝3/16、Lの高さがAの1/2なので3/32です。
- 同じ体積の二つの半分について、一方から9/32を除き、もう一方から9/32を加えることになります。従ってO側の体積は、元の四角すいのちょうど1/2です。
| 三角すい | 底面積比 | 高さの比 | 体積比 |
|---|---|---|---|
| BDLP′ | 1/2 | 1/4 | 1/8 |
| BLMP | 1/4 | 1/4 | 1/16 |
| BLPP′ | 3/16 | 1/2 | 3/32 |
解き直しの進め方
タイルや場合の数は、重複と数え漏れを表で確認します。,最少値のグラフでは、誰の残量が一番少ないかを追います。,図形では、辺の比・面積比・高さの比を区別して式へつなぎます。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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